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1、教育精品学习资源第一章不等关系与基本不等式 1 不等式的性质1.1 实数大小的比较1.2 不等式的性质尹自主预习 课前预习区学习目标L 了解不等关系与不等式.2 .掌握不等式的性质.3 .会用不等式的性质解决一些简单问题.预习自测1 .对于任何两个实数a,b,a Z 2 a-Z?0；水b 0 2 .不等式有如下一些基本性质：性质 1 ：a Z x=b a；性质 2：aby bc=ac 性质 3：a Z?=a+c 6+c；推论：abf c a+c 6+d；性质 4：ab,c 0=ac bc ab,c Z?0,c dOn adb&推论2：9 6 0 0 才 层推论 3：a b 0=推论 4：d A
2、 O=W a，N+.教育精品学习资源教育精品学习资源自主探究1 .利用不等式的性质，证明下列不等式：(1)ab,c ac b d；,、a b(2)a Z?0,d c 0=-jc a(3)ab,a b 0=b提 示(1)a c 。-d的推导过程是：c c d,对 a 6和一c d 应用不等c 6 0 Q b(2)漆c o =/j 推导过程是：dc 0两边同乘表(c r f 0),则:。，应用不等式可乘性质得ab 1 1 1 1(3),=一,的推导过程是，因 助 0=7 0,不 等 式 两 边 同 乘 一 根 据 不 等 式 的abQ a b ab ab乘法性质得：即b a a b2 .怎样比较两
3、个实数的大小？在比较时通常作怎样的数学变形？提示 比较两个实数a 与b的大小，归结为判断它们的差a-5的符号.作差法中常用的变形手段是分解因式和配方等恒等变形，前者将“差”化 为“积”，后者将“差”化为一个完全平方式或几个完全平方式的“和”，也可二者并用.h讲 练 互 动 J课堂讲练区典例剖析知识点1 不等式的性质及应用【例 1】判断下列各题的对错(1)-O=HZ?()a b(2)ab,且 c&a bd()(3)a Z?0,且)(4)4 4=ab)c c教育精品学习资源解析 *=另，当水o,力。时.，此式成立，推 不 出 眇 儿 错.c o j(2)当 a=3,Z?=l,c=2,d=-3时，命
4、题显然不成立.错.(3)：3=髡但/#成立(3)对.(4)显 然/0,，两 边 同 乘 以 得 a 4 二(4)对.答 案 X(2)X(3)V (4)V【反思感悟】解决这类问题，主要是根据不等式的性质判定，其实质是看是否满足性质所需的条件，若要判断一个命题是假命题，可以从条件入手，推出与结论相反的结论或举出一个反例予以否定.给变式训练1.若 a 0,c d 一流0,所以二 6又 a60,所 以 为 所 以 裴，故选B答 案 B知识点2 实数大小的比较【例 2】实数x,y,z 满足2 x+y=z 1 且 x+炉+1=0,试比较x,y,z的大小.解 x-2x-y=z 1=z y=(x l)2 2
5、0=z 2 y；x+y+l=0=y%=y+y+=y+|0=y x,故 z e y x.教育精品学习资源【反思感悟】两个实数比较大小，通常用作差法来进行.其一般步骤是：(1)作差；(2)变形，常采用配方、因式分解、分母有理化等方法；(3)定号，即确定差的符号；(4)下结论.给变式训练2.比较/+3 与 3x 的大小，其中xdR.H2 3 3+-0,.X+33x知识点3不等式的证明【例 3】如果 a60,ct/Aac b a证明 X K 0,：.-ccfOf又,：:.a 6b d0.不等式的两边同乘TJ ,0,得：0,(a c)(.b a)b d a cf f f f又.长(),：.;-b a a
6、 c a-c b-a【反思感悟】利用不等式性质证明不等式的实质就是依据性质把不等式进行变形.在此过程中，一要严格符合性质条件；二要注意向特征不等式的形式化归.绐变式训练3.已知 a 伙c,xy0n ax+by+cz ax+cy+bz.同理 ax+by+cz bx-ay+cz,ax+by-cz cx+by-az.故结论成立.课堂小结1.不等关系强调的是量与量之间的不等关系，可以用符号“、“6、ua8,或6c均可推得ac；而 aA不一定可以推得a c,可能是a c,也可能是a=c.随堂演练教育精品学习资源1 .已知下列四个条件：。0 a,0 a6,aOb,ab0,能推出一 二成立的有（）a bA.
