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1、2022-2023学年广东省河源市通衢职业中学高三数学理模拟试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 与向量的夹角相等，且模为1的向量是( )ABCD参考答案：B考点：平面向量数量积坐标表示的应用 分析：要求的向量与一对模相等的向量夹角相等，所以根据夹角相等列出等式，而已知的向量模是相等的，所以只要向量的数量积相等即可再根据模长为1，列出方程，解出坐标解答：解：设与向量的夹角相等，且模为1的向量为（x，y），则解得或，故选B点评：本题表面上是对向量数量积的考查，根据两个向量的坐标，用数量积列出式子，但是这步工作做完以
2、后，题目的重心转移到解方程的问题，解关于x和y的一元二次方程2. 已知三棱锥S-ABC中，SA平面ABC，且，.则该三棱锥的外接球的体积为( )A. B. 13C. D. 参考答案：D【详解】， 是以 为斜边的直角三角形，其外接圆半径 ，则三棱锥外接球即为以为底面，以 为高的三棱柱的外接球，三棱锥外接球的半径满足 故三棱锥外接球的体积 故选D.【点睛】本题考查的知识点是球内接多面体，其中根据已知求出球的半径是解答的关键3. 的值是（ ）A B C D参考答案：D4. 复数i（i为虚数单位）的模等于 A B C D参考答案：A5. 设数列an的前n项和Sn，若，则a4=（ ）A. 27 B. 2
3、7 C. D. 参考答案：B，两式相减得：2，即当时，,故选：B6. 已知椭圆：，左右焦点分别为，过的直线交椭圆于A，B两点，若的最大值为5，则的值是 A.1 B. C. D.参考答案：D 由题意知，所以因为的最大值为5，所以的最小值为3，当且仅当轴时，取得最小值，此时，代入椭圆方程得，又，所以，即，所以，解得，所以，选D. 7. 已知函数的最小正周期为，则（ ）A1 B C-1 D参考答案：A 【知识点】三角函数的性质C3解析：因为函数的最小正周期为，所以，则，所以选A.【思路点拨】可先由最小正周期求函数解析式，再代入求所求函数值.8. 若定义在R上的函数满足则对于任意的，都有A充分不必要条
4、件B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件参考答案：C略9. 设是空间两条直线，是空间两个平面，则下列选项中不正确的是（ ）A当时，“”是“”成立的充要条件B当时，“”是“”的充分不必要条件C当时，“”是“”的必要不充分条件D当时，“”是“”的充分不必要条件参考答案：C 10. 已知函数是奇函数，当时，则的值等于（ ）A C D-参考答案：D二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知角的终边上一点的坐标为（sin25，cos25），则角的最小正值为参考答案：115【考点】G9：任意角的三角函数的定义【分析】利用任意角的三角函数的定义，诱导公式，求得角的最小正值
5、【解答】解：角的终边上一点的坐标为（sin25，cos25），为第二象限角，且tan=cot25=tan65=tan=tan115，则角的最小正值为115，故答案为：11512. 若f（x）=2sinx（01在区间0，上的最大值是，则 参考答案：13. 如图，在极坐标系中，过点的直线与极轴的夹角，若将的极坐标方程写成的形式，则 。参考答案：设直线上的任一点为P,因为,所以,根据正弦定理得,即，即。14. 在区间任取一个实数，则该数是不等式解的概率为 参考答案：略15. 当实数，满足时，恒成立，则实数的取值范围是_.参考答案： 16. 已知ABC的三边长成公比为的等比数列，则ABC最大的余弦值为
