《空间向量在立体几何中的应用知识点大全经典高考题带解析练习题带答案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《空间向量在立体几何中的应用知识点大全经典高考题带解析练习题带答案（50页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 空间向量在立体几何中的应用【考纲说明】1. 能够利用共线向量、共面对量、空间向量基本定理证明共线、共面、平行及垂直问 题；2. 会利用空间向量的坐标运算、两点间的距离公式、夹角公式等解决平行、垂直、长 度、角、距离等问题；3. 培育用向量的相关学问摸索问题和解决问题的才能；【学问梳理】一、空间向量的运算 1、向量的几何运算（1）向量的数量积：已知向量,就0叫做的数量积,记作,即a空间向量数量积的性质：；,使 b；（2）向量共线定理：向量a a与 b 共线,当且仅当有唯独一个实数2、向量的坐标运算（1）如,就一个向量在直角坐标系中的坐标等于表
2、示这个向量的有向线段的终点的坐标减去 起点的坐标；1 _精品资料_ - - - - - - -第 1 页,共 31 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - （2）如,就,；,（3）夹角公式：（4）两点间的距离公式：如,就二、空间向量在立体几何中的应用 2. 利用空间向量证明平行问题 对于平行问题,一般是利用共线向量和共面对量定理进行证明3. 利用空间向量证明垂直问题 对于垂直问题,一般是利用 进行证明；4. 利用空间向量求角度（1）线线角的求法：设直线 AB、CD对应的方向向量分别为（线线角的范畴 00,900 ）a、b,就直线 AB与 CD所成的角为2 _精品资料_ - -
3、- - - - -第 2 页,共 31 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - （2）线面角的求法：设 n 是平面的法向量,是直线 的方向向量,就直线与平面所成的角为（3）二面角的求法：设 n1,n2分别是二面角的两个面,的法向量,就就是二面角的平面角或其补角的大小（如图）5. 利用空间向量求距离（1）平面的法向量的求法：设 n=x,y,z,利用 n 与平面内的两个不共线的向a,b 垂直,其数量积为零,列出两个三元一次方程,联立后取其一组解,即得到平面3 的一个法向量（如图） ；_精品资料_ - - - - - - -第 3 页,共 31 页_归纳总结汇总_ - - - - -
4、 - - - - （2）利用法向量求空间距离（a） 点 A到平面的距离：,其中, 是平面的法向量；的法向之间的距离：,其中,是平面（b） 直线与平面量；（c） 两平行平面之间的距离：,其中,是平面的法向量；4 _精品资料_ - - - - - - -第 4 页,共 31 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 【经典例题】【例 1】（2022 全国卷 1 理）正方体 ABCD- 1 A B C D 中,B B 与平面 AC 1 D 所成角的余弦值为（）（A）2（B）3（C）2（D）63 3 3 3【解析】 D【例 2】（2022 全国卷 2 文）已知三棱锥 SABC 中,底面
5、ABC为边长等于 2 的等边三角形, SA垂直于底面 ABC, SA=3,那么直线S F E B AB 与平面 SBC所成角的正弦值为（）（A）3 4 B 5C 7 4 D A C 43 4【解析】 D【例 3】（2022 全国卷）三棱柱ABCA B C 中,底面边长和侧棱长都相等,BAA 1CAA 160,就异面直线AB 与BC 所成角的余弦值为 _；【解析】6 65 _精品资料_ - - - - - - -第 5 页,共 31 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 【例 4】（2022 重庆）如图,在直三棱柱ABC-A 1B1C1中, AB=4,AC=BC=3的中点；（）
6、求异面直线 CC1和 AB的距离；（）如 AB1A1C,求二面角 A1CDB1的平面角的余弦值；【解析】513【例 5】（2022江苏）如图,在直三棱柱ABCA B C 中,A B 1AC ,D, 分别是棱BC,CC1上的点（点 D 不同于点 C）,且 ADDE, 为A 1B C 的中点F C 1B 1求证：（1）平面 ADE平面BCC B ；A D E （2）直线A F/平面 ADEC B 【例 6】（2022 山东）在如下列图的几何体中,四边形 DAB=60 ,FC平面 ABCD,AEBD,CB=CD=CF（）求证： BD平面 AED；（）求二面角 F-BD-C的余弦值6 ABCD是等腰梯
