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1、吉林省长春市市第六十二中学高三数学文期末试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 三棱锥的四个顶点均在同一球面上，其中是正三角形 平面则该球的体积为（ ）A. B. C. D. 参考答案：B2. 已知函数，则“b0”是“f (1) 0故f(t)单调增，现x1=1y，x+y=214. （x+a）10的展开式中，x7的系数为15，则a=参考答案：【考点】二项式系数的性质【专题】二项式定理【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求出r的值，即可求得x7的系数，再根据x7的系数为15，求得a的值【解答】解：（x
2、+a）10的展开式的通项公式为 Tr+1=?x10r?ar，令10r=7，求得r=3，可得x7的系数为a3?=120a3=15，a=，故答案为：【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题15. 已知tan=，则tan（+）=参考答案：【考点】两角和与差的正切函数【专题】三角函数的求值【分析】由两角和与差的正切函数公式即可求值【解答】解：tan（）=故答案为：【点评】本题主要考查了两角和与差的正切函数公式的应用，属于基本知识的考查16. 已知函数有零点，则的取值范围是 。参考答案：，有，得。当时，当时，所以当时，函数取得极小值，
3、所以要使函数有零点，则有，即，即，所以的取值范围是。17. 若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的全面积等于 参考答案： 3 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. （13分）已知椭圆C：+y2=1，圆O：x2+y2=4上一点A（0，2）（）过点A作两条直线l1、l2都与椭圆C相切，求直线l1、l2的方程并判断其位置关系；（）有同学经过探究后认为：过圆O上任间一点P作椭圆C的两条切线l1、l2，则直线l1、l2始终相互垂直，请问这位同学的观点正确吗？证明你的结论参考答案：（）设切线方程为y=kx+2，代入椭圆方程并化简，得：（1+3
4、k2）x2+12kx+9=0，由于直线与椭圆相切，=144k236（1+3k2）=0，解得k1=1，k2=1，两切线方程分别为y=x+2，或y=x+2，k1k2=1，l1l2（）这位同学的观点正确，即直线l1、l2始终相互垂直证明如下：（i）当过点P与椭圆C：相切的一条切线的斜率不存在时，此时切线方程为x=，点P在圆O：x2+y2=4上，则P（3，1），直线y=1恰好为过点P与椭圆相切的另一条切线，于是两切线l1，l2互相垂直（ii）当过点P（m，n）与椭圆C相切的切线的斜率存在时，设切线方程为yn=k（xm），由，得（1+3k2）x2+6k（nmk）x+3（nmk）23=0，由于直线与椭圆相
5、切，=36k2（nmk）24（1+3k2）3（nmk）23=0，整理，得（m23）k22mnk+（n21）=0，P（m，n）在圆x2+y2=4上，m2+n2=4，m23=1n2，k1k2=1，两直线互相垂直综上所述，直线l1、l2始终相互垂直19. 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）再以原点为极点，以x正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系xOy有相同的长度单位在该极坐标系中圆C的方程为=4sin（1）求圆C的直角坐标方程；（2）设圆C与直线l交于点A、B，若点M的坐标为（2，1），求|MA|+|MB|的值参考答案：【考点】参数方程化成普通方程【专题】坐标系和参数方程
6、【分析】对第（1）问，先将方程=4sin的两边同时乘以，得2=4sin，再利用极坐标与直角坐标的互化公式，可得圆C的直角坐标方程；对第（2）问，先验证点M在直线l上，由已知点M写出l的参数方程，再将此参数方程代入圆的直角坐标方程中，得到关于t的一元二次方程，根据韦达定理及直线参数方程的几何含义可探求|MA|+|MB|的值【解答】解：（1）方程=4sin的两边同时乘以，得2=4sin，将极坐标与直角坐标互化公式代入上式，整理得圆C的直角坐标方程为x2+y24y=0（2）由消去t，得直线l的普通方程为y=x+3，因为点M（2，1）在直线l上，可设l的标准参数方程为，代入圆C的方程中，得设A，B对应
7、的参数分别为t1，t2，由韦达定理，得0，t1t2=10，于是|MA|+|MB|=|t1|+|t2|=，即|MA|+|MB|=【点评】1极坐标方程化直角坐标方程，一般通过两边同时平方，两边同时乘以等方式，构造或凑配2，cos，sin，再利用互化公式转化常见互化公式有2=x2+y2，cos=x，sin=y，（x0）等2参数方程化普通方程，关键是消参，常见消参方式有：代入法，两式相加、减，两式相乘、除，方程两边同时平方等3运用参数方程解题时，应熟练参数方程中各量的含义，即过定点M0（x0，y0），且倾斜角为的直线的参数方程为，参数t表示以M0为起点，直线上任意一点M为终点的向量的数量，即当沿直线向
8、上时，t=；当沿直线向下时，t=20. （本小题满分12分）已知数列中,.（1）求证：是等比数列, 并求的通项公式；（2）数列满足,数列的前项和为,若不等式对一切恒成立, 求的取值范围.参考答案：（1）an=2/（3n-1）;（2）（-2,3）.21. 设函数f（x）=x2mlnx，h（x）=x2x+a（）当a=0时，f（x）h（x）在（1，+）上恒成立，求实数m的取值范围；（）当m=2时，若函数g（x）=f（x）h（x）在1，3上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值；函数的零点【专题】压轴题【分析】（I）由a=0，我们可以由f（x）h（x）在（1，+）
9、上恒成立，得到mlnxx，即在（1，+）上恒成立，构造函数，求出函数的最小值，即可得到实数m的取值范围；（） 当m=2时，我们易求出函数g（x）=f（x）h（x）的解析式，由方程的根与对应函数零点的关系，易转化为x2lnx=a，在1，3上恰有两个相异实根，利用导数分析函数的单调性，然后根据零点存在定理，构造关于a的不等式组，解不等式组即可得到答案【解答】解：（I）由a=0，f（x）h（x）可得mlnxx，即记，则f（x）h（x）在（1，+）上恒成立等价于m（x）min（3分）求得（4分）当x（1，e）时；（x）0；当x（e，+）时，（x）0故（x）在x=e处取得极小值，也是最小值，即（x）mi
10、n=（e）=e，故me（6分）（II）函数k（x）=f（x）h（x）在1，3上恰有两个不同的零点等价于方程x2lnx=a，在1，3上恰有两个相异实根（7分）令g（x）=x2lnx，则（8分）当x1，2）时，g（x）0，当x（2，3时，g（x）0g（x）在1，2上是单调递减函数，在（2，3上是单调递增函数故g（x）min=g（2）=22ln2（10分）又g（1）=1，g（3）=32ln3g（1）g（3），只需g（2）ag（3），（12分）故a的取值范围是（22ln2，32ln3（13分）【点评】本题考查的知识点是利用导数研究函数的极值，函数的零点，其中（I）的关键是构造函数，将问题转化为函数恒成立问题，（II）的关键是利用导
