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1、目录北京科技大学2010年.2北京科技大学2011年.9北京科技大学2012年.15北京科技大学2013年.20北京科技大学2014年 计算方法.26北京科技大学2015年.32北京科技大学2016年 计算方法.40北京科技大学2017年 计算方法.46 计算方法试题库.54北京科技大学2010年 科学与工程计算研究生考试试题答案一、填空题(每空题2分，共20分)1.为使屈的近似值的相对误差限不超过1 0-，则近似值至少需要取3位有效数字.注：Jg-i_=9-3(8 0 8 271908 8.9442719082.为了提高数值计算精度，当数为非常接近0时，应将1二 8sm改 写 为smx.si
2、nx 1 +cos x-5 3-f3.设A=3-2 3,则|胤=10,M IL=9-2 2 44.若使用二分法求解方程xe*=l在 0,1上的根，要求误差小于0.5 x 1 0-,则至少需要迭代_ 1 0 _步。注：二分k步误差小于-J-10(猴 5.已知函数止1)=-5,/(1)=0,/(2)=7,用此函数表作牛顿插值多项式，那么插值多项式X?的系数是_ 7/26.设 f(x)=5x7+4/+3/+2x+1,则差商设 0,1,2,3,4,5,6,7 =5。/M,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5=07 .求解初值问题y=-10)，+/,义0)=1时，若用改进欧拉方法的绝对稳定域中步长h
3、不超过.0.2。8.设 S(x)=X-1)3+a(x-l)2+/7(x-l)+l3x3 2x X 1是 0,2上的三次样条函数,l x 2那么a=_9_二、(20分)分别用Jacobi迭代与高斯-赛德尔迭代法解线性方程组,给出迭代格式与迭代矩阵，说明上述迭代是否收敛,守）=谈-2解：本问题的J a c o bi迭代格式为 4旬=；%*）+铲）=_24）_0 1 -2迭代矩阵为为=-0 -（2分）二 /oL 7 7 A -1 2 0-1 01/1/-B,=A.=A2 A 2 A -1 7 1 3 3 3 32 4 .4.2 4 ,87 7 7 7 7 7=万_/（4分）p（B j）=J 1 （1
4、 分）J a c o bi 迭代收敛本问题的高斯-赛德尔迭代格式为铲）=铠-24）+5.旬=；染玲+：*）_ 1 +|堞）.X（+l）=_2尤（*+1）_ x（*+i）+型=_ 竺工（公 +3 7 1 7 3 7 2 1 2 2 1若全两者均收敛问哪种方法收敛快。/）+5$）-1 （2 分）*+迎7 713人 7；（7 7大 3（1分）q （2 分）（4）5 2;十 万、0 1 -2迭代矩阵为鸟=0 1|（2 分）2 -1 20 2-2+1 （3 分）2 1 2 11 02 1（1 分）S e i d e l 迭代收敛（1 分）0（凡）=卜夕（瓦）=J a c o bi 迭代收敛的快（1 分）
5、。（外三、（1 0 分）给定数据（/（%）=孤）,试用h e r m i t e 插值多项式计算/（1.7 5）的近似值，并估计误差。解：方法1首先构造差商表：0.250.1892-0.0608那么，（每个插商2 分）N（x）=l +0.2 5（x-l）-O.（）6（）8（X-1）2（1 分）最后计算可以得到了（1.7 5）aN（L 7 5）=1.1 5 3 3。（1 分）力=吸 尸(幻=潜maxl/MIA2 6 4?(1.7 5)(1;(2)2 0,=a(x)=(x-2)(A+Bx)a(l)=-A-B =(1)=4=。(幻=_(x-2)x (2分)Z?(x)=C(x-l)2 b(2)=C =
