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1、第一篇 高等数学第一章函数、极限与连续强化训练(一)一、选择题1.第 对于选项(A),对任何定义在(4/)内的函数f,若令式*”/(工)r)=+X)+f(T)，易运g(x)为奇函数，&(*)为偶函数，且八幻=爪工)乩(工)，可排除(A).对于选项(B),若八u)为奇函数,g Q)为偈函数，则/g(-x)=f 式*),即f g(*)为偶函数;又若f(u)为国函数,g(x)为奇函数，则f 期-x)=f -虱x)=/g(x),即f g(x)亦为偶函数，故可排除(B).对于选项(C)，若取f(x)=a n x,则人工)为周期函数，但火h)是无界函数，应选(C).2.提示：参照 例1.1.5求解.3.解
2、若取 X.=-,%=1+,2.=1+制有 x“Wy.Wz.，且 lira(%-*.)=lim-=0,但 hmy.=1,因此可持n*n n L-n T除选项(A)和(Q.4.解 因选项(D)中地苏不能保证任意小，故选(D)5.分析 将以上无穷小量的等价无穷小量o?求出来，比较b的值即可找到最低阶的无穷小量.解 对于选项(A),因1-8S,arctan夕 一%从而(1-coa x)arctan对于选项(B),呼一字对于选项(C),因从而(e*-1)In-lx.1-x对于选项(D)，由杰勒公式可知x-B inx=x-l x-H(xa)|I 5 J I o o综上可知，当x-0时,最低阶的无穷小量为
3、U7-i,应选(B).6.分 析)n(l+G可用存动公式展开，而xarcsnx可用等价无穷小量普操，由高阶无穷小量的定义,即可求出参数a和6.解 当 X K)时.xanan x-x.由泰勘公式得ln(1 )-(ax*far)-皿/)一(一血)-|J十 (J).由墨设条件可知I=04+a=0,W b=l,a=-；.应选(A).7.分析火外在工=0 处连读的充要条件是正幻在x=o处的左、右极限都存在,且等于f(0).斛对于选项(A),令 x=-t,则 有 既”z)=,啊 ，因此由(A)可知义工)在工=0 处的右极限等于f(0),即f(幻在N=0处右连律.对于选项(B),令=3 则有lin()=E呱
4、 r),即选项(B)也等价于f(*)在 x=0 处右连续.1 1 对于选项(C)，令 sinx=Llb(inM)=；再令 1-ccs%=f,则li时(1-C O B X)=,因此选项(C)等价于f(幻在*=o 处连续.对于选项(D),令 ln(l幻=f,则用式g(lT)=期 ；再令l-e=h 则 既八l-e)=%/(t),因此选项(D)等价于大外在x=0处左连续.综上可知，应选(C).8.分析 为斫究式幻的间断点，要先求出八，)的表达式.斛当*=0 时,/0)=0；当*0 时，/(*)=lim必；/=lim 好？=,-I+*e e+X x阳 x0.X因 为 limf(x)=lim=+oo,所以
5、z=0 是f(幻的无穷间断点，应选(D).-A-X故f(公有可去间断点幺=0 和*=1,有无穷间断点*=n,n=2,3,.应选(D).10.斛 由稣f(z)=f(l )=2,可知妈(+ax+b)=0.又由洛必达法则得lim/(x)=Hu|24苫=hm(4x2+a)=4+a=2,因此a=2.再由 lim(f+ax+b)=l+a+b=0,得 b=l,故 a=-2,b=l.应选(A).-4二、填空题IL提 示:由cosx=1 -2sin2 可得.212.分析 由等价无穷小量的定义或等价无穷小量替换可以求出琴数C和k.解法1由强设啊r-OcWO,利用分子有理化和等价无穷小量替换可得li-mn J,二阿
