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1、新人教版中考数学复习导学案【2013年中考攻略】专题8：几何最值问题解法探讨在平面几何的动态问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的周长或面积、角的度数以及它们的和与差）的最大值或最小值问题，称为最值问题。解决平面几何最值问题的常用的方法有：（1）应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系）求最值；（2）应用垂线段最短的性质求最值；（3）应用轴对称的性质求最值；（4）应用二次函数求最值；（5）应用其它知识求最值。下面通过近年全国各地中考的实例探讨其解法。一、应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系）求最值：典型例题：例1.（山东济南3分）如图，ZM
2、ON=90,矩形ABCD的顶点A、B 分别在边OM,ON上，当 B 在边ON 上运动时，A 随之在边OM 上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2,B C=1,运动过程中，点 D 到点O 的最大距离为【】A.O+1 B.E C.*5 D.:【答案】A。【考点】矩形的性质，直角三角形斜边上的中线性质，三角形三边关系，勾股定理。【分析】如图，取 A B的中点E,连接OE、DE、OD,必VODCEo又YCM+MN有最小值，当C E是点C 到直线A B的距离时，CE取最小值。：BC=4jT,ZABC=45,.,CE 的最小值为4点 sin45Q=4。；.CM+MN的最小值是4。例 3.(四川凉
3、山5 分)如图，圆柱底面半径为2c？，高为97tcvH,点 A、B 分别是圆柱两底面圆周上的点，且 A、B 在同一母线上，用一棉线从A 顺着圆柱侧面绕3 圈到B,求棉线最短为 c m。【答案】15兀。【考点】圆柱的展开，勾股定理，平行四边形的性质。-l(B)【分析】如图，圆柱展开后可见，棉线最短是三条斜线，第一条斜线与底面圆周长、:高组成直角三角形。由周长公式，底面圆周长为4兀 c m,；高为3兀 c m,根据勾股定理，得斜线长为5兀 c m,根据平行四边形的性质，棉线 A.I(A)最短为15兀c m。例 4.(四川眉山3 分)在AABC中，AB=5,AC=3,AD是 BC边上的中线，则 A
4、D 的取值范围是新人教版中考数学复习导学案新人教版中考数学复习导学案【答案】lA D4o【考点】全等三角形的判定和性质，三角形三边关系。【分析】延长A D 至E,使 DE=AD,连接C E.根据SAS证明4ABD丝ZECD,得 C E=A B,再根据三角形的三边关系即可求解:延长AD 至 E,使 DE=AD,连接CE。.CE=ABo&在4ACE 中，CE-A C V A EV C E+A C,即 2V2ADV8。.,.1ADP1Q=P10+Q K=P 0+Q 0。此时的K,就是使PK+QK最小的位置。(2)点 P,Q 变动，根据菱形的性质，点 P 关于B D 的对称点匕在 A B上，即不论点P
5、 在 BC上任一点，点 匕总在AB上。因此，根据直线外一点到直线的所有连线中垂直线段最短的性质，得，当 P Q A B 时 P Q 最短。过点 A 作 AQ1，DC 于点 Q/V Z A=1 2 0o,A ZDA Q=30 A.综上所述，PK+QK的最小值为出故选B。/(D p C例 3.(江苏连云港12分)已知梯形ABCD,ADBC,AB1BC,AD=1,问题1：如图1,P 为 AB边上的一点，以PD,PC为边作平行四边形PC Q D,请问对角线PQ,D C的长能否相等，为什么？问题2：如图2,若 P 为 A B边上一点，以PD,PC 为边作平行四边形PC Q D,请问对角线PQ 的长是否存
