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1、山东省青岛市即墨创新学校2021年高三数学理模拟试题含解析一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 已知数列满足,且,则的值是()A B C D参考答案:D2. 不等式的解集是( )Ax1 Cx3 D1x3参考答案:D略3. 集合,则a的值为A.1B.2C.D.4参考答案:C略4. 若无穷等比数列的前项和为,首项为,公比为,且, (),则复数在复平面上对应的点位于 ( ) 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限参考答案:5. 已知曲线的极坐标方程为,则其直角坐标下的方程是( )A B C D 参考答案:C略6. 给定两个命题,
2、的必要而不充分条件,则的( )A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件参考答案:A略7. 已知双曲线mx2ny2=1(m0,n0)的离心率为2,则椭圆mx2+ny2=1的离心率为()ABCD参考答案:C【考点】椭圆的简单性质;双曲线的简单性质【分析】双曲线、椭圆方程分别化为标准方程,利用双曲线mx2ny2=1(m0,n0)的离心率为2,可得m=3n,从而可求椭圆mx2+ny2=1的离心率【解答】解:双曲线mx2ny2=1化为标准方程为:双曲线mx2ny2=1(m0,n0)的离心率为2,m=3n椭圆mx2+ny2=1化为标准方程为:椭圆mx2+ny2=1的离心率的平方
3、为=椭圆mx2+ny2=1的离心率为故选C8. 已知公比不为1的等比数列an满足,若,则m=( )A. 9B. 10C. 11D. 12参考答案:B【分析】根据等比数列的性质可求得,从而求得结果.【详解】由等比数列性质得: 本题正确选项:【点睛】本题考查等比数列性质的应用,属于基础题.9. 的展开式中的系数是 A18 B14 C10 D6参考答案:C10. 我国古代数学名著算法统宗中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯A. 1盏B. 3盏C. 5盏D. 9
4、盏参考答案:B【详解】设塔顶的a1盏灯,由题意an是公比为2的等比数列,S7=381,解得a1=3故选B二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 3对双胞胎站成一排,要求每对双胞胎都相邻,则不同的站法种数是 (用数字作答)参考答案:48根据题意,每对双胞胎都相邻,故不同的站法为 12. 已知向量,则在方向上的投影等于 参考答案:知识点:数量积的应用解析:在方向上的投影等于故答案为:13. 不等式组表示的平面区域为,直线与区域有公共点,则实数的取值范围为_.参考答案:做出不等式组对应的区域为三角形BCD,直线过定点,由图象可知要使直线与区域有公共点,则有直线的斜率,由得,即。又,
5、所以,即。14. 一个袋中装有大小相同的黑球、白球和红球共10个已知从袋中任意摸出1个球,得到黑球的概率是;从袋中任意摸出2个球,至少得到1个白球的概率是从袋中任意摸出2个球,记得到白球的个数为,则随机变量的数学期望参考答案:1 略15. 若曲线在点处的切线与y轴垂直,则a=_.参考答案:1【分析】对求导,由条件,可得结果.【详解】,因为在A处的切线与y轴垂直,所以,解得16. 已知数列为等比数列,且,则的值为_.参考答案:略17. 设实数满足约束条件,若目标函数 的最大值为8,则a+b的最小值为_参考答案:4三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18.
6、 在直三棱柱ABCA1B1C1中,ACB=90,AC=BC=AA1=1,D、E分别为棱AB、BC的中点,M为棱AA1上的点。 (1)证明:A1B1C1D;(2)当的大小。参考答案:19. 已知函数f(x)=ex(其中e为自然对数的底数),g(x)=x+m(m,nR)(1)若T(x)=f(x)g(x),m=1,求T(x)在上的最大值;(2)若n=4时方程f(x)=g(x)在上恰有两个相异实根,求m的取值范围;(3)若m=,nN*,求使f(x)的图象恒在g(x)图象上方的最大正整数n参考答案:考点:利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性 专题:计算题;导数的综合应用分析:(1)T(
7、x)=f(x)g(x)=ex(x+m)=ex(x+1);求导T(x)=ex(x+1);从而确定函数的最大值;(2)n=4时,方程f(x)=g(x)可化为m=ex2x;求导m=ex2,从而得到函数的单调性及取值,从而求m的取值范围;(3)由题意,f(x)=ex,g(x)=x;故f(x)的图象恒在g(x)图象上方可化为F(x)=f(x)g(x)=exx+0恒成立;从而化为最值问题解答:解:(1)T(x)=f(x)g(x)=ex(x+m)=ex(x+1);故T(x)=ex(x+1);则当n2时,T(x)0;故T(x)在上的最大值为T(1)=e(+1);当n2时,x时,T(x)0;T(x)在上的最大值
8、为T()=0;(2)当n=4时,方程f(x)=g(x)可化为m=ex2x;m=ex2,故当x时,m0;m(ln2)=22ln2;m(0)=1,m(2)=e24;故由题意知,22lnm1;(3)由题意,f(x)=ex,g(x)=x;故f(x)的图象恒在g(x)图象上方可化为F(x)=f(x)g(x)=exx+0恒成立;F(x)=ex;故F(x)在(,ln)上是减函数,在(ln,+)上是增函数;故可化为F(ln)0;即(1ln)+0;令G(n)=(1ln)+;故G(n)=(ln+1)0;故G(n)=(1ln)+是1,+)上的减函数,而G(2e2)=e2+0;G(14)=7(1ln7)+0;G(15
9、)=7.5(1ln7.5)+0;故最大正整数n为14点评:本题考查了导数的综合应用及恒成立问题,属于中档题20. 已知。(1)求在上的最小值;(2)已知分别为ABC内角A、B、C的对边,且,求边的长。参考答案:(1)4分 当时; 7分(2)时有最大值,是三角形内角10分 正弦定理 14分21. (本小题满分12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,.()证明:直线AC平面PBD;()若=1,求四棱锥P-ABCD的体积.参考答案:()连接交与 -1分, -3分, -4分直线平面 -5分()由()得-6分 -7分 -8分 -9分 -10分 -11分 -12分22. 如图是一“T”型
10、水渠的平面视图(俯视图),水渠的南北方向和东西方向轴截面均为矩形,南北向渠宽为4m,东西向渠宽(从拐角处,即图中A,B处开始)假定渠内的水面始终保持水平位置(即无高度差)(1)在水平面内,过点A的一条直线与水渠的内壁交于P,Q两点,且与水渠的一边的夹角为,将线段PQ的长度l表示为的函数;(2)若从南面漂来一根长为7m的笔直的竹竿(粗细不计),竹竿始终浮于水平面内,且不发生形变,问:这根竹竿能否从拐角处一直漂向东西向的水渠(不会卡住)?请说明理由参考答案:【考点】在实际问题中建立三角函数模型【分析】(1)求出PA,QA,即可将线段PQ的长度l表示为的函数;(2)求导数,确定函数的单调性,即可得出结论【解答】解:(1)由题意,所以l=PA+QA,即()(2)设,由,令f()=0,得 且当(0,0),f()0;当,f()0,所以,f()在(0,0)上单调递减;在上单调递增,所以,当=0时,f()取得极小值,即为最小值当时,所以f()的最小值为,即这根竹竿能通过拐角处的长度的最大值为m因为,所以这根竹竿能从拐角处一直漂向东西向的水渠