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1、11.1等腰三角形第一章 三角形的证明导入新课讲授新课当堂练习课堂小结 八年级数学下（BS）教学课件 第1课时 三角形的全等和等腰三角形的性质 学习目标1.回顾全等三角形的判定和性质;2.理解并掌握等腰三角形的性质及其推论，能运用 其解决基本的几何问题.(重点)导入新课导入新课情境引入问题1：图中有些你熟悉的图形吗?它们有什么共同特点?斜拉桥梁埃及金字塔体育观看台架问题2：建筑工人在盖房子时，用一块等腰三角板放在梁上，从顶点系一重物，如果系重物的绳子正好经过三角板底边中点，就说房梁是水平的，你知道其中反映了什么数学原理?七下“轴对称”中学过的等腰三角形的“三线合一”.思考：你能证明等腰三角形的
2、“三线合一”吗？问题3在八上的“平行线的证明”这一章中，我们学了哪8条基本事实？1.两点确定一条直线；2.两点之间线段最短；3.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；4.同位角相等，两直线平行；5.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；6.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等；7.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等；8.三边分别相等的两个三角形全等.定理两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（AAS）.问题：你能运用基本事实及已经学过的定理证明上面的推论吗？弄清楚证明一个命题的一般步骤是解题的关键证明一个命题的一般步骤:(1)弄清题设和结论；(2)根据题意画出
3、相应的图形；(3)根据题设和结论写出已知和求证；(4)分析证明思路,写出证明过程.讲授新课讲授新课全等三角形的判定和性质一已知：如图,A=D,B=E,BC=EF.求证：ABCDEF.证明：A+B+C=180，D+E+F=180（三角形内角和等于180），C=180(A+B)，F=180(D+E).A=D,B=E（已知），C=F（等量代换）.BC=EF（已知），ABCDEF（ASA）.FEDCBA总结归纳定理两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（AAS）.根据全等三角形的定义，我们可以得到：全等三角形的对应边相等，对应角相等.问题1：你还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗?推论:
4、等腰三角形顶角的平分线,底边上的中线底边上的高互相重合(三线合一).问题2：你能利用已有的公理和定理证明这些结论吗?定理:等腰三角形的两个底角相等.等腰三角形的性质及其推论二问题引入等腰三角形的两个底角相等.ABC已知：ABC中，AB=AC,求证：B=C.思考：如何构造两个全等的三角形？定理:等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）.如何证明两个角相等呢？可以运用全等三角形的性质“对应角相等”来证议一议：在七下学习轴对称时，我们利用折叠的方法说明了等腰三角形是轴对称图形，且两个底角相等，如下图，实际上，折痕将等腰三角形分成了两个全等的三角形.由此，你得到了什么解题的启发？已知：如图，在ABC中，
5、AB=AC.求证：B=C.ABCD证明：作底边的中线AD，则BD=CD.AB=AC(已知)，BD=CD(已作)，AD=AD(公共边)，BADCAD(SSS).B=C(全等三角形的对应角相等).在BAD和CAD中方法一：作底边上的中线还有其他的证法吗？已知：如图，在ABC中，AB=AC.求证：B=C.ABCD证明：作顶角的平分线AD，则BAD=CAD.AB=AC(已知),BAD=CAD(已作),AD=AD(公共边),BAD CAD(SAS).B=C(全等三角形的对应角相等).方法二：作顶角的平分线在BAD和CAD中想一想：由BADCAD，除了可以得到B=C之外，你还可以得到那些相等的线段和相等的
