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1、 2023 届新高三入学摸底考试届新高三入学摸底考试 数学数学 一一选择题：本题共选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的符合题目要求的.1.若集合2Z40Axxx=，1,0,1,2,3B=，则AB=（）A.0,1,2,3 B.0,1,2,3,4 C.1,0,1,2,3 D.1,0,1,2,3,4【答案】A【解析】【分析】解一元二次不等式求出集合A再与集合B求交集可得答案.【详解】解不等式240 xx得04x，又Zx，所以0,1,2,3,4A=，所以0,1,2,3AB=.故
2、选：A.2.若复数 z 满足()2i10z+=，其中i是虚数单位，则z z的值为（）A.2 B.2 C.3 D.3【答案】B【解析】【分析】由已知得2z=，设()i,zaba b=+R，化简计算可得.【详解】因为()2i2i510zzz+=+=，所以2z=，故设()i,zaba b=+R，则222ab+=，所以()()222ii|2z zabababz=+=+=.故选：B.3.已知双曲线 C：22221xyab=（0a，0b）的一条渐近线为 y=2x，则 C的离心率为（）A.2 B.3 C.2 D.5【答案】D【解析】【分析】由条件可得2ba=,又因为222cab=+，计算得到5ca=.【详解
3、】因为双曲线2222:1xyCab=的一条渐近线为2yx=,所以2ba=,所以双曲线C的离心率为222222221125ccabbaaaa+=+=+=.故选：D.4.已知()f x是定义在 R上的奇函数，()1f x为偶函数，且当01x时，()2log 2f xx=，则()21f=（）A.1 B.0 C.2log 3 D.1【答案】D【解析】【分析】根据奇偶性的性质化简可得()f x是以 4为周期的函数，即可求出.【详解】因为()f x是定义在R上的奇函数，故可得()()f xfx=，又()1f x为偶函数，故可得()()()111f xfxf x=+，则()()()()244f xf xf
4、xf x=+=+=+，故()f x以 4 为周期，故()()2211log 21ff=.故选：D.5.每年的 6月 6日是全国爱眼日，某位志愿者跟踪调查电子产品对视力的影响，据调查，某高校大约有45%的学生近视，而该校大约有 20%的学生每天操作电子产品超过 1h，这些人的近视率约为 50%.现从每天操作电子产品不超过 1h的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为（）A.716 B.38 C.516 D.14【答案】A【解析】【分析】令事件1A=“玩手机时间超过1h的学生”，2A=“玩手机时间不超过1h的学生”，B=“任意调查一人，此人近视”，则由()()()()()1122P BP A P
5、 B AP AP B A=+可求出.【详解】令事件1A=“玩手机时间超过1h的学生”，2A=“玩手机时间不超过1h的学生”，B=“任意调查一人，此人近视”，则样本空间12AA=，且12,A A互斥，()()()()1210.2,0.8,0.5,0.45P AP AP B AP B=，依题意，()()()()()()112220.2 0.50.80.45P BP A P B AP AP B AP B A=+=+=，解得()2716P B A=，所以所求近视的概率为716.故选：A.6.已知点 A为圆台 O1O2下底面圆 O2的圆周上一点，S为上底面圆 O1的圆周上一点，且 SO1=1，O1O2=
6、3，O2A=2，记直线 SA与直线 O1O2所成角为，则（）A.0,6 B.0,3 C.,6 3 D.,4 2 【答案】C【解析】【分析】根据线面角的定义确定ASD=，再根据圆的性质计算得解.【详解】由题意，设上下底面半径分别为12,R R，其中121,2RR=，如图，过S作SD垂直下底面于D，则12OOSD，所以直线SA与直线12OO所成角即为直线SA与直线SD所成角，即ASD=，而tan3ADADSD=，由圆的性质，222213RO D AD O DR=+=，所以3tan,333ADADSD=，所以,6 3，故选：C.7.已知函数()2sin 23f xx=，若方程()23f x=在（0，
7、）的解为1x，2x（12xx），则()12sin xx=（）A.2 23 B.2 23 C.13 D.13【答案】A【解析】【分析】结合正弦型函数的图像与性质可得125212xx+=，进而可得()121sincos 23xxx=，明确1x的范围得到结果.【详解】因为()0,x，所以52,333x，又因为12,x x是1sin 233x=的两根，结合图象可知125212xx+=，所以2156xx=，所以()12115sinsin 2cos 263xxxx=，又因为12215,6xx xx=，所以15012x），则()220.9545PX+=，()330.9973PX+=，500.977250.3
8、164）A.()0.90.5P X=C.()()0.41.5P XP X D.假设生产状态正常，记 Y表示一天内抽取的 50只口罩中过滤率大于2+的数量，则()10.6836P Y 【答案】ABD【解析】【分析】根据题意可得0.9372,0.0139=，然后根据正态分布的性质逐个分析判断即可 的.【详解】由题意可知，正态分布的0.9372,0.0139=.选项 A，因为0.9，所以()()0.90.5P XP X=+，且(33)0.9973PX=，故 B正确；选项 C，因为0.41.5,0.41.5，所以(0.4)(1.5)P XP X，故 C错误；选项 D，因为一只口罩过滤率小于等于2+的概
