集合与元素的概念

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1、高中：高中：人人生生新阶段新阶段高考：高考：人生新目标人生新目标 1、学习学习旅程旅程这段旅程可以从任何时候开始！未来的成功在现在脚下！这段旅程可以从任何时候开始！未来的成功在现在脚下！2、老师老师导游导游一起分享学习中的快乐、一起体会成长与进步的滋味！一起分享学习中的快乐、一起体会成长与进步的滋味！3、目的目的运用运用应用数学来解决问题，形成数学的自信应用数学来解决问题，形成数学的自信每个人都可以根据自己的能力和实际需要学好自己的数学！每个人都可以根据自己的能力和实际需要学好自己的数学！4、准备准备必需品必需品轻松愉快的心情、热情饱满的精神、全力以赴的态度、轻松愉快的心情、热情饱满的精神、全

2、力以赴的态度、踏实努力的行动、科学认真的方法、及时真诚的交流踏实努力的行动、科学认真的方法、及时真诚的交流学习目标学习目标 合作的意识 积极主动的表现力 勇于探索的精神和求知欲 学习数学的乐趣和信心、相关生活经验 1.1 1.1 集合的概念集合的概念开开始始学学习习啦！啦！问题问题 某商店进了一批货，包括：面包、饼干、汉堡、彩笔、某商店进了一批货，包括：面包、饼干、汉堡、彩笔、水笔、橡皮、果冻、薯片、裁纸刀、尺子水笔、橡皮、果冻、薯片、裁纸刀、尺子 那么如何将这些商品放在指定的篮筐里：那么如何将这些商品放在指定的篮筐里：食品篮筐食品篮筐 .文具篮筐文具篮筐 .创创 设设 情情 景景 兴兴 趣趣

3、 导导 入入 解决：显然，面包、饼干、汉堡、果冻、薯片放在食品篮筐，彩笔、水笔、橡皮、裁纸刀、尺子放在文具篮筐归纳：面包、饼干、汉堡、果冻、薯片组成了食品集合，彩笔、水笔、橡皮、裁纸刀、尺子组成了文具集合 而面包、饼干、汉堡、果冻、薯片、彩笔、水笔、橡皮、裁纸刀、尺子就是其对应集合的元素1.1到5正整数;2.中国古典四大名著;：3.高一10班的全体学生;4.我校篮球队的全体队员;引例：我们把研究对象统称为元素.把一些元素组成的全体叫做集合，简称“集”.集合的概念:将某些确定的对象看成一个整体就构成一个集合（简称集）组成集合的对象叫做这个集合的元素.观察你的文具盒，什么是集合？什么是元素观察你的

4、文具盒，什么是集合？什么是元素？一般采用大写英文字母A，B，C表示集合，小写英文字母a，b，c 表示集合的元素.集合与元素 动动 脑脑 思思 考考 探探 索索 新新 知知 .元素a是集合A 的元素，记作aA，读作a属于A.元素与集合 元素a不是集合A 的元素，记作a A，读作a不属于A.元素与集合的关系 数集数集数集数集 集合 自然数集 整数集 正整数集 有理数集 实数集 字母 N Z N*Q R 集合的类型 关关 注注E E 空集 AA解集BB 有限集、无限集DD数集 C C 平面点集 集合 元素a是集合A的元素，aA，属于元素a不是集合A的元素，a A，不属于0 N；0.6 Z；R；Q；0

5、 .”或“用符号“”填空：巩巩 固固 知知 识识 典典 型型 例例 题题 元素a是集合A的元素，aA，属于元素a不是集合A的元素，a A，不属于0 N；0.6 Z；R；Q；0 .”或“用符号“”填空：.运运 用用 知知 识识 强强 化化 练练 习习 判断指定的对象能不能构成集合，关键在于能否找到一个明确的标准！.一个给定的集合中的元素都是互不相同的 一个给定的集合中的元素必须是确定的 一个给定的集合中的元素排列无顺序 确定性确定性 无序性无序性 互异性互异性 例2 判断下列对象是否可以组成集合：(1)小于10的自然数；(2)某班个子高的同学；(3)方程x2-1=0的解；(4)不等式x-20的解