7、形, AB CD,_精品资料_ - - - - - - -第 6 页,共 31 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 错误；未指定书签；【解析】二面角 F-BD-C的余弦值为5 5ACAA,BC4,点A 在【例 7】（2022 江西）在三棱柱ABCA B C 中,已知 AB底面 ABC 的投影是线段 BC 的中点 O；（1）证明在侧棱AA 上存在一点 E ,使得 OE平面BBC C ,AA1OCB1C1并求出 AE 的长；B（2）求平面A B C 与平面BB C C 夹角的余弦值；【解析】5 ,53010【例 8】（2022 湖南）四棱锥 P-ABCD中,PA平面 ABCD,
8、AB=4,BC=3,AD=5,DAB=ABC=90 ,E是 CD的中点 . （）证明： CD平面 PAE；（）如直线 PB与平面 PAE所成的角和 PB与平面 ABCD所成的角相等,求四棱锥 P-ABCD 的体积 . 【解析】V1SPA1168 51285335157 _精品资料_ - - - - - - -第 7 页,共 31 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 【例 9】（2022 广东）如下列图,在四棱锥 PABCD 中,AB平面 PAD ,AB/ /CD PDAD ,E 是 PB中点, F 是 DC 上的点,且DF1AB , PH 为PAD 中 AD 边上的高；22
9、（1）证明： PH平面 ABCD；BCF 的体积；（2）如PH1,AD2,FC1,求三棱锥 Eh11FCADh1121（3）证明： EF平面 PAB 【解析】三棱锥 EBCF 的体积V1SBCF3326212【例 10】（2022 新课标）如图,直三棱柱 点,DC 1BDABCA1B1C1 中,AC=BC= 1 AA1,D是棱 AA1的中2（1）证明： DC 1BC；A1C1B1（2）求二面角 A1BDC1 的大小D【解析】二面角A 1BDC 1的大小为30ACB【例 11】如下列图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD为矩形,PA平面 ABCD 点 E 在P线段 PC 上, PC平面 BDE
10、（1）证明： BD平面 PAC；BAECD8 _精品资料_ - - - - - - -第 8 页,共 31 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - （2）如PA1,AD2,求二面角 BPCA的正切值【解析】二面角 BPCA的平面角的正切值为3 【例 12】（2022 天津）如图,在四棱锥PABCD 中, PA 丄平面 ABCD , AC 丄 AD , AB丄 BC ,ABC=450,PA AD=2,AC=1. P 证明 PC 丄 AD ；（）求二面角 APCD 的正弦值；BE与 CD所成的角为30 ,求 AE的长 . AC（）设 E为棱 PA 上的点,满意异面直线【解析】30
11、,610D10【课堂练习】1、（2022 上海）如n2 1, 是直线 l 的一个法向量, 就 l 的倾斜角的大小为（用反三角函数值表示）2、（2022 四川）如图,在正方体ABCDA B C D 中, M 、 N 分别是 CD 、CC 的中点,C 1就异面直线A M 与 DN 所成角的大小是 _；D 1A 1DB 1NMC9 AB第 9 页,共 31 页_精品资料_ - - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 3、（2022 全国卷）如图,四棱锥PABCD中,底面 ABCD为菱形, PA底面 ABCD ,AC2 2,PA2, E 是 PC上的一点,PE2 E
12、C ；BEPAD（）证明： PC平面 BED ；（）设二面角 APBC 为 90 ,求 PD 与平面 PBC 所成角的大小；C4、（2022 辽宁理）已知三棱锥 PABC中,PAABC,ABAC,PA=AC=.AB,N为 AB上一点, AB=4AN,M,S分别为 PB,BC的中点 . （）证明： CMSN；（）求 SN与平面 CMN所成角的大小 . 10 _精品资料_ - - - - - - -第 10 页,共 31 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 5、（2022 辽宁文） 如图,棱柱ABCA B C 的侧面BCC B 是菱形,B CA BB CD ,求A D:DC 的值. （）证明：平面AB C平面A BC ；（）设 D 是A C 上的点,且A B
