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1、高等数学 （第3版）上册目录CONTENTS第第6章章 空间解析几何空间解析几何第1节第2节第3节第4节预备知识向量的向量积平面及其方程空间直线及其方程第5节第6节曲面及其方程空间直线及其方程第1节预备知识01一、向量的坐标表示二、向量的运算三、常用结论四、举例 表示法:向量的模:向量的大小,一、向量的坐标表示1.向量:(又称矢量).既有大小,又有方向的量称为向量自由向量:与起点无关的向量.单位向量:模为 1 的向量,零向量:模为 0 的向量,有向线段 AB,或 a,记作 e 或 e.或 a.规定:零向量与任何向量平行;2.若向量 a 与 b大小相等,方向相同,则称 a 与 b 相等,记作 a
2、b;3.若向量 a 与 b 方向相同或相反,则称 a 与 b 平行,ab;与 a 的模相同,但方向相反的向量称为 a 的负向量,记作因平行向量可平移到同一直线上,故两向量平行又称 两向量共线.若 k(3)个向量经平移可移到同一平面上,则称此 k 个向量共面.记作a;4.向量的坐标表示设向量 a 的起点为起点在坐标原点O，终点为 M(x,y,z)的向量 r向径5.两个向量的夹角 向量 a 与 b 所形成的不超过 的角 称为向量 a 与 b 的夹角(如图所示)，记作 或 .当 时，称这两个向量垂直，记作 ab.6.向量的方向角、方向余弦 向量a与三条坐标轴的夹角，称为向量a的方向角(如图)；方向角
3、的余弦cos，cos，cos 称为向量a的方向余弦方向余弦的性质:是与向量a同方向的单位向量.二、向量的运算1.向量加法三角形法则:平行四边形法则:坐标运算:运算规律:交换律结合律不等式性2.向量减法可见3.数与向量的乘法 是一个数,规定:总之:运算规律:结合律分配律 与 a 的乘积是一个新向量,记作因此设向量的夹角为,称 记作数量积(点积).4.向量的数量积性质为两个非零向量,则有 坐标运算:运算规律(1)交换律(2)结合律(3)分配律事实上,当时,显然成立;(1)设 a 为非零向量,则(为唯一实数)证:“”.,取 且再证数 的唯一性.则ab设 ab反向时取负号,a,b 同向时取正号则 b
4、与 a 同向,设又有 b a,三、常用结论“”则已知 b a,b0a,b 同向a,b 反向ab 设 M 为解:ABCD 对角线的交点,四、举例例例6.1.16.1.1已知两点和的模、方向角以及同方向的单位向量e.解:计算向量例例6.1.26.1.2已知三点M(1,1,1),A(2,2,1)和B(2,1,2),求AMB.解:作向量MA及MB,AMB就是向量MA与MB的夹角.MA=1,1,0)，MB=1,0,1，则例例6.1.46.1.4设向量运算加减:数乘:点积:叉积:内容小结作作 业业P208 3,4,6,7,8,11备用例题解:因1.设求向量在 x 轴上的投影及在 y 轴上的分向量.在 y
5、轴上的分向量为故在 x 轴上的投影为2.设点 A 位于第一卦限,解:已知角依次为求点 A 的坐标.则因点 A 在第一卦限,故于是故点 A 的坐标为 向径 OA 与 x 轴 y 轴的夹 3.设求以向量行四边形的对角线的长度.该平行四边形的对角线的长度各为 对角线的长为解：为边的平4.求证以证:即为等腰三角形.的三角形是等腰三角形.为顶点第2节向量的向量积02一、向量的坐标表示二、向量的运算三、常用结论四、举例 一、向量的向量积引例.设O 为杠杆L 的支点,有一个与杠杆夹角为符合右手规则矩是一个向量 M:的力 F 作用在杠杆的 P点上,则力 F 作用在杠杆上的力定义1定义向量方向:(外积、叉积)记
6、作且符合右手规则模:向量积,称引例中的力矩思考:右图三角形面积S性质为非零向量,则运算规律(2)分配律(3)结合律(证明略)证明:向量积的坐标表示式设则向量积的行列式计算法已知三角形三点求三角形 ABC 的面积.解:如图所示,例例6.2.26.2.2已知三角形三点求三角形 ABC 的面积.解:如图所示,例例6.2.26.2.2二、混合积定义2已知三向量称运算混合积.记作几何意义 为棱作平行六面体,底面积高故平行六面体体积为则其混合积的坐标表示式设性质(1)三个非零向量共面的充要条件是(2)轮换对称性:(可用三阶行列式推出)判定四个点 P1(1,1,3)、P2(0,1,1)、P3(1,0,2)、