6、1 Z?(x)=(x-l)2(2分)c(x)=D(x l)(x 2)cr(x)=)(2戈 c)=-D -1 -c(x)=(x-l)(x 2)(2分)G(x)=-(x -2)x+1.1 89 2(x -1)2-(x -l)(x -2)(1 分)最后计算可以得到了（1.75）G（1.75）=1.15330（1 分）误 差 同 方 法1四、（15分）已知数据表-2-1012-17-14-102052求 最 小 二 乘 法 求 其 二 阶 拟 合 多 项 式 并 计 算 平 方 误 差。计 算 中 间 数 值 及 结 果 保 留6位 小 数。解：y=a+bx+cj3 =1 （p f=x（p,=5 x2
7、（%外）=5（%,如=2=0（/，何=（依）翦 ；=（内,02）=Z =（02,02）=Z x：=34（%,y）=Z x =31（。|,y）=他=172 他,y）=146、仅 b解方程50J 0010010、031172146-29/586/56b（每 个 非0系 数I分,34人 口7得7共6分）二阶拟合多项式为y=二 如 亭+姒一 （a,b,c系 数1分）_21 4 29 71近彳以值 y（-2）=亨=-17+g m-1）=-17=14+3 y（0）=-y =-10+y“、87 2 13 小、263 s 3 （0=-=20-y（2）=-=52+-平方误差冏+明（和圉+（步苧（误 差1分）五、
8、（10分）用牛顿法求痣的近似值，取初始值面=1,要求误差 10-5解：班 为d 5=0的根利用牛顿法构造递推公式占用=%上 好=*七+三，（23/3 3xk分）%=1,计 算 结 果 如 下，入：=2.333333334 1分 ：=L86167800f 1分%:=1.72200188C 1 分/：=L710059731 2分 尤5：=L709975955分|x5-|1 0 .709975（1 分）六、（15分）用改进的欧拉方法求解初值问题y=-0.9y/（l+2x）7（0）=1取步长=0.25,计算y（0-5）,并与准确值y=（1 +2x）445比较.解A T J ：&J =fr，（xx 0.
9、9%.0.9（%+%）n.yn）-，k2-/（%+,yn+kxh）1+2当1+2七 用”+1 =兀+*+/公式2分%=0,占=0,%=0.1,匕=-0.9（2分）&=-0465（2分），y=0.829375,（2分）真实值0.8332185564（1 分）%,=0.25,4=0.5,匕=-0.497625（1 分）,&=-0.3172359375（1 分）,%=0.7275173828（1 分）真 实 值0.7320428480（1 分）X误 差 约 为0.0038435564,（1分）%误差约为00045254652（1分）七、（10分）己知某连续可微函数/（x）的几点函数值如下表x 0 0
10、.125 0.25 0.375 0.5 0.625 0.75 0.875 1f（x）1 0.9961 0.9843 0.9646 0.9368 0.9006 0.8554 0.8006 0.7351使用复化梯形求积公式及其外推公式估计J；f（x）d x,使估计值尽可能准确（注：每步计算结果保留小数点后6位。）解：（1）T.=1+0.7351=0.85755（1 分）2T,=-7；+-x 0.9368=0.9021752 2 1 2（3分）7；=1 7；+-（0.9843+0.9368+0.8554）=0.911025（1 分）7；=-7；+-（0.9961+0.9646+0.9006+0.80
11、06）=0.91324375 0.913244（1 分）2 8外推第一层&0913717（1 分）Sz=4+2 0.913958（1 分）4=7；+%4”0.913988 C 分）外推第二层C=邑 +1；鸟 B 0.913974（1 分）G=S4+邑*”0913990（工分）外推第三层/?,=C,+0.913990 C 分）北京科技大学2011年 科学与工程计算研究生考试试题答案一、填空题(每空题2 分，共 2 0 分)1 .x =1.649 1 是精确值五的近似值，则其有4位有效数字.1.6487 2 1 2 7 0 7 0 0 1 2 81 4684865 0 7 87 81 422 .为
