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1、北京尹家府中学2023年高三数学文下学期期末试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 如下图所示，由若干个点组成形如三角形的图形，每条边（包括两个端点）有个点，每个图形总的点数记为，则（ ） A B C D参考答案：A2. “”是“直线与直线互相垂直”的( )(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件（C）充要条件 (D)既不充分也不必要条件参考答案：A略3. 若实数x，y满足不等式组，则x2y的最大值为（）A1B2C0D4参考答案：D【考点】7C：简单线性规划【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意
2、义，进行求最值即可【解答】解：由z=x2y得y=，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线y=，由图象可知当直线y=，过点A时，直线y=的截距最小，此时z最大，由，得，即A（4，0）代入目标函数z=x2y，得z=4，目标函数z=x2y的最大值是4故选：D4. 函数是 （ ） A最小正周期为的奇函数 B最小正周期为的偶函数 C最小正周期为的奇函数 D最小正周期为的偶函数参考答案：A略5. 已知集合；,则中所含元素的个数为（ ） 参考答案：D6. 已知a，b，c为直线，平面，则下列说法正确的是( )，则 ，则，则 ，则A. B. C. D. 参考答案：D【分析】可根据线面垂直的性质定理
3、判断；可借助正方体进行判断.【详解】由线面垂直的性质定理可知垂直同一平面的两条直线互相平行，故正确；选取正方体的上下底面为以及一个侧面为，则，故错误；选取正方体的上底面的对角线为，下底面为，则不成立，故错误；选取上下底面为，任意作一个平面平行上底面为，则有 成立，故正确.所以说法正确的有：.故选：D.【点睛】对于用符号语言描述的问题，最好能通过一个具体模型或者是能够画出相应的示意图，这样在判断的时候能更加直观.7. （4）下面是关于公差的等差数列的四个命题： 其中的真命题为（A） （B） （C） （D）参考答案：D8. 在平面直角坐标系上的区域M由不等式组给定，若点P为M上的动点，点A（2，1
4、），则?的最大值与最小值的和为（）A2B1C0D1参考答案：B【考点】简单线性规划【专题】不等式的解法及应用；平面向量及应用【分析】由约束条件作出可行域，利用数量积的坐标表示得到线性目标函数，化为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数求得?的最大值与最小值，则答案可求【解答】解：由约束条件作出可行域如图，设P（x，y），又A（2，1），z=?=2x+y，化为直线方程的斜截式：y=2x+z由图可知，当直线y=2x+z过点A（1，0）时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为21+0=2；当直线y=2x+z过点C（0，1）时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为20+1=1
5、?的最大值与最小值的和为2+1=1故选：B【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，利用数量积得到目标函数是解题的关键，是中档题9. 对实数和，定义运算“”：设函数，若函数的图象与轴恰有两个公共点，则实数的取值范围是( ) ABCD参考答案：B10. 已知M是抛物线上一点，F为其焦点，C为圆的圆心，则的最小值为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5参考答案：B【分析】设出抛物线的准线方程，问题求的最小值，结合抛物线的定义，就转化为，在抛物线上找一点，使到点、到抛物线准线距离之和最小，利用平面几何的知识可以求解出来【详解】解：设抛物线的准线方程为，为圆的圆心，所以的坐标为，过
6、作的垂线，垂足为，根据抛物线的定义可知，所以问题求的最小值，就转化为求的最小值，由平面几何的知识可知，当，在一条直线上时，此时，有最小值，最小值为，故选：B【点睛】本题考查了抛物线的定义，以及动点到两点定点距离之和最小问题解决本题的关键是利用抛物线的定义把问题进行转化，属于中档题二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知函数f（x）=（a是常数且a0）给出下列命题：函数f（x）的最小值是1；函数f（x）在R上是单调函数；函数f（x）在（，0）上的零点是x=lg；若f（x）0在，+）上恒成立，则a的取值范围是1，+）；对任意的x1，x20且x1x2，恒有f（）其中正确命题的序