6、/E4-tan x+h+sin x)tan x T】n上tan x-mm xz工1.tan x(1-coe x)1.2=1.1-4=bmr,由等价无穷小量的定义，得。=上#=3.4解法2由泰勒公式tan 4=幺 +十+o(J),sin x=t-卞+o(J),故fi+tan x-11+sinTtan x-min 幺1 1 +tan x+。（）|=亍+。（）.由题设可知,c=（,%=3.13.提示：由r 未定式结果可得.14.提示：分子有理化，再同除以所 即可.15.提示：分子、分母利用等价无穷小代换处理即可.16.解眄cotz xtai x x,.Ian、二 =1 1 mi%1 3%=闻去号应填
7、-上.17.提示：先指数对数化，再利用洛必达法则.18.解令人二十，则hm(3x+Lx-hx+l)=linj+11a=L 3-1一 亚 二Iony t包 上=3飞=+=(|t-0 时,1-t 6 2 1故 a=9,5=3.19.解 因l i m/(x)=l i m J c os x=R m 依%)XT。-7 x-0-X XT。-Xl i m f(x)=l i m aex-axf (T xf (T而/(O)=a,故由/(x)在 x=0处连续可知，a =1.2 0.提示：先求极限(型)得 到/(x)地表达式，再求函数地连续区间.三、解答题2 1.(1)因 (父)=()=(加/1)x*l)9由洛必达
8、法则，得lu%。“二岛-.此 川=to-2.=2.IIT.EJT I _ 1 I-匕1 2提示：利用皮亚诺型余项泰勒公式处理si n ,si n .x xI T I二 lim由洛-忑.三财内 注本题也可利用等价无穷小量昔换光处理一下分子，再用洛必达法则.请读者思考.(4)娟十-I 十 /b(1+a X)l=蚂 r+a limIn(1+ax)-o-2x.ax a*=52x(l+ax)=提示：先指数对数化，再用洛必达法则.提示：请参照“例 1.2.1 4(3)求 解.2 2.分析 这个极限涉及受限积分，由于被积适数中含4要先格其分盅;分母则用等价无穷小量替摸.由等价无穷小量替换和洛必达法则，可得2
9、23.解由题设极限等式条件得-Vln(cos.r+)1 f(X)lime 尸 ”=e,lim ln(cosx+-)=1,Xf K T O x X即 lim ln(cos x+-)=lim ln(l+cos x-1 +-)=1,1 0 x 1。x x利用等价无穷小代换，得lim-4(cos x-l+=1,即 lim(2 z l+2 1)=i,X f o X X XTO X X1.f(x)3故 hm公 廿=一.zo x3 224.提示：先指数对数化，再由导数定义可得.25.分析 利用单调有界准则运明板限存在.单调性可用数学归纳法证明，而有界性易证.证 显公有X 1 0,所以与“Jg，由数学归纳法知
10、;”：单调增加又“I+言：=2-左0,所以。=甘或a=T一Q-2 26.分 析 十(*1)5+2)(n g +=|I 1-1 I 1+引|I，取对数后即可化为八项和.然Ivn (n+1)(n+2)(zi+n)+=周IAT 7 T k H L 1b2-1 4=e-o=e=e27.分析利用求导定阶法求大G 的等价无穷小量，利用等价无穷小量替换求我工)的等价无穷小量解 因 Z时有故/(*)-f*3xdx=-2-x1.J 0 L又 黑 幻=L o x-l由八工 和虱幻是等价的无穷小量，可 得 a=-*,k=2.28.提示：利用皮亚诺型余项泰勒公式求解.30.翳五X)的间断点为工=0卢=l,x=-l.因
11、为Hm/(x)=arctan 1=liuj arctan J 1X x -X”=啊尸_ 1=国(/-1)=8,limjf(x)=arctan X 1=Emarctan =,.T-IR x-1 i-x-1 2limf(x)=lim-arctan 广 =Emarctan B =十,i 八 i-J a t2-!i-x2-l 2limf(幻=lim-Cardan J =lim arctan，=-L C-M X-1 c-x-1 2lim f(x)=lim C ardan J =lim arctan J =十,-1/一 1/-I -，/-I 2所以x=0 是f(*)的无穷间断点(笫二类间断点)声=为大动的
