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1、第一章矢量与坐标 1.1矢量的概念1 .以下情形中的矢量终点各构成什么图形?(1)把空间中一切单位矢量归结到共同的始点；(2)把平行于某一平面的一切单位矢量归结到共同的始点;(3)把平行于某始终线的一切矢量归结到共同的始点；(4)把平行于某始终线的一切单位矢量归结到共同的始点.解：(1)单位球面；(2)单位圆(3)直线；(4)相距为2的两点2 .设点。是正六边形ABCDE尸的中心，OF. AB. BC CDDE、EF在矢量而、OB， 0C.而、0E，和雨中，哪些矢量是相等的？解:如图1-1,在正六边形ABCDEF中，相等的矢量对是：次和丽;砺和初反和通;无和丽;丽和诙.3 .设在平面上给了一个
2、四边形点K、L、M、N分别是边力 BC CD、的中点，求证：KL = NM .当48co是空间四边形时，这等式是否也成立?证明:如图1-2,连结AC,那么在ABAC中，中，- AC.而7与前方向相同，从而 2KL=NM且应与两方向相同，所以应=NM .1 KL - AC KL与AC方向相同；在AD4C 24.如图1-3,设A5CD-EFG”是一个平行六面 体，在以下各对矢量中，找出相等的矢量和互 为相反矢量的矢量：而、丽；(2)荏、无；(3) AC.EG;(4) AD. GF;(5) BE、CH .解:相等的矢量对是(2)、(3)和(5)；互为反矢量的矢量对是(1)和(4)o 1.2 矢量的加
3、法1.要使以下各式成立，矢量二3应满意什么条件?(1) a + b = a-b;(3)(4) a-b - a + b -* -a + b - a - bX. +x2+x3+x4 %+%+%+” Z1+Z2+Z3+Z4同理得B三2三P4三尸1，所以4G,交于一点P,且这点到顶点距离等于这点到对面重心距离的 三倍.1.6矢量在轴上的射影1.矢量标与单位矢量工的夹角为150,且|回二 10,求射影矢量Z赢与射影2赢, 又假如2 = & 求射影矢量3M 与射影3M.解射影赢二洞0$4,1) = 10.。05150=56,射影矢量Z瓶二-?= 一Z(?,AB) = 180 - /(而)=30射影 3赢二
4、1祠cosZ(?, AB) = 10.CO5300 = 5a/3,射影矢量3M = 5632试证明：射影/(% + Aa2 +办。)=九射影/% +4射影 9+4射影icin .证明:用数学归纳法来证.当=2时，有射影/(Al ax +右2 )=射影/(4。1 )+射影/( 2 a2 )=九射影+42射影/。2 假设当=攵时等式成立，即有射影/(见必4卜/4 )=/射影吗+射影S,欲证当=叶1时亦然.事实上 1 1 1 射影 ,(4 + , , + . cij, + -+14+i)=射影 /(Aax + +)+4+4+=射影/(44T)+射影/(4+1%+1 )=力射影+射影lClk +&+1
5、射影/%+1故等式对自然数成立. 1.7 两矢量的数性积.证明：(1)矢量a垂直于矢量(ab)c -(ac)b ；(2)在平面上如 果应加应2，且五彻=5%(，=1,2),那么有。=B.一 证明：(1) V a . (tz-b)c 一(ac)b = a(ab)c-a(ac)b =(ab)ac - (ac)ab = 0二矢量a垂直于矢量(B)c -(qc)B .(2)由于 应应2,所以，对该平面上任意矢量己=4玩 +成2,(a - b )=(a b )(2mx )-一f一=4 万 i (a b )+玩2 (a 一 b)一 = q m - b 玩)+( q m2 - b mI ) 0, 故( -B
6、 ) J_ 亍.由亍的任意性知a-b =Q.一从而 a=b.2.矢量ZB相互垂直,矢量：与的夹角都是60且7=1是=2工=3计算:(1) + b)2;(2)(1 + b)(a -B);(3)(3% - 23).( -3c);(4)(S + 2b-c)2 解:(l)(a + b)2 - a + lai + b =1 + 2x0 +22 =5;(2)(： + b)(a _ 力: 7 + / =_ 22 二 _六(3)(3(2-2b).(b-3c) = 3ai-2b -9a.c + 6b.c=-8-9x3.cos60 +6x2x3cos60 =;2(4)(2+ 2-c)2 - a + 4cib -
7、2ac - 4bc + 4b +c2=1 - 2x 3cos60 - 4x 2x 3cos60 + 4x 22 + 32 = 1 13.计算以下各题.(1)等边 ABC的边长为 1,且 BC = a , CA = b , AB = C,zab + bc + ca ；(2)两两垂直，且 二1,B =2, c =3,求r = i + B + c的长和它与a.b,c的夹角.(3)己知。+ 3B与7。一53垂直，求的夹角.(4) =2, B = 5,2/(。/)=可肛p = 3a-b, q = 2a + 17B.问系数丸取何值时解 (1) a -b - c - X,.二 ab + bc + ca =