7、P4(4,3,11)是否共面.所以四点共面.计算混合积得解:这个问题等价于三个向量P1 P2，P1 P3，P1 P4是否共面.(P1 P2P1 P3)P1 P4=例例6.2.46.2.4混合积:向量关系:内容小结作作 业业P212 2,4,5,6 一点 M 的线速度1.设刚体以等角速度 绕 l 轴旋转,导出刚体上 的表示式.解:在轴 l 上引进一个角速度向量使其在 l 上任取一点 O,作它与则点 M离开转轴的距离且符合右手法则的夹角为,方向与旋转方向符合右手法则,向径备用例题在顶点为三角形中,求 AC 边上的高 BD.解：三角形 ABC 的面积为 2.而故有3.已知一四面体的顶点4),求该四面
8、体体积.解:已知四面体的体积等于以向量为棱的平行六面体体积的故4.已知 A(1,2,0)、B(2,3,1)、C(4,2,2)、四点共面,求点 M 的坐标 x、y、z 所满足的方程.解:A、B、C、M 四点共面展开行列式即得点 M 的坐标所满足的方程AM、AB、AC 三向量共面即第3节平面及其方程 03一、平面的点法式方程二、平面的一般式方程三、两个平面的夹角 四、平面外一点到平面的距离一、平面的点法式方程设一平面通过已知点且垂直于非零向称式为平面的点法式方程,求该平面的方程.法向量.量则有 故求过两点解:取法向量为a=2ijk平行的平面的方程.则所求平面的方程为例例6.3.26.3.2二、平面
9、的一般式方程设有三元一次方程 以上两式相减,得平面的点法式方程此方程称为平面的一般任取一组满足上述方程的数则显然方程与此点法式方程等价,的平面,因此方程的图形是法向量为 式方程.特殊情形 当 D=0 时,A x+B y+C z=0 表示 通过原点的平面;当 A=0 时,B y+C z+D=0 的法向量平面平行于 x 轴;A x+C z+D=0 表示 A x+B y+D=0 表示 C z+D=0 表示 A x+D=0 表示 B y+D=0 表示平行于 y 轴的平面;平行于 z 轴的平面;平行于 xOy 面 的平面;平行于 yOz 面 的平面；平行于 zOx 面 的平面.求通过 x 轴和点(4,3
10、,1)的平面方程.解:因平面通过 x 轴,设所求平面方程为代入已知点得化简,得所求平面方程例例6.3.36.3.3 如果平面通过坐标轴上点(a,0,0)，(0,b,0)，(0,0,c)(其中a0，b0，c0)则平面方程为 方程叫做平面的截距式方程，其中a，b，c 是平面在三个坐标轴上的截距.三、两个平面的夹角设平面1的法向量为 平面2的法向量为则两平面夹角 的余弦为即两个平面法向量的夹角(常指锐角)称为平面的夹角.特别有下列结论：求两平面2xy+z 7=0和x+y+2z 11=0的夹角.解:两平面的法向量分别为例例6.3.66.3.6四、平面外一点到平面的距离在平面上任取一点P1(x1，y1，
11、z1)，则向量P1P0与法向量的夹角余弦为故点P0到平面的距离由于P1P0=x0 x1，y0 y1，z0 z1，故1.平面基本方程:一般式点法式截距式 内容小结2.平面与平面之间的关系平面平面垂直:平行:夹角公式:作作 业业P217 3,5,7,8备用例题1.求过点 且垂直于二平面 和 的平面方程.解:已知二平面的法向量为取所求平面的法向量 则所求平面方程为化简得2.求过三点即解:取该平面 的法向量为的平面 的方程.利用点法式得平面 的方程此平面的三点式方程也可写成 一般情况:过三点的平面方程为说明:特别,当平面与三坐标轴的交点分别为此式称为平面的截距式方程.时,平面方程为 分析:利用三点式