7、1 个B.2 个C.3 个D.4 个解析 运用倒数性质，由 a6,a60 可得人），、正确.又正数大于负数，正确，错a b误，故选C.答 案 C2.设 x,y e R,则“通 且 在 2”是“叶 庐 3”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3解析 由不等式性质知当*2 1 且 y22时，x+y 2 3；而当x=2,y=时满足x+y 2 3,但不满足x N l,且故且p 2 2”是“x+y 2 3”的充分而不必要条件.答 案 A3.实数a,b,c,4 满足下列三个条件：心c；a+b=c+；H+水b+c,则将a,b,c,d 按 照 从 小 到 大 的
8、次 序 排 列 为.解析 V dcf a+c Kb+c,ab,；a+水8+c,/.acbd,a+b=c+d,a c=d b,即 Kb,a c,：.a c d b,答案 a c c Kbr课时作业 二课后巩固区一、选择题1 .若 a 6 1-aB.C.1 a|6|解 析 取 a=-2,方=1,则 不 成立,D.a e选 A.答 案 A教育精品学习资源2.已知a 6,则下列不等式成立的是（）A.才一炉20 B.ac beC.a b D.22解析 A中，若 a=1,b=2,则才一4 o 不成立；当。=0 时，B不成立；当 0 a b时，C不成立；由 人 知 22成立，故选D.答 案 D3.设 a 是
9、等差数列，下列结论中正确的是（）A.若 国+忿 0,则/+全0B.若&+&V 0,则 a +a2VoC.若 0 V&V&,则 a2y aia3D.若 ai0解析利用所给条件结合等差数列的相关知识直接判断.设等差数列 4 的公差为，若 a +。20,H2+a3=a+d+a2+d=（功+含）+2 d,由于d 正负不确定，因而a+G 符号不确定，故选项A错；若 4+念V0,&+/=&+&-d=（&+&）d,由于d 正负不确定，因而功+也符号不确定，故选项B错；若 0 V a V a 2,可知a 0,rf0,a2 0,念 0,/一&=（&十中&（4+2=-0,故选项 C 正确；若 a】V O,贝!J（
10、4 一功）（&一 盘）=d （-4 =-7W O,故选项D错.答 案 C4.已知实数x,y 满 足/,；B.ln（+l）ln（y+1）C.sin xsin y D.xy y解析 先依据指数函数的性质确定出的大小，再逐一对选项进行判断因为0p.采用赋值法判断，A中，当 x=l,y=0 时，|0,则下列不等式中正确的是（）A.b一心金 B.a3+/?30C.孑 一 力 20解析*：a-b 0,：.a b 0.不论b正或b负均有a+b0.答 案 D教育精品学习资源二、填空题6.已知6 0 水84,28 y 33,则 x-y 的取值范围为_,1 的取值范围为解 析xy=x+(y),所以需先求出一y 的
11、范围；V 1 1一=才义一，所以需先求出一的范围.y y yV28J33,/.-33-y-28,呆点j j y Z/OX 6 0 K 84,A 27%-y 5 6,6 0 x 8433 28*衅$3.答 案(27,5 6)37 .已知实数&b,。满足a+6+c=0,a2+/72+e2=l,则 a的最大值是.解析利用不等式求解.因为 0,a+6 0,ab0,9.已知 a,6 e R,求证：a*2+3Z?2 a/+a+/1.学习目标i.理解绝对值的几何意义，理解绝对值不等式定理及其几何意义.2.会用绝对值不等式定理解决比较简单的问题.预习自测La,A e R,|a+W l a|+|6,当且仅当a