6、.不能确定的对象，不能组成集合 元素的性质 练习1.下列指定的对象，能构成一个集合的是 很小的数 不超过 30的非负实数 直角坐标平面的横坐标与纵坐标相等的点的近似值 高一年级优秀的学生 所有无理数 大于2的整数 正三角形全体()A.B.C.D.判断一组对象能否组成集合的标准及其关注点(1)标准：判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合(2)关注点：利用集合的含义判断一组对象能否组成一个集合，应注意集合中元素的特性，即确定性、互异性和无序性元素和集合的关系解析：(1)根据各数集的意义可知，正确，错误(2)直线y2x3上的

7、点的横坐标x和纵坐标y具有y2x3的关系，即只要具备此关系的点就是集合P的元素由于当x2时，y2237，故(2,7)P.答案：(1)B(2)【互动探究】题(2)中，集合P不变，则2与集合P的关系是什么？点(3,4)与集合P又有什么关系？【互动探究】题(2)中，集合P不变，则2与集合P的关系是什么？点(3,4)与集合P又有什么关系？解：由于2是实数，而集合P是点集，故2P；由于当x3时，y23394，故(3,4)P.判断元素和集合关系的两种方法直接法如果集合中的元素是直接给出的，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可此时应首先明确集合是由哪些元素构成推理法对于某些不便直接表示的集合，只要判断该元

8、素是否满足集合中元素所具有的特征即可.此时应首先明确已知集合的元素具有什么特征，即该集合中元素要符合哪种表达式或满足哪些条件 已知集合A含有两个元素a3和2a1，若3A，试求实数a的值集合中元素的特性及应用解：3A，a33或2a13.若a33，则a0.此时集合A含有两个元素3，1，符合题意若2a13，则a1.此时集合A含有两个元素4，3，符合题意综上所述，满足题意的实数a的值为0或1.【互动探究】本例中，若将“3A”改为“aA”，则结果如何？【互动探究】本例中，若将“3A”改为“aA”，则结果如何？解：因为aA，所以a3a或2a1a.当a3a时，有30，不成立当2a1a时，有a1，此时A中有两

9、个元素2,1，符合题意综上知a1.1据集合中元素的确定性可以解出字母的所有可能的值，再根据集合中元素的互异性对集合中的元素进行检验2注意点：在利用集合中元素的特性解题时要注意分类讨论思想的运用1集合含义中的“元素”所指的范围非常广泛，现实生活中我们看到的、听到的、闻到的、触摸到的、想到的各种各样的事物或一些抽象的符号等，都可以看作“对象”，即集合中的元素2集合中的元素是确定的，某一元素a要么有aA，要么有aA，两者必居其一这也是判断一组对象能否构成集合的依据符号“”和“”只是表示元素与集合之间的关系3对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的，因此，当集合中元素含字母并要求对其求值时，求出

10、的值一定要加以检验，看是否符合集合中元素的互异性4集合与其中元素的排列顺序无关，由此性质可以判断两个集合之间的关系.问题问题 不大于不大于5 5的自然数所组成的集合中有哪些元素的自然数所组成的集合中有哪些元素?小于小于5 5的实数所组成的集合中有哪些元素的实数所组成的集合中有哪些元素?元素是可以一一列举的 只有0、1、2、3、4、5这6个元素 元素无法一一列举但特征明显 元素有无穷多个，特征：(1)集合的元素都是实数；(2)集合的元素都小于5.创创 设设 情情 景景 兴兴 趣趣 导导 入入 .列举法把集合的元素一一列举出来，写在大括号内，元素之间用逗号隔开.1描述法在花括号中画一条竖线竖线的左

11、侧写上集合的代表元素x，并标出元素的取值范围，竖线的右边侧写出元素所具有的特征性质 2动动 脑脑 思思 考考 探探 索索 新新 知知 .例例2 用列举法表示下列集合：大于-4且小于12的全体偶数;方程 的解集 巩巩 固固 知知 识识 典典 型型 例例 题题 .例例2 用列举法表示下列集合：大于-4且小于12的全体偶数;方程 的解集用列举法表示集合时，不必考虑元素的排列顺序,但是列举的元素不能出现重复-2,0,2,4,6,8,10；-1,6.巩巩 固固 知知 识识 典典 型型 例例 题题 .例3用描述法表示下列各集合：（1 1）小于5 5的整数组成的集合；.例3用描述法表示下列各集合：（2 2）