12、按第一行展开得 即因此有3.一平面通过两点垂直于平面:x+y+z=0,求其方程.解:设所求平面的法向量为即的法向量约去C,得即和则所求平面故方程为 且外一点,求4.设解:设平面法向量为在平面上取一点是平面到平面的距离d.,则P0 到平面的距离为第4节空间直线及其方程04一、直线的一般式方程 二、直线的对称式方程与参数方程三、两直线的夹角 四、直线与平面的夹角 五、平面束 六、综合举例 一、直线的一般式方程因此其一般式方程直线可视为两平面交线，(不唯一)故有说明:某些分母为零时,其分子也理解为零.设直线上的动点为 则此式称为直线的对称式方程(也称为点向式方程)直线方程为已知直线上一点例如,当和它
13、的方向向量 二、直线的对称式方程与参数方程参数方程设得:上式称为直线的参数方程，其中t为参数.用对称式方程及参数方程表示直线.解:先在直线上找一点.再求直线的方向向量令 x0=1,解方程组,得交已知直线的两平面的法向量为是直线上一点.例例6.4.26.4.2故所给直线的对称式方程为直线的参数方程为解题思路:先找直线上一点;再找直线的方向向量.是直线上一点三、两直线的夹角则两直线夹角 满足设直线 L1,L2 的方向向量分别为 两直线的夹角指其方向向量间的夹角(通常取锐角)特别有:当直线与平面垂直时,规定其夹角为线所夹锐角 称为直线与平面的夹角;当直线与平面不垂直时,设直线 L 的方向向量为 平面
14、 的法向量为则直线与平面夹角 满足直线和它在平面上的投影直四、直线与平面的夹角特别有:解:直线的方向向量取平面的法向量所求直线方程为直的直线方程，并求直线与平面的交点.垂 求过点(2,1,3)且与平面其参数方程为代入得解得 t1，从而交点为(4,2,1)例例6.4.56.4.5通过一条直线可以作无数多张平面，将通过该直线的所有平面称为直线的平面束.确定直线 L 的方程组所以方程五、平面束是通过直线L的平面束方程(除了 ).一平面通过点P(1,-3,2)，并且垂直于两点A(0,0,3)与B(1,-3,-4)的连线，求该平面的方程.六、综合举例解 由于向量AB与所求平面的法向量 n 平行，故所求平
15、面方程为例例6.4.86.4.8 求过点(-3,2,5)，且与两平面x-4z=3和2x-y-5z=1的交线平行的直线的方程.解 因为所求直线与两平面的交线平行，直线的方向向量 s 一定同时与两平面的法线向量 n1,n2 垂直，故例例6.4.106.4.101.空间直线方程一般式对称式参数式 内容小结直线2.线与线的关系直线夹角公式:平面 :L L/夹角公式：3.面与线间的关系直线 L:作作 业业P223 3，5，6，10，11 12,13 解：相交,求此直线方程.的方向向量为过 A 点及 面的法向量为则所求直线的方向向量方法1 利用叉积.所以 1.1.一直线过点 且垂直于直线 又和直线备用例题
16、设所求直线与 L2 的交点为待求直线的方向向量方法2 利用所求直线与L2 的交点.即故所求直线方程为 则有代入上式,得由点向式得所求直线方程而2.求以下两直线的夹角解:直线L1的方向向量为直线L2的方向向量为二直线夹角 的余弦为从而第5节曲面及其方程 05一、曲面方程的概念二、几种特殊的曲面三、几种常见的二次曲面一、曲面方程的概念求到两定点A(1,2,3)和B(2,-1,4)等距离的点的化简得即说明:动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面.引例:显然在此平面上的点的坐标都满足此方程,不在此平面上的点的坐标不满足此方程.解:设轨迹上的动点为轨迹方程.一、曲面方程的概念求到两定点A(1,2,3)和B(2,-1,4)等距离的点的化简得即说明:动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面.引例:显然在此平面上的点的坐标都满足此方程,不在此平面上的点的坐标不满足此方程.解:设轨迹上的动点为轨迹方程.定义 如果曲面 S 与三元方程 F(x,y,z)=0 有下述关系:(1)曲面 S 上的任一点的坐标都满足此方程 则 F(x,y,z)=0 叫做曲面 S 的方程,曲面 S 叫做方程 F(x,y,z)=0 的图形.两个