12、坛。时，等号成立.2.a R 表示点a-6 与原点间的距离,也表示a与 6 之间的距离.3.a,b,c G R,a-c|a b+I b-c ,当且仅当(a Z )(6 c)I)2 2 0,/.a+/f ab+a+b .1 W。+W l,1 0.已知 a,满足二一 A c|1 。+2 3 试 求。+3的取值范围.解 设。+3 =4 (。+)+P(。+2 )=(4 +。+(4+2。6.4-7=1,比 较。、B的系数，得 一A+2 r=3,从而解出H=-1,v=2.分别由、得一1 一。一 W 1,2 W 2 +4 W 6,两式相加，得 l W a+3 W 7.2 含有绝对值的不等式2.1绝对值不等式
13、r自主预习 课前预习区提示|a+b|W|a|+|引 Q|a+b?是(|a|+|引)?o(a+b)y Ia +2 1 a|1 6|+*=3+2励+作小才+21.g|I Z?|+bc a b W|ab.ab a b显然成立，.原不等式成立.2.你能证明：|臼一|引|W|a+b|吗?提 示 因 为|a|=|(a+0-6 W|a+引+|一引=|a+b +b.所 以 一|&|W|a+b|,同理可证|引一|a|W|a+b.所以|a|b|W|a+b|.F讲练互动 J课堂讲练区典例剖析知识点1 利用绝对值不等式证明变量不等式-/f l f l y【例 1】已知|川 1,3匕 求 证：y1I；、a.分析 本题可
14、考虑两边平方去掉绝对值转化为普通不等式(i力(1)w(1-AT)*2.由于|x|L 31,则|灯|1,即 1 x y W O.【反思感悟】通过添项、减一项的恒等变形，然后再进行组合，构造成能利用绝对值不等式的形式是证明的关键.犷变式训练1.证明：I xa +|xb?|a-b.证明 I x a +|x-b =|x-a +b-x2|x-a-bx =|b-a =|a-b./.|x-a +|x-b 2|a-b.知识点2 利用绝对值不等式证明函数不等式证明 量|1=/0,|y|l l-y 0,x+/22 孙2 x y 1 X y +x y ：l 2xy+x y=(1*)(1/)W(1 盯尸=y j(1/
15、)(1 y )1 1 A 7|教育精品学习资源【例 2】函 数 f(x)的定义域为 0,1 ,A o)=r(D,且对任意不同的汨，生w o,1 都有|f(X i)f(X l)X 2X ,求证：|f(*2)F(X1)I证 明 设 0 W 水 X2 W 1,若 XLxWg，则 I f (意f(Xl)|X2 Xi|W*即 I /(X1)|1.制 抱一x iW l,贝 i jI f(垣)A x i)|=|+A o)A l)I=)f(l)+f(o)F(X|)II/U)-A l)1+1 A O)-/U)II +I Xl 0 I .而|范一1 I +Ix J=1 Xz +x i=l 一(在一X|)1 综上所
16、述，对任意不同的汨，*2 d 0,1 都有I f(X2)-f(xj I x+c,当|x|W 1 时，总有|F(x)|W1,求证：|F(2)|W7.证明 v|f(D I b 1)|W 1,I H o)1 1,二|f(2)|=|4a+26+c|=|3F(l)+f(-D-3f(0)3|A 1)l+I A-1)l+3|/(0)|7.知识点3绝对值不等式的应用【例 3】若关于x的不等式|x+2|+|x l|一1 时，f(x)=x+2d+l(,、3x2a+l(xw).作出/*(x)的大致图像如图所示，由函数F(x)的图像可知f(a)=5,即a+l=5,a=4.同理，当 HW 1 时，-3 1=5,：.a=-6.答 案 一6或4课堂小结证明含有绝对值的不等式，要运用实数的性质，不等式的性质，以及不等式证明的有关方法,另外主要运用绝对值不等式即|引 W|a+6|W|+161;I a+az+al W I a I +&I+&|；|w|一|引 W|a-b W|a|+|6|.随堂演练1.若a,6都是非零实数，则下列不等式不恒成立的是（）A.|a+b b B.才+层2 2 a*b.I I I I I a,bC.
