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1、大学物理(上册)习题解答第一章质点运动学P26.1.I 一质点沿直线运动，运动方程为x(t)=6/2-2?.试求：(1)第 2 s内的位移和平均速度；(2)1 s末 及 2 s 末的瞬时速度，第 2s内的路程；(3)1s末的瞬时加速度和第2 s 内的平均加速度.解答(1)质点在第1s末的位移大小为x(l)=6X l2-2 X l3=4(m).在第2 s末的位移大小为x(2)=6X22-2X 23=8(m).在第2 s内的位移大小为 x=x(2)-x(l)=4(m),经过的时间为/=I s,所以平均速度大小为V =Ax/=4(m-s).(2)质点的瞬时速度大小为v(/)=dx/d/=-6*,因
2、此 项)=12X1-6 X/=6(ms),v(2)=12X2-6X22=0,质点在第2 s 内的路程等于其位移的大小，即 As=Ax=4m.(3)质点的瞬时加速度大小为a(t)=dv/d/=12-12/,因 此 Is末的瞬时加速度为0(1)=12-12X1=0,第 2 s内的平均加速度为a-v(2)-v(l)/A/=0-6/l=-6(m-s-2).注意 第几秒内的平均速度和平均加速度的时间间隔都是1秒.1.2 一质点作匀加速直线运动，在，=10s内走过路程s=30m,而其速度增为力=5倍.试证加速度为。.(+1)/并由上述数据求出量值.证明 依题意得v,=nvo,根据速度公式环=%+小，得a=
3、(_(1)根据速度与位移的关系式v,2=丁+2 a s,得a=(“2-1 )%2/2S,(2)(1)平方之后除以(2)式证得2(一l)sa=-.(M+1)/2计算得加速度为2(5-1)30(5+1)102=0.4(m-s-2).1.3 一人乘摩托车跳越一个大矿坑，他以与水平成22.5。的夹角的初速度65m-s-从西边起跳，准确地落在坑的东边.已知东边比西边低7 0 m,忽略空气阻力，且取g=lOnrs.问:矿坑有多宽？他飞越的时间多长？他在东边落地图 1.3时的速度？速度与水平面的夹角？解答 方法一：分 步 法.(1)夹 角 用。表示，人和车(他)在竖直方向首先做竖直上抛运动，初速度的大小为=
4、v()sin=24.87(m-s).取向上的方向为正，根据匀变速直线运动的速度公式V/-V o=这里的心就是yvo，a=-g；当他达到最高点时，匕=0,所以上升到最高点的时间为t=V K)/g=2.49(s).再根据匀变速直线运动的速度和位移的关系式v,2-VQ=2as,可得上升的最大高度为hi=vl f l2/2 g 3 0.9 4(m).他从最高点开始再做自由落体运动，下落的高度为 2=+h 0 0.9 4(m).根据自由落体运动公式$=8*/2,得下落的时间为 22 九=4.4 9(s).因此他飞越的时间为t =t +益=6.9 8(s).他飞越的水平速度为匕0 =v0c o s 9=6
5、0.0 5(m-s,),所以矿坑的宽度为.=W =4 1 9.1 9(m).(2)根据自由落体速度公式可得他落地的竖直速度大小为V y =g/=69.8(m s ),落地速度为v =(匕 2 +.2 严=9 2.0 8(m s1),与水平方向的夹角为(p=ar c t an(v/vx)=4 9.3 0 ,方向斜向下.方法二：一步 法.取向上的方向为正，他在竖直方向的位移为y=bd-g/2。，移项得时间的一元二次方程1 7gt-%s i n e，+y =0,解得t=(%s i n 6 Jsin*-2 g y)g .这里y =-70 m,根号项就是他落地时在竖直方向的速度大小，由于时间应该取正值，