8、a - b - cos 120+b-c -cosl20()_3+ c a cos 1200 =2(2) : _L 8 _L c,且 a = 1,设： = + B + ) =l+2j + 3k ：. r = Vl2 +22 +32 = V14设厂与的夹角分别为a,瓦丫.1V14 n 2V1433V14.cos a - -= , cos p = = =, cos / = f=.V141447V1414巫， = arccos, Z = arccos 147巫， = arccos, Z = arccos 1473V1414(3) ( + 3B)(7-56=0,即77+16茄-157 =0 (1)Q 4
9、R)(72一2R)=0,即7230行 + 8行2 =0 (2)(1)(2)得:2a-b = b(1) x8 + (2)x5 得：2a-b = aI AcosZ(=TJ -= 2一 一 71，cos/(a,b)= 3. I(4) a-h = a - b cos /(a,b) = 2x5x()=一5 2_2 一一 一 一 一 2pq = (3一/?)(24 + 17在)=3A a +51ab-Aa-b-17 b =-680+172 = 0A2 = 40(8)页后(5) 矢量法证明以下各题：(1)三角形的余弦定理cr=h2-c2 2hccosA;(2)三角形各边的垂直平分线共点且这点到各顶点等距.证
10、明：(1)如图 1-21, AABC 中，设 AC = b,AB = c,BC=a, 且I，1 = 4,=b,c = c.那么 o=B c,a 2=(b c)2= b 2+c2 2b -c = b 2+c 22| |c |cosA.此即a2=b2+c2-2bccosA.(2)如图1-22,设AB, 8C边的垂直平分线P。, 尸相交于上。，区b为AH, BC,。的中点，设方=3, PB =b , PC = c ,那么 AB = B CA ac,PD (a + b), 21 一PE = -(c + b).图 1-11由于 PD1AB, PE1BC.I 1 -所以一(+/?)(/?Q)= ( 2q
11、2) = 0,22I 一 f f 一 f一 (/?+/6, b - a/1 + 22 +1 = V6cos。=cos。=ab _ 1ci - b 6(2) q = a + b = V10 , c2 = a b = V14 .71* a =26 ABC的三顶点A(0,0,3), B(4,0,0), C(0,8,3)试求：三边长（2） 三内角（3）三中线长（4）角A的角平分线矢量而（中点在边上），并求击的方向余弦和单位矢量解： 施=(4,0,3),* = (0,8,6), 就= (4,8,3).网 =5, “卜10, 囱 =V89(2) cos ZA =AB BC _ 9ab|-|bc| 259/
12、. ZA = arccos25AC BC _41V89445445/n BABC 7V89cos ZB = 1_1_=BC - BC 445/. /B = arccos7789445 _, /9 AD, =AB + BD1 =(2, 4,)271612皿=丽 + 皿=(-4, 4, 0)|函卜/砌 = (2,8,2)(4) cos 0 =(4) cos 0 =AB-ADAC-AD.而I).2c 2-3 cos oc , cos p -j= , cos y - V17V17V17设它的单位矢量为 q/,c ,且4+2+/=0-4-2=2V = MB; a.b.c ) = 1.81 . a =1,
13、 B =5, qB = 3.试求：(1) axb两矢量的失性(2) (q + B)x(q-B)厂-|2(a-2b)x(b-2a)解: sin/(,B) = Jlcos2(a,B)= axb(2)原式=一 一一 一 一 一|2 (a + b)义 a 一 (a + b)义 b=(2xB)2一 _ 2=4 axb =64.(3)原式=axb-2bxb-ax2a + 4bxa = (-3tz x )2 =9 x42 = 1442.证明：(1) (axb)2a2-b并说明在什么情形下等号成立.(2)假如+B + C=0,那么Q xB = B X。= c X4 ,并说明它的几何意义.(3)假如xB = cxd,xc = Bxd,那么一。与匕一。共线.(4)假如 a = pxn.证明：(1) (a xb )2=a 共面 b = q
