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1、_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 量子力学学问总结仔细、努力、坚持、反思、总结物理 111 杨涛_精品资料_ - - - - - - -第 1 页,共 37 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 量 子 力 学量子力学学问点小结一、绪论1. 光的粒子性是由黑体辐射、光电效应和康普顿效应（散射）三个试验最终确定的；2. 德布罗意假设是任何物质都具有波粒二象性,其德布罗意关系为Eh、和phn3. 波尔的 三个 基本假 设是 定态 条件 假设 、频率条件假设EnhEm量子化条件假设pdqnh 或pdq（n1）（索末菲等推广的量子2化条件）4. 自由粒子的波函数A
2、eip rEt5. 戴维孙革末的电子在晶体上衍射试验证明白电子具有波动性；二、波函数及薛定谔方程（一）波函数的统计说明（物理意义）A.波函数 , r t 的统计说明 , 2d 表示 时刻在点 r 位置处单位体积内找到粒子的几率（注：d r 2 sin drd d）；B. 波函数 , , , x y z t 的统计说明 , , , 2dxdydz 表示 时刻在点（x y z）位置处单位体积没找到粒子的几率；_精品资料_ 例：已知体系处于波函数 , , x y z 所描写的状态,就在区间 , x xdx 内找到第 2 页,共 37 页粒子的概率是 , , 2dydz dx. 已知体系处于波函数 ,
3、 ,所描写的状态,就在球壳rrdr 内找到粒子的概率是20 , ,2sindd2 r dr ,在立体角 d内找到粒子的概率是0- - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 量 子 力 学0 , ,22 r drd. （注：dsind d）（二）态叠加原理：假如1和2 是体系的可能状态,那么它们的线性叠加c 11c 22（c 1、c 2为复数）也是这个体系可能的状态；含义：当体系处于1和2的线性叠加态c 112c 22（c 1、c 2为复数）时,体系既处于1 态又处于态2,对应的概率为1c和c22. （三）概率密度（分布）函数如波函数为 ,就其概率密度函数为（
4、） 2（四）薛定谔方程：it22U r 2 m拉普拉斯算符2222r21222 球坐标2 xy22 z直角坐标22212cosr2rrr22sinsin问题：1. 描写粒子（如电子）运动状态的波函数对粒子（如电子）的描述是统计性的 . 2. 薛定谔方程是量子力学的一个基本假设,（五）连续性方程：不是通过严格的数学推导而来的 注：JitJ*0* 2m问题： 波函数的标准条件单值、连续、有界；（六）定态薛定谔方程：_精品资料_ - - - - - - -第 3 页,共 37 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 量 子 力 学22U r E即：22U r E2 m2 m定态的特点
5、：（1）粒子的几率密度和几率流密度与时间无关（r2 t,）（r）eiEt2（r2）t0（2）能量具有确定的值（可由自由粒子的波函数进行验证）（3）各力学量的平均值不随时间变化定义：哈密顿算符H .22U r 2 m于是 定态薛定谔方程 可写为：HEE 被称为算符 H 的本征值,称为算符这种类型的方程称为本征值方程,的本征方程；争论定态问题,就是要求出（rt,）（或（r）和 E ,含时间的薛定谔方程的一般解,可以写成这些定态波函数的线性迭加： r,tCnnreiEntC 为常数；n（七）一维无限深势阱问题_精品资料_ 设粒子的势能：Ux,00xxaa（2）（1）第 4 页,共 37 页x0 ,在
6、势阱外x0 x0xa 在势阱内：由于Ux0,所以其定态薛定谔方程为：22d22E0xadx令k2 E（3）2- - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 量 子 力 学就方程（ 2）可化为标准形式：d22k200xa（4）dx其通解为：xAsinkx（5）式中 A ,为两个待定常数,单从数学上看,E 为任何值方程（ 2）都有解,然而,依据波函数连续性要求,在势阱边界上,有00asin0（6）a0（7）由（ 5）式和（ 6）式得：A 不能为零,所以必需0 ,于是令波函数不能恒为零,而xAsinkx（8）再依据（ 7）式得a Asinka0所以ka必需满意：kan
7、n,1,23.k 只能取以下值n取负数给不出新的波函数；这告知我们knn2,13,. 9 a由3 ）式可知,粒子的能量只能取以下值：Enn2222n,12 ,3 . 10 2 a将（ 9）式代入到（ 8）式中,并把势阱外的波函数也包括在内,我们就得到_精品资料_ 能量为Enn2222的波函数；xx0 ,xaan1 2,3,.（11）第 5 页,共 37 页2 a0nxAsinn0xa- - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 量 子 力 学注：n0 n0 ,0,波函数无意义（11）式中 A 可由归一化条件确定|nx|2dxa|x 2 |dxA2asin2nx
8、 dx100a知：A2x0 ,xaa最终得到能量为E 的归一化波函数为：0x 2sinnx0xaaa总结：1、Ux ,0sin0xax0 ,xa1 , 2, 3 , E n2n2220x0 ,xa可得：xn ax n22 2 ma0xaa2、Ux0 ,sinxaa Enn222xa0x可得：xnxa n1 , 2 , 3 ,1ax2 8 maa2 a 3 、Ux0,sinxaa E n2 n22xa20可得：xxnx2 n1 , 2 , 3 ,2axa2 2 maaa22问题：_精品资料_ - - - - - - -第 6 页,共 37 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - -
9、量 子 力 学粒子在一维无限深势阱中运动时,如阱宽减小,就其能级间隔会增大 . （八）一维线性谐振子问题：令：一维线性谐振子的势能：Ux 112x2x2E222d2定态薛定谔方程：2dx2E22x最终可求得 一维线性谐振子 的能量与对应的波函数为：Enn1n0、2、3 .Hnx222 x与之相应的波函数为：nxNne2归一化因子Nnn .2n其中：Hn1ne2dne2为厄米多项式d2且有：Hn（）2H（n）2 nHn（）H01H12H2422小结：一维线性谐振子：_精品资料_ 能量的本征方程是：2d212x 222 xx E0,1,2,第 7 页,共 37 页22 dx2本征方程的解：E n n1Hnn2en 2n 2n .- - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 量 子 力 学22一维线性谐振子 的基态能量与对应的波函数E1 2m2e2x2E或问题： 1. 线性谐振子能量的本征方程是（x）22d21x 22 2 m dx2d212x2E. 2 dx2定义算符：线性谐振子的本征矢记作n 注：nnn 2n.2 2 xn1e2Hnx a .nn1n1a .nn n1x n1nn1n21n12dnnn