6、角？和你的同伴交流一下，看看你有什么新的发现？解：BADCAD，由全等三角形的性质易得BD=CD,ADB=ADC，BAD=CAD.又ADB+ADC=180，ADB=ADC=90，即AD是等腰ABC底边BC上的中线、顶角BAC的角平分线、底边BC上的高线.ABCD定理:等腰三角形的两个底角相等(等边对等角).ACB如图,在ABC中,AB=AC(已知),B=C(等边对等角).证明后的结论,以后可以直接运用.总结归纳推论:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合(三线合一）.ACBD1 2AB=AC,1=2(已知)，BD=CD,ADBC（等腰三角形三线合一）.AB=AC,BD=CD
7、(已知)，1=2,ADBC（等腰三角形三线合一）.AB=AC,ADBC(已知)，BD=CD,1=2（等腰三角形三线合一）.综上可得：如图,在ABC中,ABCD 例1 如图，在ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求ABC各角的度数.典例精析分析：（1）找出图中所有相等的角；（2）指出图中有几个等腰三角形？A=ABD,C=BDC=ABC；ABC,ABD,BCD.ABCDx2x2x2x（3）观察BDC与A、ABD的关系，ABC、C呢？BDC=A+ABD=2A=2ABD,ABC=BDC=2A,C=BDC=2A.（4）设A=x,请把ABC的内角和用含x的式子表示出来.A+ABC+C=
8、180，x+2x+2x=180,ABCD解：AB=AC，BD=BC=AD，ABC=C=BDC，A=ABD.设A=x,则BDC=A+ABD=2x,从而ABC=C=BDC=2x,于是在ABC中，有A+ABC+C=x+2x+2x=180，解得x=36，在ABC中，A=36，ABC=C=72.x2x2x2x 在含多个等腰三角形的图形中求角时，常常利用方程思想，通过内角、外角之间的关系进行转化求解.归纳例2如图，点D、E在ABC的边BC上，ABAC.(1)若ADAE，求证：BDCE；(2)若BDCE，F为DE的中点，如图，求证：AFBC.解析：(1)过A作AGBC于G，根据等腰三角形的性质得出BGCG，
9、DGEG即可证明；(2)先证BFCF，再根据等腰三角形的性质证明图图ABD GECABDECF证明：(1)如图，过A作AGBC于G.ABAC，ADAE，BGCG，DGEG，BGDGCGEG，BDCE；(2)BDCE，F为DE的中点，BDDFCEEF，BFCF.ABAC，AFBC.图图ABD GECABDECF当堂练习当堂练习1.如图，已知ABAE，BADCAE，要使ABCAED，还需添加一个条件，这个条件可以是_CD（答案不唯一）2.(1)等腰三角形一个底角为为75,它的另外两个角为_；(2)等腰三角形一个角为36,它的另外两个角为 _；(3)等腰三角形一个角为120,它的另外两个角为_.75
10、,3072,72或或36,10830,30结论:在等腰三角形中,注意对角的分类讨论.顶角+2底角=180 顶角=1802底角 底角=（180顶角）20顶角1800底角90课堂小结课堂小结等腰三角形的性质等边对等角三线合一注意是指同一个三角形中注意是指顶角的平分线,底边上的高和中线才有这一性质.而腰上高和中线与底角的平分线不具有这一性质.定理两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（AAS）.全等三角形的对应边相等，对应角相等.1.1 等腰三角形第一章 三角形的证明导入新课讲授新课当堂练习课堂小结 八年级数学下（BS）教学课件第2课时等边三角形的性质学习目标1.进一步学习等腰三角形的
11、相关性质，了解等腰三角形两底角的角平分线（两腰上的高，中线）的性质;2.学习等边三角形的性质，并能够运用其解决问题.(重点、难点)在七下我们已经知道了“三边相等的三角形是等边三角形”，生活中有很多等边三角形，如交通图标、台球室的三角架等，它们都是等边三角形.思考：在上一节课我们证明等腰三角形的两底角相等，那等边三角形的各角之间有什么关系呢？导入新课导入新课情境引入讲授新课讲授新课等腰三角形的重要线段的性质一ACBDEACBMNACBPQ 上节课我们证明了等腰三角形的“三线合一”，试猜想等腰三角形的两底角的角平分线、两腰上的高、两腰上的中线有什么关系呢？猜想：底角的两条平分线相等；两条腰上的中线
