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1、2021年湖南省邵阳市龙从中学高三数学理月考试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 命题“若，则”的否命题是A若，则B若，则C若，则D若，则参考答案：C略2. 直线与圆相交于不同的A,B两点（其中是实数），且(O是坐标原点)，则点P与点距离的取值范围为（ ） A B C D参考答案：D3. 等比数列中，的结果可化为( )A B C（）D（）参考答案：C略4. 若集合A=x|y=2x，集合，则AB=（）A（0，+）B（1，+）C0，+）D（，+）参考答案：C【考点】函数的定义域及其求法；交集及其运算【专题】计算题；函
2、数的性质及应用【分析】求出集合A中函数的定义域确定出A，求出集合B中函数的定义域确定出B，求出A与B的交集即可【解答】解：集合A中的函数y=2x，xR，即A=R，集合B中的函数y=，x0，即B=0，+），则AB=0，+）故选C【点评】此题属于以函数的定义域为平台，考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键5. 若数列满足规律：，则称数列为余弦数列，现将1，2，3，4，5排列成一个余弦数列的排法种数为 A. 12B. 14C. 16D. 18参考答案：C6. 已知复数则= （ ）A B C D参考答案：B7. 已知以4为周期的函数其中.若方程恰有5个实数解，则的取值范围为（ ）A. B
3、. C. D. 参考答案：B8. 则 ( ) A B C D 参考答案：C9. 已知抛物线y2=2px（p0）的焦点成F，过点F且倾斜角为45的直线l与抛物线在第一、第四象限分别交于A、B，则等于（）A3B7+4C3+2D2参考答案：C【考点】抛物线的简单性质【分析】直线l的方程为y=x，代入y2=2px，整理得4x212px+p2=0，解得x=p，即可求出【解答】解：直线l的方程为y=x，代入y2=2px，整理得4x212px+p2=0，解得x=p，=3+2故选C【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题10. 已知随机变量，若，则A B C D参考答案：C考点：
4、正态分布由题知：故答案为：C二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. (几何证明选讲选做题)已知PA是圆O的切线，线点为A，直线PO交圆O于B，C两点，AC=2，PAB=120，则圆O的面积为 .参考答案：12. 直线x+2y=m（m0）与O：x2+y2=5交于A，B两点，若，则m的取值范围为参考答案：（2，5）【考点】JE：直线和圆的方程的应用【分析】根据直线与圆有两个交点可推断出圆心到直线的距离小于或等于半径，根据，利用平行四边形法则推断出AOB范围，通过夹角为直角时求得原点到直线的距离，可得d范围，求得m的范围【解答】解：直线x+2y+m=0与圆x2+y2=5交于相异两点
5、A、B，O点到直线x+2y+m=0的距离d，又|+|2|，由OADB是菱形，并且OC2AC，可知，OC2圆的圆心到直线的距离d2，可得：2，m0，解得m（2，5）故答案为：（2，5）13. 双曲线的焦距为_，离心率为_参考答案：6 【分析】根据双曲线的几何性质，求得焦距和离心率.【详解】依题意，所以焦距，离心率.故答案为：（1）；（2）.【点睛】本小题主要考查双曲线的几何性质，属于基础题.14. 等比数列的前项和为，若， 则 参考答案：15. .椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过F2的直线交椭圆于A，B两点，的周长为8，则该椭圆的短轴长为_.参考答案：【分析】由的周长为8，利用椭圆
6、的定义可得的值，再根据离心率为求出的值，从而求得的值，进而可得结果.【详解】因为的周长为8，所以， 因离心率为，所以，由,解得，则该椭圆的短轴长为，故答案为.【点睛】本题主要考查椭圆的定义以及椭圆的离心率，意在考查对基础知识的掌握与灵活应用，属于中档题.16. 已知函数，则函数的图象在点处的切线方程是 参考答案：【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程；导数的运算B11 B12【答案解析】2x+y=0 解析：函数f（x）=x3+f（1）x2xf（x）=3x2+2f（1）x1，f（1）=3+2f（1）1，f（1）=2f（x）=x32x2x，f（1）=121=2，函数f（x）的图象在点（1，f（1