12、不等式2 2x+1+10 0的解集；.例3用描述法表示下列各集合：（3）所有奇数组成的集合；.例3用描述法表示下列各集合：（4）在直角坐标系中，由x轴上所有的点组成的集合；.例3用描述法表示下列各集合：（4）在直角坐标系中，由x轴上所有的点组成的集合；.例3用描述法表示下列各集合：（5）在直角坐标系中，由第一象限所有的点组成的集合；.运运 用用 知知 识识 强强 化化 练练 习习 .集合的表示有哪几种方法？各自有什么特点？1如何选择集合的表示法？2 理理 论论 升升 华华 整整 体体 建建 构构 .列举法、描述法.用列举法表示集合，元素清晰明了；用描述法表示集合，特征性质直观明确；表示集合时，

13、要针对实际情况，选用合适的方法例如，不等式（组）的解集，一般采用描述法来表示，方程（组）的解集，一般采用列举法来表示 巩巩 固固 知知 识识 典典 型型 例例 题题 .例4 用适当的方法表示下列集合：（1）方程x+5=0的解集；（2）不等式3x-75的解集；（3）大于3且小于11的偶数组成的集合；（4）不大于5的所有实数组成的集合；巩巩 固固 知知 识识 典典 型型 例例 题题 .例4 用适当的方法表示下列集合：（1）方程x+5=0的解集；（2）不等式3x-75的解集；（3）大于3且小于11的偶数组成的集合；（4）不大于5的所有实数组成的集合；解 x|x4解 -5解 4,6,8,10 解 x|

14、x5 5 巩巩 固固 知知 识识 典典 型型 例例 题题 .练 习集合的表示方法:描述法、列举法 集合常用大写字母表示 元素常用小写字母表示 如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作aA.如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作aA.集合与元素的关系:例如：A表示方程x21的解.2A，1A.确定性:集合中的元素必须是确定的.如:xA与xA必居其一.互异性:集合的元素必须是互异不相同 的.如:方程 x2x0的解集为1 而非1，1.无序性:集合中的元素是无先后顺序的.如:1，2，2，1为同一集合.5.集合元素的性质:确定性:集合中的元素必须是确定的.如:xA与xA必居其一.互异性:集合

15、的元素必须是互异不相同 的.如:方程 x2x0的解集为1 而非1，1.无序性:集合中的元素是无先后顺序的.如:1，2，2，1为同一集合.u那么1，2(1，2)(2，1)是否为同一集合?集合元素的性质:例题 例题1下列各项中，不可以组成集合的是（）A所有的正数 B等于2的数 C接近于0的数 D不等于0的偶数重点练习：元素互异性问题例1.若xR，则数集1，x，x2中元素x应满足什么条件.例题例2若xR，则数集1，x，x2中元素x应满足什么条件.解：x1且x21且x2x，x1且x1且x0.例题例2.若方程x25x60 和方程x2x20的解为元素的集为M，则M中元素的个数为A.1 B.2 C.3 D.

16、4例2.若方程x25x60 和方程x2x20的解为元素的集为M，则M中元素的个数为A.1 B.2 C.3 D.4(C )例3.已知集合Ax|ax24x40，xR，aR只有一个元素，求a的值与这个元素.例3.已知集合Ax|ax24x40，xR，aR只有一个元素，求a的值与这个元素.解：当a0时，x1.当a0时，1644a0.a1.此时x2.a1时这个元素为2.a0时这个元素为1.1.集合的含义（判断集合）2.集合的表示3.集合与元素的关系4.集合元素的性质5.集合的分类6.重要数集课堂小结 元素集合元素集合 关系关系 表示方法表示方法表示方法表示方法 概念特点概念特点 归归 纳纳 小小 结结 强强 化化 思思 想想 高教社高教社