9、率为1 0.95450.95450.977252+=，又因为()()501101 0.977250.6836P YP Y=，故 D 正确.故选：ABD.10.已知11(,)A x y，22(,)B x y是圆 O：221xy+=上两点，则下列结论正确的是（）A.若1AB=，则3AOB=B.若点 O到直线 AB的距离为12，则32AB=C.若2AOB=，则112211xyxy+的最大值为2 2 D.若2AOB=，则112211xyxy+的最大值为 4【答案】AD【解析】【分析】对于选项 A，B，根据垂径定理可判断，对于选项 C，D，根据点到直线的距离公式可求解判断.【详解】对于 A，若1AB=，
10、则可知点O到AB的距离为32，从而可知3AOB=，故 A正确；对于 B，若点 O到直线 AB 的距离为12，则可知322AB=，从而得3AB=，故 B错误；对于 C，D，11221122xyxy+的值可转化为单位圆上的()()1122,A x yB xy两点到直线10 xy+=的距离之和，又AOB90=，所以三角形AOB是等腰直角三角形，设M是AB的中点，则OMAB，且2222OMOA=，则M在以O点为圆心，半径为22的圆上，,A B两点到直线10 xy+=的距离之和为AB的中点M到直线10 xy+=的距离的两倍.点()0,0O到直线10 xy+=的距离为1222=，所以点M到直线10 xy+
11、=的距离的最大值为22222+=，所以11221122xyxy+的最大值为2 2.因此112211xyxy+的最大值为4.从而可知C错误，D正确.故选：AD.11.已知定义在 R 上的偶函数()f x，其导函数为()fx，当0 x 时，()sin20fxx+.则（）A.函数()()2cosg xf xx=的图象关于 y轴对称 B.函数()()2cosg xf xx=在区间)0,+上单调递减 C.不等式()cos22f xfxx+的解集为,4 D.不等式()cos22f xfxx+，即()2g xg x+.根据函数()g x的奇偶性和单调性可求解.【详解】解：对于选项A，由()()()()22c
12、oscosgxfxxf xx=，所以()g x为偶函数，所以函数()()2cosg xf xx=的图象关于y轴对称.故A正确；对于选项 B，由()()2cosg xf xx=为偶函数.当0 x时，()()sin20gxfxx=+，所以()g x在)0,+上单调递减，故()g x在(,0上单调递增.故 B正确；对于 C、D选项，由()cos22f xfxx+，得()22cossin2f xfxxx+，即()22coscos22fxxf xx+，所以()2g xg x+.所以2xx+，解得4x）的离心率为33，过点 P（1，1）的直线与椭圆 C交于 A，B 两点，且满足APPB=.动点 Q 满足A
13、QQB=，则下列结论正确的是（）A.3a=B.动点 Q的轨迹方程为2360 xy+=C.线段 OQ（O为坐标原点）长度的最小值为3 1313 D.线段 OQ（O为坐标原点）长度的最小值为6 1313【答案】ABD【解析】【分析】对于 A：利用离心率直接求出3a=；对于 B：设()()()1122,A x yB xyQ m n进行向量坐标化，整理化简得到132mn+=，即可判断出动点Q的轨迹方程为直线2360 xy+=，故B正确；对于 C、D：求出线段OQ长度的最小值即为原点到直线的距离，利用点到直线的距离公式即可求解.【详解】对于 A：由椭圆22:1(2)2xyCaa+=的离心率为33，得23
14、13a=，所以3a=，故A正确；对于 B：设()()()()()11221122,1,1,1,1,A x yB xyQ m nAPxyPBxy=1122(,),(,)AQmx nyQBxm yn=，由,APPB AQQB=，得()()()121212121,11,1,xxxxxxmmxxm+=+=两式相乘得()2222121xxm=，同理可得()()22222222221122121,1323232xyxymnyyn=+=+，由题意知0且1，否则与AQQB=矛盾，1,32mn+=动点Q的轨迹方程为132yx+=，即直线2360 xy+=，故B正确；对于 C、D：所以线段OQ长度的最小值即为原点
15、到直线的距离，OQmin66 131349=+，故 C 错误，D正确.故选：ABD.三三填空题：本题共填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.13.已知函数 f(x)满足：f(xy)f(x)f(y)，且当 xy时，f(x)f(y)，请你写出符合上述条件的一个函数 f(x)_【答案】2x（答案不唯一）【解析】【分析】由 f(xy)f(x)f(y)，可得指数函数具有此性质，从而可得函数【详解】对于函数()2xf x=，()222()()x yxyf xyf x f y+=，且当 xy时，f(x)f(y)，所以函数()2xf x=满足条件，故答案为：2x（答案不唯
16、一）14.已知在ABC中，点D满足34BDBC=，点E在线段AD(不含端点A，D)上移动，若AEABAC=+，则=_.【答案】3【解析】【分析】()01AEmADm=,利用向量的线性运算求得AE 关于,AB AC 的表达式，利用平面向量基本定理中的分解唯一性得到,关于m的表达式，进而得到答案.【详解】如图，由题意得存在实数m，使得()01AEmADm=，所以3cossin3BB=，即tan3B=，又因为()0,B，可得3B=.【小问 2 详解】因为ABC的面积为3,23B=，所以133csin242SaBac=，所以2ac=，因为2ac=，所以1,2ca=，所以2212cos4 1 2 232bacacB=+=+=，所以222abc=+，故ABC为直角三角形.18.为落实教育部的双减政策，义务教育阶段充分开展课后特色服务.某校初中部的篮球特色课深受学生喜爱，该校期末将进行篮球定点投篮测试，规则为：每人至多投 3次，先在 M处投一次三分球，投进得 3 分，未投进不得分，以后均在 N处投两分球，每投进一次得 2 分，未投进不得分.测试者累计得分高于 3 分即通过测试，并终止投篮.甲乙两位同