7、号是（写出所有正确命题的序号）参考答案：【考点】命题的真假判断与应用 【专题】计算题；数形结合；函数的性质及应用；不等式的解法及应用【分析】画出函数f（x）=（a是常数且a0）的图象，由图只需说明在点x=0处函数f（x）的最小值是1；只需说明函数f（x）在R上的单调性即可；函数f（x）在（，0）的零点是lg；只需说明f（x）0在，+）上恒成立，则当x=时，函数取得最小值，从而求得a的取值范围是a1；已知函数f（x）的图象在（，0）上是下凹的，所以任取两点连线应在图象的上方【解答】解：对于，由图只需说明在点x=0处函数f（x）的最小值是1；故正确；对于，由图象说明函函数f（x）在R上不是单调函数
8、；故错；对于，函数f（x）在（，0）的零点是lg，故正确；对于，只需说明f（x）0在，+）上恒成立，则当x=时，函数取得最小值，求得a的取值范围是a1；故错；对于，已知函数f（x）在（，0）上的图象是下凹的，所以任取两点连线应在图象的上方，即f（），故正确故答案为：【点评】利用函数的图象研究函数的单调区间，以及根据函数的增减性得到函数的最值是常用的方法，解答本题的关键是图象法12. 参考答案：13. 计算：_.参考答案：.14. 在九章算术中，将四个面都是直角三角形的四面体称之为鳖臑，在体积为的鳖臑ABCD中，AB平面BCD，且，则该鳖臑外接球的表面积为_参考答案：9【分析】根据鳖臑的体积可求
9、出,由勾股定理可求出,确定外接球球心为中点，即可得到球半径，求出球的表面积.【详解】如图， 鳖臑四个面都是直角三角形，且平面，所以，故,所以,由知,即，在直角三角形中斜边上的中点到各顶点距离相等，可知AD中点O到A，B，C，D的距离相等,所以鳖臑外接球的球心为,半径，球的表面积,故答案为：【点睛】本题主要考查了三棱锥外接球的半径，球的表面积，棱锥的体积，属于中档题.15. 已知数列an与bn满足an=2bn+3（nN*），若bn的前n项和为Sn=（3n1）且anbn+36（n3）+3对一切nN*恒成立，则实数的取值范围是 参考答案：（，+）【考点】8H：数列递推式【分析】由bn的前n项和为Sn
10、=（3n1）求得bn，进一步得到an，把an，bn代入anbn+36（n3）+3，分离，然后求出关于n的函数的最大值得答案【解答】解：由Sn=（3n1），得，当n2时，当n=1时，上式成立，代入an=2bn+3，得，代入anbn+36（n3）+3，得（an3）bn+36（n3），即2?3n3n+36（n3），则+由=，得n3n=4时， +有最大值为故答案为：（，+）16. 在区间，内随机取两个数分别记为m，n，则使得函数f（x）=x3+mx2（n2）x+1有极值点的概率为 参考答案：考点：几何概型 专题：概率与统计分析：根据f（x）有极值，得到f（x）=0有两个不同的根，求出a、b的关系式，利
11、用几何概型的概率公式即可的得到结论解答：解：在区间，内随机取两个数分别记为m，n，则使得函数f（x）=x3+mx2（n2）x+1有极值点则f（x）=x2+2mx（n2）=0有两个不同的根，即判别式=4m2+4（n2）0，即m2+n2对应区域的面积为422如图由几何概型的概率公式可得对应的概率P=故答案为：点评：本题主要考查几何概型的概率的计算，利用函数取得极值的条件求出对应a的取值范围是解决本题的关键17. 已知函数f（x）为R上的偶函数，当x0时，f（x）=x34x，若函数g（x）=f（x）a（x2）有4个零点，则实数a的取值范围为参考答案：（0，1）【考点】52：函数零点的判定定理【分析】
12、利用导数判断x0时，f（x）=x34x的单调性，结合函数为偶函数作出简图，把函数g（x）=f（x）a（x2）有4个零点转化为即方程f（x）a（x2）=0有4个根也就是函数y=f（x）与y=a（x2）有4个不同交点求出过（2，0）与曲线f（x）=x3+4x（x0）相切的直线的斜率，则答案可求【解答】解：f（x）=x34x（x0），f（x）=3x24=，当x（0，）时，f（x）0，当x（，+）时，f（x）0，f（x）在（0，）上单调递减，在（，+）上单调递增当x=时，f（x）有极小值为函数g（x）=f（x）a（x2）有4个零点，即方程f（x）a（x2）=0有4个根也就是函数y=f（x）与y=a（x
13、2）有4个不同交点如图：函数f（x）为R上的偶函数，当x0时，f（x）=x34x，当x0时，f（x）=x3+4x设过（2，0）的直线与曲线f（x）=x3+4x相切于点（），则，切线方程为代入（2，0），得，即（x+1）（x2）2=0，得x=1切线的斜率为a=3（1）2+4=1则实数a的取值范围为（0，1）故答案为：（0，1）三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 如图，矩形与梯形所在的平面互相垂直，,，为的中点 ()求证：平面； ()求直线与平面所成角的正弦值参考答案：证明 ：（）取DE中点N，连结MN，AN在中，M，N分别为ED，EC的中点，所以MN/CD，且又已知AB/CD，且，所以MN/AB，且MN=ABks5u所以四边形ABMN为平行四边形 ，所以BM/AN；又因为平面BE