12、了提高数值计算精度，当数%非常大时，应将l n(x)-l n(&2 i)改 写 为-l n(l-y).2 厂一 _ 3_ j3.设A=；,贝口珊=4，|乩=&+场=逐+1。4.已 知/。)为区间 0,1 上关于权函数p(x)=l-x 的首项系数为1的正交多项式族，%(x)=l,则 7(x)=。5 .设 /(x)=f 一 /+%+1,则差商 4,_ 3,2,1,0,1,2,3,4 =1。/0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 =06.求解初值问题y =-2 0 y x,y(O)=l 时，若用改进欧拉方法的绝对稳定域中步长h 不超过.0.1。4-0 r 17.设S(x)=R 是 0,2 上的三次
13、样条函数,2x3+ax-+bx-lx2那么 a=2 b=3 _.二、(1 0 分)用 牛 顿 法 求=1的近似值，取初始值%=0.5,要求误差(IO-解：利用牛顿法构造递推公式_ /e x p(x j l _ 尤*-e x p(-尤*)/?z vx五+-xk-7 a；7 xk，、乙八)(%+l)e x p(X)4+1/=1,计 算 结 果 如 下，入：=0.5 71 0 2 0 4 3%2分x2:=0.5 671 5 5 5 68 0分 飞：=0.5 671 4 3 2 9 0 1 2分%：=0.5 671 4 3 2 9 0 4 2分|4-|1 0-5 X*。0.5 6 7 1 4 3 ：(
14、1 分)三、（1 0分）使 用D ol i ttl e三角分解求解线性方程组3解：A=-63-1 34-13 -1 3-6 43 -11 0-2 11 -6/1 1911 10O-4 _r 4 i求解-210%=-2 4得%二-1 61-6/1 1 1_ 8 _.-5 2/1 1.1四、（1 0分）设4=a0a 01 a其中。1,给出求解4%=的a 1Gauss-Seidel迭代矩阵，并给出Gauss-Seidel迭代收敛时Cl的范围。解Gs=-(D+LyU=-a0 0、-1,0 a1 00 0a b、o0、a=0,01-aO Y O aa=0 a20 J(0 /0、0 a0 0 01 J 1
15、 O 0守)=4_碎或 由 小 旬=仇-a x )-6，)=4+/芯*)-竭幻导出迭代矩阵A i+1)=b3-ax+l)=b3-ab2+a2b1-ax+a滋 A,ci 0XI-G =0 4 /-a=Z(A2-2a4)=0 7(Q )=豕0 -/4 +。W T W W令 w =-7：，H =I -2u u =1 2-y-I,WW3 01-1 22 63 0-1 2-4-2 4-8Gauss-Seidel 迭代收敛时，p(GJ=0/“+*+川 公 式2分%=1,%=0,0=0.1,4=0（1 分）右=0.1（1 分），x=1.005,（1 分）真实值 1.00502 51 2 6（1分）,误差0.
16、0000502 51 2 6（1分）=0.2 ,kl：=0.1 01（X）2 5000（1 分）,k2:=0.2 06 0857 036 （1 分）,%：=1.02 035441（1 分）真实值 1.02 04081 6 3（1 分），误差0.0000537 53北京科技大学2012年 科学与工程计算研究生考试试题答案一、填空题(每空题2 分，共 20分)1.玉=1.2 34具有4位 有 效 数 字，/。)=布 方 则/(内)的 绝 对 误 差 限 大 致 为0(X)02 6 849 1 447.2 .设 A 是一个5 x 1 0 的矩阵，B 是一个1 0 x 6 的矩阵，0 是一个6 x 5 的矩阵，。是一个5 x 3 的矩阵，根据矩阵乘法结合率，/=A B C O 可按如下公式计算(1)F =A(B C)D(2)尸=(/3)(。)则 公 式 效 率 更 高，其计算量 为 螫 f l o p s。1 0 0、3.己知向量x =(2,3,4)存在h o use h o l d 矩阵H 使 得 电=(2,5,0)。则 止 0 0.6 ().80.8 0.6,(1 1 01、,I-1 02
