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1、1解决与三角形相关的取值范围问题解决与三角形相关的取值范围问题 例例 1：在锐角中，则 的取值范围是 ABC2ABcb解析解析：由 0222ABCAB且0得，所以64B2sinsin3sin2 coscos2 sin4cos1sinsinsincCBBBBBBbBBB，又所以 23cos(,)22B24cos1(1,2)cBb 点评点评：本题易错在求的范围上，容易忽视“是锐角三角BABC形”这个条件。本题涉及三角形边角之间的关系，考察边角互化，化多元为一元，体现了解题的通性通法。 例例 2：若的三边成等比数列，所对的角依次为ABC, ,a b c, ,a b c, ,A B C，则的取值范围是
2、 sincosBB解析解析：由题设知，又余弦定理知2bac 2222221cos2222acbacacacacBacacac所以，又所以03B7sincos2sin()44412BBBB且即的取值范围是。 2sin()(1,24BsincosBB(1,2点评点评：本题将数列、基本不等式、三角函数、解三角形等知识结合起来，有利于提高学生解题的综合能力。 例例 3：在中，角的对边分别为，且ABC, ,A B C, ,a b c成等差数列。 （1）求的大小。 cos, cos , cosaC bB cAB（2）若，求周长的取值范围。 5b ABC解析解析：（1）由题意知， coscos2 cosaC
3、cAbB由正弦定理得 sincossincos2sincosACCABB2所以，于是 sin()2sincosACBB1cos,23BB（2）由正弦定理，所以 10sinsinsin3abcABC 101010210sin5sin5sin()sin5 10sin()363333abcACAAA 又由得，所以 02A2663A。 5 10sin()(10,156abcA点评点评：对三角函数式的处理常常借助于同角三角函数间关系、诱导公式以及恒等变换式等实施变形，达到化简、求值域的目的。 例例 4：在中，若的外接圆半径为，ABC22223abcabABC3 22则的面积的最大值为 ABC解析解析：又
4、及余弦定理得，所以22223abcab2221cos23abcCab， 2 2sin3C 又由于，所以即 2 sin4cRC2222coscababC2221623ababab所以，又由于，故当且仅当12ab 12sin4 223SabCab2 3ab时，的面积取最大值 ABC4 2点评点评：先利用余弦定理求的大小，再利用面积公式结合基本不cos A等式，求面积的最大值，要注意正弦定理与余弦定理的综合应用。 例例 5：（2008，江苏）满足的的面积的最大值2,2ABACBCABC是 解析解析：设，则， BCx2ACx3根据面积公式得 21sin1 cos2ABCSAB BCBxB由余弦定理得
5、2222224( 2 )4cos244ABBCACxxxBAB BCxx代入式得 22224128(12)1 ()416ABCxxSxx由三角形三边关系有，所以2222xxxx且2 222 22x， 故当时，取得最大值。 2 3x ABCS2 2点评点评：本题结合函数的知识，以学生熟悉的三角形为载体，考察了面积公式、余弦定理等知识，是一道考察解三角形的好题。 例例 6：已知角是三个内角，是各角的对边，向量, ,A B CABC, ,a b c，且 (1 cos(),cos)2ABmAB5( ,cos)82ABn98m n （1）求的值。 tantanAB（2）求的最大值。 222sinabCa
6、bc解析解析：由，且得 (1 cos(),cos)2ABmAB5( ,cos)82ABn98m n ，所以， 2591 cos()cos828ABAB4cos()5cos()ABAB即，所以 coscos9sinsinABAB1tantan9AB（2）由余弦定理得，而 222sinsin1tan2cos2abCabCCabcabC tantan993tan()(tantan)2 tantan1tantan884ABABABABAB即有最小值，又， tan()AB34tantan()CAB 所以有最大值（当且仅当时取等号） tanC341tantan3AB所以的最大值为 222sinabCabc
7、38通过以上例题，我们发现与三角形相关的取值范围问题常常结合4正弦定理、余弦定理、面积公式、数列、三角函数、基本不等式、二次函数、向量等知识综合考查。这一类问题有利于考查学生对知识的综合运用能力，是高考命题的热点。理顺这些基本知识以及技巧和方法可以提高我们解题的能力。希望本文能对同学们复习备考有所帮助。 巩固练习巩固在中，则的取值范围为 ABC2,1acC2若钝角三角形的三内角的度数成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为，则的取值范围是 mm3在中，且所对的边满足，则Rt ABC2C, ,A B C, ,a b cabxc实数 的取值范围为 x4在锐角中，则的取值范围是 ABC2AB1AC
8、BC5在锐角中，三个内角成等差数列，记，ABC, ,A B CcoscosMAC则的取值范围是 M6已知锐角三角形的边长分别为，则 的取值范围是 1,3,aa7已知外接圆的半径为 ，若面积且ABC622()ABCSabc，则 ，的最大值为 4sinsin3BCsin A ABCS8在中，且 ABC(sin,cos),(cos ,sin)mAC nBAsinsinm nBC （1）求证：为直角三角形 ABC（2）若外接圆的半径为 ，求的周长的取值范围 ABC1ABC9在中所对的边分别为，已知 ABC, ,A B C, ,a b c2sin3cosAA（1）若，求实数的值 222acbmbcm5（
9、2）若，求面积的最大值。 3a ABC 参考答案参考答案 1 11sinsin,(0,226CAC2 (2,)3 (1,24同例 1 知，由正弦定理64B sinsin22cos( 2, 3)sinsinACABBCBBB5易知，则 2,33BAC2coscoscoscos()3MACAA 213cos1311cossincossin2sin(2)2244264AAAAAA 由于，所以，故203A72666A 111 1sin(2)(, 2642 4MA 6.设所对的角分别为，由三角形三边关系有1,3,a, ,A B C，故，易知，要保证为锐角1 3,1331aaa且24aBAABC三角形，只
10、需，即，解得cos0,cos0BC2222221313002 12 1 3aaa 且 2 210a7由，得 22()ABCSabc222sin(2)2Aabcbc由余弦定理得，故有，易得2222cosabcbcAsin22cos2AAA为锐角，且，即，故有22sin42sin4cos4AAA217sin8sin0AA， 8sin17A 6则 42 (sinsin)12163bcRBC（当且仅当时取21sin4256sin()642221717ABCA bcSbcA8bc等号） 即的最大值为 ABCS256178 （1）由，且 (sin,cos),(cos ,sin)mAC nBAsinsinm
11、 nBC 得， sincossincossinsinABACBC由正弦定理得， coscosaBaCbc由余弦定理得 22222222acbabcaabcacab整理得 222()()0bc abc又由于，故，即是直角三角形 0bc222abcABC（或者：由得， sincossincossinsinABACBC sincossincossin()sin()ABACACAB化简得，由于，故， cos(sinsin)0ABCsinsin0BCcos0A 即是直角三角形） ABC（2）设内角所对的边分别为 ABC, ,A B C, ,a b c由于外接圆的半径为 ，所以， ABC12A2 sin2aRA所以 2 (sincos)2(sincos)2 2sin()4bcRBBBBB又，故，因而 02B3444B2 2sin()(2,2 24B故 422 2abc即的周长的取值范围为 ABC(4,22 29 （1）由两边平方得 2sin3cosAA22sin3cosAA7即，解得 (2cos1)(cos2)0AA1cos2A 由得 222acbmbc22222bcambc即，所以 1cos22mA 1m （2）由（1）知，则， 1cos2A 3sin2A 又，所以，即， 222122bcabc22222bcbcabca2bca故21133 3sin2224ABCSbcAa