6、 参考答案：由题设三边长分别为:a,2a,且2a为最大边,所对的角为,由余弦定理得:17. 已知函数若，则a的最大整数值为_参考答案：3【分析】令，利用导数研究函数的单调性极值即可得出【详解】解：令， ，.令，.当 ，即 时，在 单调递增， 恒成立；当，即 时，可得函数在单调递减，在单调递增 时，函数取得极小值即最小值 .令，时，.可得时，函数单调递减 时，时，时，.满足的的最大整数值为3；综上，a的最大整数值为3， 故答案为：3【点睛】本题考查利用利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字
7、说明，证明过程或演算步骤18. 在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，.（）求曲线的直角坐标方程；（）若点是曲线上一动点，求点到直线（为参数，）的最短距离.参考答案：（）；（）1试题分析：（）由公式可化极坐标方程为直角坐标方程；（）曲线是圆，把直线的参数方程化为普通方程后，求出圆心到直线的距离，就是所求距离的最小值试题解析：（）由，. 得，即；4分（）由直线，得.由（）知曲线为圆：，即，所以圆心坐标为（0,1），圆心到直线的距离为.到直线的最短距离为1.10分考点：极坐标方程与直角坐标方程的互化，直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式19. 设曲
8、线：（），表示导函数（I）求函数的极值；（II）数列满足，求证：数列中不存在成等差数列的三项；（III）对于曲线上的不同两点，求证：存在唯一的，使直线的斜率等于参考答案：.解：（I），得当变化时，与变化情况如下表：0单调递增极大值单调递减当时，取得极大值，没有极小值； （4分）（II）， （6分）假设数列中存在成等差数列的三项，则，因此，数列中不存在成等差数列的三项 （8分）（III）（方法1），即，设，是的增函数，；，是的增函数，函数在内有零点， （10分）又，函数在是增函数，函数在内有唯一零点，命题成立（12分）（方法2），即，且唯一设，则，再设，在是增函数，同理方程在有解 （10分）一次
9、函数在是增函数方程在有唯一解，命题成立（12分）注：仅用函数单调性说明，没有去证明曲线不存在拐点，不给分。略20. 已知函数.（）当时，求不等式的解集；（）设函数.当时，恒成立，求实数的取值范围.参考答案：（1）当时，.由，解得.所以，不等式的解集为.（2）（当且仅当时取等号）（当且仅当时取等号）.综上，当时，有最小值.故由题意得，解得，或.所以，实数的取值范围为.21. （本小题满分12分）已知函数为常数），直线与函数、的图象都相切，且与函数图象的切点的横坐标为1（1）求直线的方程及的值；（2）若g注：g是g的导函数，求函数的单调递增区间；（3）当时，试讨论方程的解的个数参考答案：（1）由，
10、故直线的斜率为1，切点为（1，），即（1，0），直线的方程为直线与的图象相切，等价于方程组只有一解，即方程的两个相等实根，（2），由，当时，是增函数，即的单调递增区间为（，0）（3）令，由，令，则，1当变化时，的变化关系如下表：（）1（1，0）0（0，1）1（1，）+00+0极大值极小值极大值又为偶函数，据此可画出的示意图如右图：当时，方程无解；当或时，方程有两解；当时，方程有三解；当时，方程有四解22. （14分）已知椭圆的中心是坐标原点，它的短轴长为，右焦点为，右准线与轴相交于点， ，过点的直线与椭圆相交于两点， 点和点在上，且轴. (I) 求椭圆的方程及离心率； (II)当时，求直线的方
11、程； （III）求证：直线经过线段的中点.参考答案：解析：（I）设椭圆方程为：由得 . 1分又，解得. 椭圆方程为：. 3分离心率. 4分（II）由（I）知点坐标为（1，0），又直线的斜率存在，设的斜率为,则的方程为. 5分由得 （*） 6分设，则是（*）方程两根，且，. 轴，且，即，解得.直线的方程为或. 8分（III）点，中点的坐标为. 当轴时，那么此时的中点为，即经过线段的中点. 9分 当不垂直轴时，则直线斜率存在,设直线的方程为, 10分由（*）式得. 又得故直线的斜率分别为.又,.即.且有公共点， 三点共线.直线经过线段的中点. 14分综上所述，直线经过线段的中点.说明：其他正确解法按相应步骤给分.
