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1、山东省青岛市即墨创新学校2021年高三数学理模拟试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知数列满足，且，则的值是()A B C D参考答案：D2. 不等式的解集是（ ）Ax1 Cx3 D1x3参考答案：D略3. 集合，则a的值为A.1B.2C.D.4参考答案：C略4. 若无穷等比数列的前项和为，首项为，公比为，且， ()，则复数在复平面上对应的点位于 （ ） 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限参考答案：5. 已知曲线的极坐标方程为，则其直角坐标下的方程是( )A B C D 参考答案：C略6. 给定两个命题,
2、的必要而不充分条件,则的（ ）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件参考答案：A略7. 已知双曲线mx2ny2=1（m0，n0）的离心率为2，则椭圆mx2+ny2=1的离心率为（）ABCD参考答案：C【考点】椭圆的简单性质；双曲线的简单性质【分析】双曲线、椭圆方程分别化为标准方程，利用双曲线mx2ny2=1（m0，n0）的离心率为2，可得m=3n，从而可求椭圆mx2+ny2=1的离心率【解答】解：双曲线mx2ny2=1化为标准方程为：双曲线mx2ny2=1（m0，n0）的离心率为2，m=3n椭圆mx2+ny2=1化为标准方程为：椭圆mx2+ny2=1的离心率的平方
3、为=椭圆mx2+ny2=1的离心率为故选C8. 已知公比不为1的等比数列an满足，若，则m=（ ）A. 9B. 10C. 11D. 12参考答案：B【分析】根据等比数列的性质可求得，从而求得结果.【详解】由等比数列性质得： 本题正确选项：【点睛】本题考查等比数列性质的应用，属于基础题.9. 的展开式中的系数是 A18 B14 C10 D6参考答案：C10. 我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯A. 1盏B. 3盏C. 5盏D. 9
4、盏参考答案：B【详解】设塔顶的a1盏灯，由题意an是公比为2的等比数列，S7=381，解得a1=3故选B二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 3对双胞胎站成一排，要求每对双胞胎都相邻，则不同的站法种数是 （用数字作答）参考答案：48根据题意，每对双胞胎都相邻，故不同的站法为 12. 已知向量，则在方向上的投影等于 参考答案：知识点：数量积的应用解析：在方向上的投影等于故答案为：13. 不等式组表示的平面区域为，直线与区域有公共点，则实数的取值范围为_.参考答案：做出不等式组对应的区域为三角形BCD，直线过定点，由图象可知要使直线与区域有公共点，则有直线的斜率，由得，即。又，
5、所以，即。14. 一个袋中装有大小相同的黑球、白球和红球共10个已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是从袋中任意摸出2个球，记得到白球的个数为，则随机变量的数学期望参考答案：1 略15. 若曲线在点处的切线与y轴垂直，则a=_.参考答案：1【分析】对求导，由条件，可得结果.【详解】，因为在A处的切线与y轴垂直，所以，解得16. 已知数列为等比数列，且，则的值为_.参考答案：略17. 设实数满足约束条件，若目标函数 的最大值为8，则a+b的最小值为_参考答案：4三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.
6、 在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB=90，AC=BC=AA1=1，D、E分别为棱AB、BC的中点，M为棱AA1上的点。 （1）证明：A1B1C1D；（2）当的大小。参考答案：19. 已知函数f（x）=ex（其中e为自然对数的底数），g（x）=x+m（m，nR）（1）若T（x）=f（x）g（x），m=1，求T（x）在上的最大值；（2）若n=4时方程f（x）=g（x）在上恰有两个相异实根，求m的取值范围；（3）若m=，nN*，求使f（x）的图象恒在g（x）图象上方的最大正整数n参考答案：考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性 专题：计算题；导数的综合应用分析：（1）T（
7、x）=f（x）g（x）=ex（x+m）=ex（x+1）；求导T（x）=ex（x+1）；从而确定函数的最大值；（2）n=4时，方程f（x）=g（x）可化为m=ex2x；求导m=ex2，从而得到函数的单调性及取值，从而求m的取值范围；（3）由题意，f（x）=ex，g（x）=x；故f（x）的图象恒在g（x）图象上方可化为F（x）=f（x）g（x）=exx+0恒成立；从而化为最值问题解答：解：（1）T（x）=f（x）g（x）=ex（x+m）=ex（x+1）；故T（x）=ex（x+1）；则当n2时，T（x）0；故T（x）在上的最大值为T（1）=e（+1）；当n2时，x时，T（x）0；T（x）在上的最大值
8、为T（）=0；（2）当n=4时，方程f（x）=g（x）可化为m=ex2x；m=ex2，故当x时，m0；m（ln2）=22ln2；m（0）=1，m（2）=e24；故由题意知，22lnm1；（3）由题意，f（x）=ex，g（x）=x；故f（x）的图象恒在g（x）图象上方可化为F（x）=f（x）g（x）=exx+0恒成立；F（x）=ex；故F（x）在（，ln）上是减函数，在（ln，+）上是增函数；故可化为F（ln）0；即（1ln）+0；令G（n）=（1ln）+；故G（n）=（ln+1）0；故G（n）=（1ln）+是1，+）上的减函数，而G（2e2）=e2+0；G（14）=7（1ln7）+0；G（15
9、）=7.5（1ln7.5）+0；故最大正整数n为14点评：本题考查了导数的综合应用及恒成立问题，属于中档题20. 已知。（1）求在上的最小值；（2）已知分别为ABC内角A、B、C的对边，且，求边的长。参考答案：（1）4分 当时； 7分（2）时有最大值，是三角形内角10分 正弦定理 14分21. （本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，.（）证明：直线AC平面PBD；（）若=1，求四棱锥P-ABCD的体积.参考答案：（）连接交与 -1分， -3分, -4分直线平面 -5分（）由（）得-6分 -7分 -8分 -9分 -10分 -11分 -12分22. 如图是一“T”型
10、水渠的平面视图（俯视图），水渠的南北方向和东西方向轴截面均为矩形，南北向渠宽为4m，东西向渠宽（从拐角处，即图中A，B处开始）假定渠内的水面始终保持水平位置（即无高度差）（1）在水平面内，过点A的一条直线与水渠的内壁交于P，Q两点，且与水渠的一边的夹角为，将线段PQ的长度l表示为的函数；（2）若从南面漂来一根长为7m的笔直的竹竿（粗细不计），竹竿始终浮于水平面内，且不发生形变，问：这根竹竿能否从拐角处一直漂向东西向的水渠（不会卡住）？请说明理由参考答案：【考点】在实际问题中建立三角函数模型【分析】（1）求出PA，QA，即可将线段PQ的长度l表示为的函数；（2）求导数，确定函数的单调性，即可得出结论【解答】解：（1）由题意，所以l=PA+QA，即（）（2）设，由，令f（）=0，得 且当（0，0），f（）0；当，f（）0，所以，f（）在（0，0）上单调递减；在上单调递增，所以，当=0时，f（）取得极小值，即为最小值当时，所以f（）的最小值为，即这根竹竿能通过拐角处的长度的最大值为m因为，所以这根竹竿能从拐角处一直漂向东西向的水渠