6、在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由.问题3：若 P 为 AB边上任意一点，延长PD 到 E,使 D E=P D,再以PE,PC为边作平行四边形PCQE,请探究对角线PQ 的长是否也存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由.问题4：如图3,若 P 为 D C边上任意一点，延长PA到 E,使 AE=nPA(n为常数)，以 PE、PB 为边作平新人教版中考数学复习导学案新人教版中考数学复习导学案行四边形PB Q E,请探究对角线P Q 的长是否也存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由.【答案】解：问题1：对角线PQ 与 D C 不可能相等。
7、理由如下：.四边形PCQD是平行四边形，若对角线PQ、DC相等，则四边形PCQD是矩形，NDPC=90。：AD=1,AB=2,B C=3,，D C=2 。设 PB=x,贝 IJAP=2x,在 RtZDPC 中，PD2+PC2=DC2,即 x2+32+(2X)2+12=8,化简得 X22X+3=0,V A=(-2)2-4 x lx 3=-8 0,二方程无解。不存在PB=x，使/D PC=90。.对角线PQ 与 D C不可能相等。问题2：存在。理由如下:如图2,在平行四边形PCQD中，设对角线PQ与 DC相交于点G,则 G 是 D C的中点。过点Q 作 Q H L B C,交 B C 的延长线于H
8、。；ADBC,.NADC=NDCH,即 N A D P+/PD G =NDCQ+NQCH。；PDCQ,/.ZPDC=ZDCQ/.ZADP=ZQCHo又：PD=CQ,ARtAADPRtAHCQ(AAS),；.AD=HC。VAD=1,BC=3,ABH=4,.当PQ LAB时，PQ 的长最小，即为4。问题3：存在。理由如下：如图3,设 PQ与 DC相交于点G,DG PD 1；PECQ,P D=DE,=。GC CQ 2；.G 是 DC上一定点。作 QH_LBC,交 BC的延长线于H,AD同理可证NADP=NQCH,/.RtAADPRtAHCQoCHPD _ 1CQ 2VAD=1,ACH=2o .B H
9、=B G+C H=3+2=5。当PQ_LAB时，PQ 的长最小，即为5。问题4：如图3,设 PQ 与 AB相交于点G,新人教版中考数学复习导学案新人教版中考数学复习导学案；PEBQ,AE=nPA,.PA AG,-BQ-BG；.G 是 D C上一定点。作 QHP E,交 C B 的延长线于H,过 点 C 作 CK_LCD,交Q H 的延长线于KoVAD/7BC,AB1BC,/D=ZQHC,ZDAP+/P A G=ZQBH+ZQBG=90/P A G=/Q B G,AD PA 1.ZQBH=ZPADo.,.ADPs/BHQ,BH BQ n+1VAD=1,.B H=n+lo；.CH=BH+BC=3+
10、n+I=n+4。过点D 作 DMJ_BC于 M,则四边形ABND是矩形。，BM=AD=1,DM=AB=2o，C M=B C-B M=3-1 =2=D M。.,./D C M=45。.,.NKCH=45。.,.CK=CHcos450=(n+4),20.当PQLCD时，PQ 的长最小，最小值为 Y(n+4)0【考点】反证法，相似三角形的判定和性质，一元二次方程根的判别式，全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形、矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质。.【分析】问 题 1：四边形PCQD是平行四边形，若对角线PQ、DC相等，则四边形PCQD是矩形，然后利用矩形的性质，设P B=x,可得方
11、程x2+32+(2x)2+l=8,由判别式/|3 o【考点】图形的剪拼，矩形的性质，旋转的性质，三角形中位线定理。【分析】画出第三步剪拼之后的四边形M|N N 2M 2的示意图，如答图1 所示。图中，N1 N2=E NJ+E N2=N B+N C=B C,M(M2=M1 G+G M+M H+M,H=2 (G M+M H)=2GH=B C (三角形中位线定理）。又M M 2N 1 N 2，二四边形M N N 2M 2是一个平行四边形,其周长为 2N N 2+2M N =2B C+2M N。DV B C=6 为定值，.四边形的周长取决于MN的大小。如答图2 所示，是剪拼之前的完整示意图。过 G、H