6、所以公式取正根，计算时间为t=6.9 8(s).山此可以求解其他问题.1.4 一个正在沿直线行驶的汽船，关闭发动机后，由于阻力得到一个与速度反向、大小与船速平方成正比例的加速度，即d v/d t =-k v2,左为常数.(1)试证在关闭发动机后，船 在t时刻的速度大小为=+七；V%(2)试证在 时 间t内，船行驶的距离为 x =L n(%左/+1).k 证明(1)分 离 变 量 得 上=-左 山，V积分*小山，v0 0可得 +k t.v%(2)公式可化为v =1+vQk t由于y =d x/d f,所以d r =d/1+vQk t-d(l +v k t)左(1+%方)积分出=1和两d(l +%
7、切.o o 汽 U十%刈)因此 x =-l n(v0A:/+l).证毕.k 讨论 当力是速度的函数时，即/=/),根据牛顿第二定律得/=ma.由于 a=d2x/d/2,而 d x/d t=v,所以 a =d v/d z,分离变量得方程1 md vd/=-/(V)解方程即可求解.在本题中 已经包括了质点的质量.如果阻力与速度反向、大小与船速的次方成正比，则d v/d/=-k vn.(1)如果=1,则得d v .,=k d t,v积分得Inv=-kt+C.当 f=0 时，v=v0 所 以 C=lnvo,因此Inv/o=-kt，得速度为v=v()ekt.而 dv=v()ekldtf积分得当 f=O时
8、，x=0,所 以 C=y()/L,因此x=(l-e”(2)如果#1,贝 ij得 当=一左山，积分得v1-n=-kt+C.-n当 f=0 时，v=v0,所以色一=。，因此-n1 1 ,k=钎(1用.如果=2,就是本题的结果.如果羊2,可得_ 口 +(_1)限 何(2皿_ 1x=(”2乂3，读者不妨自证.1.5 一质点沿半径为0.10m的圆周运动，其角位置(以弧度表示)可用公式表示:。=2+4尸.求：(1)f=2 s时，它的法向加速度和切向加速度；(2)当切向加速度恰为总加速度大小的一半时，6 为何值？(3)在哪一时刻，切向加速度和法向加速度恰有相等的值？解答(1)角速度为a =dJ/出=12/=
9、48(rad-s),法向加速度为a=rco2=230.4(m-s-2)；角加速度为P=dto/dr=24/=48(rad-s-2),切向加速度为5 =用=4.8(ms-2).(2)总加速度为 a=(a+a,2)12,当 a,=q/2 时，有 4a,=+q 2,即an=a#.由此得“2 ,即(2)2=2 4/5解得?=V 3/6.所以0=2+4/3=2(1+y/3/3)=3.154(rad).(3)当 a =。”时，可得力=ra2,即 24/=(12万，解得/=(1/6)I/3=0.55(S).1.6 一飞机在铅直面内飞行，某时刻飞机的速度为v=300m-s”,方向与水平线夹角为30。而斜向下，
10、此后飞机的加速度为。=2073 m-s-2,方向与水平前进方向夹角为30。而斜向上，问多长时间后，匕机又回到原来的高度？在此期间飞机在水平方向飞行的距离为多少？解答 建立水平和垂直坐标系，飞机的初速度的大小为V fe=voCosO,V ov=vosin0.加速度的大小为ax=acosa,ay=asina.运动方程为1 2x=vOxt+-axt,1 2J =_%/+彳叩2-即 x =%c o s 9.f+；Q C O S。/,y =-%s i n e“+g Q s i n a/.令y =0,解得飞机回到原来高度时的时间为z =0 (舍去)；/=名 网”=10月(s).a s i n a将f代 入
11、x的方程求得x =9 0 0 0 m.注意 选择不同的坐标系，例 如x方向沿 着a的方向或者沿着v o的方向，也能求出相同的结果.1.7 一个半径为R=1.0 m的轻圆盘，可以绕-水平轴自由转动.一 根 轻 绳 绕 在 盘 子w 的边缘，其自由端拴一 1物 体4在重力作用下，匕/I物 体A从静止开始匀加 速地下降，在 /=2.0s L 内 下 降 的 距 离 =1o.4 m.求物体开始下降 L r后3 s末，圆盘边缘上任 图1 7一点的切向加速度与法向加速度.解答 圆盘边缘的切向加速度大小等于物体/下落加速度.由于 =所以4 =2/z/A z2=0.2(m-s-2).物体下降3 s末的速度为v
