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1、1 高数测试题六（多元函数微分部分）答案一选择题（每小题4 分，共 20 分）1、003lim11xyxyxy=（B）A 3 B 6 C 不存在D 2、函数(,)zf x y在点00(,)xy的两个偏导数都存在的函数在该点可微的（A）A 必要非充分条件B 充分非必要条件C 充要条件D 无关条件3、曲线2244xyzy在点（2，4，5）处的切线与x 轴正向所成的倾角是（C）A 2B 3C 4D 64、曲面3zezxy在点（2，1，0）处的切平面方程为（C）A 240 xyB 240 xyzC 240 xy250 xy5、已知函数(,)()()()xyxyu x yxyxyt dt，其中函数具有二
2、阶导数，具有一阶导数，则必有（B）A 2222uuxyB 2222uuxyC 222uux yyD 222uux yx二、填空题（每小题4 分，共 20 分）1、函数22ln()1zyxyx的定义域为22(,)0,1 x yyxyx名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 5 页 -2 2、设(,)(1)arcsinxf x yxyy，则(,1)xfx=1 3、由方程222coscoscos1xyz所确定的函数(,)zz x y的全微分dz=sin(2)sin(2)sin(2)x dxy dyz4、设(,)f x y在(,)a b处的偏导数存在，则0(,)(,)limxf
3、ax bf ax bx=2(,)xfa b5、设函数222(,)161218xyzu x y z，单位向量11,1,1 3n，则(1,2,3)un=33三、解答题1、（8 分）设函数22,cos,sinzu vuv uxy vxy，求,zzxy解：222223333(2)cos(2)sin3cos sin(cossin)(2)(sin)(2)cos2cos sin(cossin)(sincos)zzuz vuvvyuuvyxuxv xxyyyyzzuz vuvvxyuuv xyyuyv yxyyyyxyy2、（8 分）设函数yzx，sin,cosxt yt，求dzdt解：11 cos2cosl
4、n(sin)(sin)(tln(sin)yytdzz dxz dyyxtxxtdtx dty dttcott名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 5 页 -3 3、（8 分）设()fx连续，1()()zf xyyfxyx，求2zx y解：221()()()11()()()()()()()()zyf xyfxyyfxyxxxzfxyfxyxyfxyfxyyfxyx yxxfxyy fxyfxy4、（8 分）设函数(,)zz x y由方程zxyez所确定，求2zx y解：令(,)zF x y zezxy，则2223111(1)(1)(1)xzzyzzzzzzzzFzyxFe
5、FzxyFezeyezexyeyx yee5、（8 分）设函数(,)zz x y由方程(,)0zzF xyyx确定，其中F 具有一阶连续偏导数，求dz解一：利用隐函数的求导公式令(,)(,)zzG x y zF xyyx则1221221212,1111yxzzzzFFFFGGzzyxxGyGFFFFyxyx名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 5 页 -4 12212212121111zzFFFFyxdzdxdyFFFFyxyx解二：利用全微分的形式不变性，对方程的两边同时取微分1212222()()00zzFd xF d yyxydzzdyxdzzdxFdxFF dy
6、Fyx解出dz即可。6、（10 分）求内接于椭球面2222221xyzabc的最大体积的长方体解：设长方体的长、宽、高分别为2,2,2xyz，则内接长方体的体积为8,0,0,0Vxyzxyz，令函数222222222222222(,)(1)2020201xyzxyzF x y zxyzabcxFyzayFxzbzFxycxyzabc解得,333abcxxx因为题目本身存在最大值，并在区间内部达到，且此点又是惟一的驻点，即为所求。最大体积为max839Vabc。7、（10分）设(,)zfx y在 点(,)a a的 某 个 邻 域 内 可 微，已 知名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第
7、 4 页，共 5 页 -5(,)(,)(,),a aa afff a aabcxy，记(),(,(,)xf x f x f x x（1）计算()a（2）计算2()xadxdx解：（1）(),(,(,)(,(,)(,)af a f a f a af a f a af a aa（2）22()2()(),()2()()xaddxxxxaadxdx因为(),(,(,)xf x f x f x x，令(,),(,),uf x vvf x yyx()()dffuffffvdxxuxxuxvxffffffyxuxvxyx当xa时，,(,),(,)xaxaya vf a aa uf a aa2,()()2()()2()x ax axax ax ax ay ay auayavay ax ax affffffbcccxyuyvydbc bc bcdxdxaaa bc bc bcdx名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 5 页 -