12、跳跃间断点(第一类间断点).31.分析 利用等价无穷小量替换和洛必达法则求出八*)在x=0 处的左极限和右极限即可.解利用等价无穷小量替换、洛必达法则独量代操可得*ln(1+ax).ax.a(aicgin x)z-,-G-x-arcan x-o-x-arcsm x i-父-arcsm t上=1=11mHc-6-sin t-t i-o-cos r-1 1-1 2-2 1=-6a,lim/(x)=lim=lun-i-.x i-XXBm 4=1mI-x口”=Em42=2(a 2).3 .-G*工22为使f(G 在 x=0 处连读，则有Bn叭x)=H m f(x)=f(0)，即i-0*-6a=2(a2
13、+2)=6,从叩有a=-1.为使x=0 是f(*)的可去间断点，则 有 硕 幻=lim大幻工f(0),即J0-6a=2(a+2)X6,解 得 a=-2.32.分析存在性用零点定理运更，塞一性则可反证法加以证算证 令仪则乐G在 二0 上连续.在(0/)内可导.又 0,氟 1)/u -/：，)&,w I)w，)】dto,由零点定理知，存在(0,】)，使6 )0,即/)-&以下证明专的摩一性.若不然，则存在,使得/(&)I：火，)&./(匕*即期&)鼠口)=0.由罗尔定理，存在n a,a),使每5 o,R y s)-/(n)o,这与f (*)H fa)相矛盾，因此w 唯一.第 二 章 一元函数微分学
14、强化训练(-)一、选择题1.分析可以用推证法得到三个正确命双，也可以用特殊值法找出一个错误命.题.解 对于选项(A)，因为人动在*=0处连续，所以汽0)=呵(幻=2AA i 1=0,即选项(A)为正确会近.对于选项(B),因为.(*)=1 0，则-*)=五0)，所以2月0)=国式工)4/1)=蚂 依 可-1 tmx=0,从而有f(0)=0,即选项(B)为正确命助.对于选项(Q，因为/(*)在*=0处连续，所以f(0)=0,且尸=必，即选项(C)也为正确命癌.由排除法知选项(D)为错误命题.事实上，若取函数月工)=ix i，则4/乃 一n=小=0,但(0)不存在.应选(D).2.分析本题考查导致
15、、微分和无穷小量的阶等超念.翼 因为lim乎=lim匚 呼 =尸(4)=0,所以当山一0时dy为比Ax高阶的无穷小量，应选(B).3.分 析 将 所 求 极 限 转 化 为 在*=0处的导致.斛 因 为/(G在*=0处可导，且/(0)=0,所以ain 2 A=ff Inf 1-/T 1眄 丁-疗。】I ln(l-A )外0),故国=2/-(0)-(0)=3/7 0).应选(D).4.分 析 由 各 选 项 知，只需研究f(*)在H=0处的左、右导数.解 左导数 厂(0)=对 叱 俨)=四 六=1,右导数因此f(G在x=0处左、右导数均存在，但不拜等.应选(C).5.解设曲线在x=x()处与x轴
16、相切，则y(7)=0,y(Xo)=O,即X：+ax0+b-0,3x：+a=0,由第二个方程得x0土 后代入第一个方程可知选(A).6.分析 因 为 当 时，冢x)=牛处处可导.且导函数连装,故只需考虑g(x)在工=0处的连续性、可导性及/(*)在*0处的连俄性W可.解 因 如式)管1 =w()f(o g(o).故晨*)在*=0处连纹，从而可排除选出(A).(。理向 川 七 门 位因i 2x故g”)在x0处可等,从而可排除选出(B).当3 0时，(M)二!温G处处连明又驿5.4产.*手.1|=八0).故g 3)处处连续，从而可择除选取(C).ffi(D).7.分析,本题考查分段函数I向/在x=0处的二阶导区,要用导致定义分析.解 当-2f(幻则/：(0)=Wlimxsin x=0,-o*故当x0时，因为8.分析利 用 归 纳 推 理 找 出/”(*)和式工)的关系.解 因 /(*)=/(*).故o次W(G=2 g)，=2!如)二f”(*)=2!3X x)7(x)=3!f(x)4,/*“*)=3!4 g)f(H)=4!/(x)s,/(0)=0.尸(4)=-2xsin/*()=2xsinX.