12、 点作BC边的平行线，分别交A B、CD于 P点、Q点，则四边形P B C Q P是一个矩形，这个矩形是矩形ABCD的一半。V M是线段PQ上的任意一点，N是线段BC上的任意一点,BN C答图2Q新人教版中考数学复习导学案新人教版中考数学复习导学案.根据垂线段最短，得到M N的最小值为PQ 与 BC平行线之间的距离，即M N最小值为4；而 M N的最大值等于矩形对角线的长度，即JPB2+BC2=4 2+6 2 =2 g：四边形 MN|N2M2 的周长=2BC+2MN=12+2MN,四边形MN|N2M2周长的最小值为12+2x4=20；最大值为12+2、2而=1 2+4 6。例 7.（四川乐山3
13、 分）如图，在AABC中，ZC=90,AC=BC=4,D 是 A B 的中点，点E、F 分别在AC、BC边上运动（点 E 不与点A、C 重合），且保持A E=C F,连接DE、DF、E F.在此运动变化的过程中，有下列结论：4D F E 是等腰直角三角形；四边形CEDF不可能为正方形；四边形CEDF的面积随点E 位置的改变而发生变化；点C 到线段E F的最大距离为血.其中正确结论的个数是【】ADRA.1个 B.2 个 C.3 个 D.4 个【答案】B。【考点】全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形，三角形中位线定理，勾股定理。【分析】连接CD（如 图 1）。VAABC 是等腰直角三角形，.*.
14、NDCB=/A=45o,CD=AD=DB。F.AE=CF,AAADEACDF（SAS）O/.ED-DF-A ED DF,z_ CDF EDA o /0 3V ZADE+ZEDC=90,A ZEDC+ZCDF=ZEDF=901,图 1.DFE是等腰直角三角形。故此结论正确。当 E、F 分别为AC、B C 中点时，：由三角形中位线定理，DE平行且等于BC。2四边形CEDF是平行四边形。又：E、F 分别为AC、B C中点，A C=B C,四边形CEDF是菱形。新人教版中考数学复习导学案新人教版中考数学复习导学案又：/C=90。，.四边形CEDF是正方形。故此结论错误。如图2,分别过点D,作 DMJ_
15、AC,DN_LBC,于点M,N,由，知四边形CMDN是lE方形，；.DM=DN。由，知4D F E 是等腰直角三角形，.DEuDF。ARtAADERtACDF(HL),山割补法可知四边形CEDF的面积等于正方形CMDN面积。/.四功形CEDF的面积不随点E 位置的改变而发生变化。故此结论错误。由，ZXDEF是等腰直角三角形，DE=JTEF。当 DF与 BC垂直，即 DF最小时，EF取最小值2。此时点C 到线段EF的 最 大 距 离 为。故此结论正确。故正确的有2 个：。故选B。例 8.(浙江宁波3 分)如图，ZABC中，ZBAC=60,ZABC=45,A B=2jT,D 是线段BC上的一个动点
16、，以AD为直径画。0 分别交AB,AC于 E,F,连接E F,则线段EF长度的最小值为【答案】6。【考点】垂线段的性质，垂径定理，圆周角定理，解直角三角形，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】由垂线段的性质可知，当 A D 为4 A B C 的 边 B C 上的高时，直径 A D 最短，此时线段EF=2EH=20EsinZEOH=20Esin60,当半径 0E 最短时，EF 最短。如图，连接 OE,O F,过 O 点作 OH_LEF,垂足为H。.在 Rtz2ADB 中，ZABC=45,AB=2壶,；.AD=BD=2,即此时圆的直径为2。新人教版中考数学复习导学案BD新人教版中考数学复习导学案由圆周角定理可知NEOH=ZEOF=ZBAC=60,2.在 R fE O H 中，EH=OE 2OH=32 2山垂径定理可知EF=2EH=J7，例 9.(四川自贡12分)如图所示，在菱形ABCD中，AB=4,ZBAD=120,Z!AEF为正三角形，点 E、F 分别在菱形的边BC.C D 上滑动，且 E、F 不与B.C.D 重合.(1)证明不论E、F 在 BC.CD 上如何滑动，总有BE=C