7、）处的切线方程是y（2）=2（x1）故答案为：2x+y=0【思路点拨】求导函数，确定切点处的斜率与切点的坐标，即可求得函数f（x）的图象在点（1，f（1）处的切线方程17. 某时段内共有100辆汽车经过某一雷达测速区域，将测得的汽车时速绘制成如图所示的频率分布直方图根据图形推断，该时段时速超过50km/h的汽车辆数为 参考答案：77三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. （01全国卷理） (12分) 已知复数z1 = i (1i) 3 ()求arg z1及； ()当复数z满足=1，求的最大值参考答案：解析：（）z1 = i (1i) 3 = 22i
8、， 将z1化为三角形式，得， ， 6分 （）设z = cos i sin ，则zz1 = ( cos 2)(sin 2) i， ()， 9分当sin() = 1时，取得最大值从而得到的最大值为 12分19. （本小题满分13分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的离心率为，过椭圆右焦点作两条互相垂直的弦AB与CD当直线AB斜率为0时，（）求椭圆的方程；（）求由A，B，C，D四点构成的四边形的面积的取值范围参考答案：（）;（）【知识点】椭圆的标准方程；直线与椭圆的综合应用解析：（）由题意知，则， 所以所以椭圆的方程为 4分 （） 当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在， 由题意知； 5
9、分 当两弦斜率均存在且不为0时，设， 且设直线的方程为， 则直线的方程为 将直线的方程代入椭圆方程中，并整理得，所以 8分同理， 9分 所以 ，当且仅当时取等号 11分综合与可知， 13分【思路点拨】（）根据题意列出关于a,b,c的方程，解方程组即可；（） 当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在，易求由题意知；当两弦斜率均存在且不为0时，设，且设直线的方程为， 则直线的方程为将直线的方程代入椭圆方程中，并整理成关于x的一元二次方程，利用弦长公式求出AB,CD,在利用基本不等式即可。20. (本小题满分14分) 如图，已知椭圆C：的左、右顶点为A、B，离心率为，直线x-y+l=0经过椭圆
10、C的上顶点，点S是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线AS，BS与直线分别交于M，N两点 (I)求椭圆C的方程； ()求线段MN长度的最小值； ()当线段MN长度最小时，在椭圆C上是否存在这样的点P，使得PAS的面积为l?若存在，确定点P的个数；若不存在，请说明理由参考答案：略21. （本小题满分13分）已知椭圆的离心率为， 以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切（）求椭圆的方程；（）设，过点作与轴不重合的直线交椭圆于、两点，连结、分别交直线于、两点试问直线、的斜率之积是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由参考答案：（1），故 4分（2）设，若直线与纵轴垂直， 则中有一点与重合
11、，与题意不符， 故可设直线. 5分将其与椭圆方程联立，消去得： 6分 7分 由三点共线可知， 8分 同理可得 9分 10分 而 11分 所以 故直线、的斜率为定值. 13分22. （12分）在“自选专题”考试中，某考场的每位同学都从不等式选讲和极坐标系与参数方程两专题中只选了一道数学题，第一小组选不等式选讲的有1人，选极坐标系与参数方程的有5人，第二小组选不等式选讲的有2人，选极坐标系与参数方程的有4人，现从第一、第二两小组各任选2人分析得分情况。（I）求选出的4人均为选极坐标系与参数方程的概率；（）设为选出的4个人中选不等式选讲的人数，求的分布列和数学期望。参考答案：解析：（I）设“从第一小组选出的2人均考极坐标系与参数方程”为事件A，“从第二小组选出的2人均考极坐标系与参数方程”为事件B，由于事件A、B相互独立，且所以选出的4人均考极坐标系与参数方程的概率为（）设可能的取值为0，1，2，3，得的分布列为0123的数学期望