12、相等；两条腰上的高线相等.你能证明你的猜想吗？例1证明:等腰三角形两底角的平分线相等ACBE已知:求证:BD=CE.如图,在ABC中,AB=AC,BD和CE是ABC的角平分线1 2猜想证明D2=ACB(已知),AB=AC(已知),ABC=ACB(等边对等角).证明：又1=ABC，1=2(等式性质)在BDC与CEB中，DCB=EBC（已知），BC=CB（公共边），1=2（已证），BDCCEB（ASA）BD=CE(全等三角形的对应边相等)ACBE1 2D又CM=，BN=，例2证明:等腰三角形两腰上的中线相等BM=CN求证:已知：如图,在ABC中,AB=AC,BM,CN是ABC两腰上的中线证明：AB
13、=AC(已知)，ABC=ACB.CM=BN在BMC与CNB中，BC=CB,MCB=NBC,CM=BN，BMCCNB（SAS）BM=CN.ACBMN例3证明:等腰三角形两腰上的高相等BP=CQ求证:已知：如图,在ABC中,AB=AC,BP,CQ是ABC两腰上的高证明：AB=AC(已知)，ABC=ACB.在BMC与CNB中，BC=CB,QBC=PCB,BQC=CPB，BQCCPB（SAS）BP=CQ.ACBPQ还有其他的结论吗?ACBDE1.已知:如图,在ABC中,AB=AC.（1）如果ABD=ABC，ACE=ACB，那么BD=CE吗?为什么？（2）如果ABD=ABC，ACE=ACB呢?由此你能得
14、到一个什么结论?议一议：如果ABD=ABC，ACE=ACB，那么BD=CE吗?过底边的端点且与底边夹角相等的两线段相等.BD=CEBD=CEBD=CE2.已知:如图,在ABC中,AB=AC.(1)如果AD=AC,AE=AB,那么BD=CE吗?为什么？ACBDEBD=CE(2)如果AD=AC,AE=AB,那么BD=CE吗?为什么？BD=CE由此你能得到一个什么结论?(3)如果AD=AC,AE=AB,那么BD=CE吗?为什么？BD=CE两腰上距顶点等距的两点与底边顶点的连线段相等.这里是一个由特殊结论归纳出一般结论的一种数学思想方法.等边三角形的性质二想一想：等边三角形是特殊的等腰三角形，那么等边
15、三角形的内角有什么特征呢？定理：等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60.可以利用等腰三角形的性质进行证明.怎样证明这一定理了？定理证明已知：如图,在ABC中，AB=AC=BC求证：A=B=C=60ACB证明：在ABC中，AB=AC(已知)，B=C(等边对等角).同理A=B又A+B+C=180(三角形的内角和等于180)，A=B=C=60定理：等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60.BCDAE例4：如图，等边三角形ABC中,BD是AC边上的中线,BD=BE,求EDA的度数.解：ABC是等边三角形，CBA=60.BD是AC边上的中线，BDA=90,DBA=30.BD=BE，BD
16、E=(180DBA)2=(18030)2=75.EDA=90BDE=9075=15.当堂练习当堂练习ACBDE1.如图,ABC和ADE都是等边三角形，已ABC的周长为18cm,EC=2cm,则ADE的周长是 cm.122.如图所示，ACM和BCN都为等边三角形，连接AN、BM，求证：AN=BM.证明：ACM和BCN都为等边三角形，1360，1232，即ACNMCB.CACM，CBCN，CANCMB(SAS)，ANBM.3.如图，A、O、D三点共线，OAB和OCD是两个全等的等边三角形，求AEB的大小.CBODAE解：OAB和OCD是两个全等的等边三角形.AO=BO,CO=DO,AOB=COD=60.A、O、D三点共线，DOB=COA=120，COA DOB(SAS).DBO=CAO.设OB与EA相交于点F,EFB=AFO，AEB=AOB=60.F变式:如图，若把“两个全等的等边三角形”换成“不全等的两个等边三角形”，其余条件不变，你还能求出AEB的大小吗？DCABEO方法与前面相同，AEB=60.课堂小结课堂小结等腰三角形两底角上的平分线、两腰上的高、两腰上的中线的相关性质：底角的两条