12、 =(/,/=0.6(m s 1),这也是边缘的线速度，因此法向加速度为凡=:=0.3 6(m V 2).1.8 一升降机以加速度1.22m V 2上升,当上升速度为2.4 4 m-s-时，有一螺帽自升降机的天花板上松落，天花板与升降机的底面相 距2.7 4 m.计算：(1)螺帽从天花板落到底面所需的时间；(2)螺帽相对于升降机外固定柱子的 解答 在螺帽从天花板落到底面时，升降机上升的高度为,1 24=卬+/；螺帽做竖直上抛运动，位移为 2 =咿 _升 厂.由题意得=，1-2，所以=；(a +g)/，解得时间为t=j 2：/(a +g)=0.7 05(s).算 得h 2=-0.7 1 6 m,
13、即螺帽相对于升降机外固定柱子的下降距离为0.7 1 6 m.注意 以升降机为参考系，钉子下落时相对加速度为a +g,而初速度为零，可列方程h=(a+g)*/2,由此可计算钉子落下的时间，进而计算下降距离.1.9有一架飞机从4处向东飞到B处,然后又向西飞回到/处.已知气流相对于地面的速度为，之间的距离为/，飞机相对于空气的速率n保持不变.(1)如果=0(空气静止)，试证来21回飞行的时间为V(2)如果气流的速度向东，证明来回飞 行 的 总 时 间 为 乙=一4 r；1 l-w2/v2(3)如果气流的速度向北，证明来回飞行的总时间为芍=/.证明(1)飞机飞行来回的速率为V,路程为2/,所以飞行时间
14、为t0=21/v.(2)飞机向东飞行顺风的速率为v +向西飞行逆风的速率为V-”，所以飞行时间为/2v l4 +2v +u v-u V -U卜降距离.2/v t0-u2/v2-u2/v2方法二：利用正弦定理.根据正弦定理可得(3)飞机相对地的速度等于相对风的速度加风相对地的速度.为 了 使 飞 机 沿 着之间的直线飞行，就要使其相对地的速度 偏 向北方，可作矢量三角形，其中沿N8方 向 的 速 度 大 小 为W =匕sin(6+a)sin(90-a)所以=V2V=yJv2-u2,所以飞行时间为_ 2/_ 2/_ 2l/v4V2-U2 V 1-W2/V2证毕.y/-u2/v21.10如图所示，一
15、汽车在雨中沿直线sin(e+a)彩-cos asin O co sa+cos sin acos a=v2(sin 0+co s。t a n a),即 V j=%(sin 0+cos 0).h方法三：利用位移关系.将雨滴的速度分解为竖直和水平两个分量，在/时间内，雨滴的位移为/=(vi-v2sin0Z,h=也 cos。/.两式消去时间t即得所求.证毕.行驶，其速度为也，下落雨的速度方向与铅直方向的夹角为 仇 偏向于汽车前进方向，速度 为v2.今在车后 放 一 长 方 形物 体，问车速V!为多大时此图 1.10第二章质点力学的基本定律P46.2.1如图所示，把 一 个 质 量 为 的 木物体刚好不
16、会被雨水淋湿？解答 雨对地的速度v2等于雨对车的块放在与水平成e角的 固 定 斜 面 匕 两 者间的静摩擦因素，较小，因此若不加支持,木块将加速下滑.图2.1速 度 凡加车对地的速度？，由 此 可 作 矢 为量三角形.根据题意V1(1)试证 tan8M s；(2)须施加多大的水平力声，可使木块恰不下滑？这时木块对斜面的正压力多大？得 tana=l/h.方法一：利用直角三角形.根据直角三角形得vi=V2sin0+也 sin。，其中 也=v/cosa,而 L=u2cos仇因 U七修=V2sin0+v2cos0sina/cosa,即=v2(sin+cos).证毕.h(3)如不断增大户的大小，则摩擦力和正压力将有怎样的变化？(1)证明 木块在斜面上时受到重力(5=塞和斜面的支持力方以及静摩擦力7.其中f =fs HsN,而 N =G c o s O.要 使 木 块 加 速 下渭,，重力沿着斜面的 分 量 不得小于N最大静摩擦力人.根据牛顿第二定律得见：当t a n 1时，尸趋于无穷大，只有当t a n。1/%这是抛物线方程.2.5桌 上 有 一 质 量 1 k g 的平板，板上放一质量m=2
