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1、1实际问题中的常用角实际问题中的常用角(1)仰角和俯角仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线在视线和水平线所成的角中，视线在水平线_的角叫仰角，在水平线的角叫仰角，在水平线_的角叫俯角的角叫俯角(如图如图)向上方向上方向下方向下方(2)方位角方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点点的方位角为的方位角为(如图如图)(3)方向角：相对于某一正方向的水平角方向角：相对于某一正方向的水平角(如图如图)北偏东北偏东，即由指北方向顺时针旋转，即由指北方向顺时针旋转到达目标方到达目标方向向北偏西北偏西，即由指北方向逆时针旋转，即由指北方向逆时
2、针旋转到达目标方到达目标方向向南偏西等其他方向角类似南偏西等其他方向角类似2解三角形应用问题的基本思路是：解三角形应用问题的基本思路是：实际问题实际问题_实际问题实际问题3解三角形应用问题的一般步骤如下：解三角形应用问题的一般步骤如下：(1)准确理解题意，分清已知与所求准确理解题意，分清已知与所求(2)根据题意画出示意图根据题意画出示意图(3)建立数学模型，合理运用建立数学模型，合理运用_，正确求解，并作答正确求解，并作答数学问题数学问题正弦定理和余弦定理正弦定理和余弦定理1从从A处望处望B处的仰角为处的仰角为，从，从B处望处望A处的俯角处的俯角为为，则，则，的关系为的关系为()ABC90D1
3、80解析：由仰角与俯角的定义可知.答案：B2若点若点P在在Q的北偏东的北偏东44，则，则Q在在P的的()A东偏北东偏北46 B东偏北东偏北44C南偏西南偏西44 D西偏南西偏南44解析：画图即可解得答案：C3在在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为角分别为30，60，则塔高为，则塔高为_米米4如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B望对岸的标记物望对岸的标记物C，测得，测得CAB30，CBA75，AB120m则这条河的宽度为则这条河的宽度为_m.解析解析：因为：因为CAB30，CBA75，则则A
4、CB180307575，所以所以ACAB120m，答案：601熟悉三角形中有关公式，如正弦定理、余弦定理、三熟悉三角形中有关公式，如正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理，有时也会用到周长公式和面积公式角形内角和定理，有时也会用到周长公式和面积公式2熟悉两角和与差的正弦、余弦、正切及二倍角的正弦、熟悉两角和与差的正弦、余弦、正切及二倍角的正弦、余弦、正切公式等余弦、正切公式等3解三角形应用题常见的几种情况：解三角形应用题常见的几种情况：(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解一个三角形中，可用正弦定
5、理或余弦定理求解(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个(或或两个以上两个以上)三角形这时需作出这些三角形，先解够条件的三三角形这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求出其他三角形中的解有时需设出未知量，角形，然后逐步求出其他三角形中的解有时需设出未知量，由几个三角形列出方程，解方程得出所要求的解由几个三角形列出方程，解方程得出所要求的解考点一测量距离问题【案例案例1】如图，南山上原有一条笔如图，南山上原有一条笔直的小路直的小路BC，现在又新架了一条索道，现在又新架了一条索道AC，小李在山脚小李在山脚B处看索道，发现张角处看索道
6、，发现张角ABC120，从，从B处攀登处攀登400米到达米到达D处回头看索处回头看索(即时巩固详解为教师用书独有即时巩固详解为教师用书独有)道，发现张角为道，发现张角为160.从从D处再攀登处再攀登800米到达米到达C处，问索道处，问索道AC长多少？长多少？(精确到米，使用计算器计算精确到米，使用计算器计算)关键提示关键提示：先在：先在ABD中求出中求出AD的长，再在的长，再在ACD中求出中求出AC的长的长解：在ABD中，BD400米，ABD120，因为ADC160，所以ADB20，所以DAB40.在在ADC中，中，DC800，ADC160，所以所以AC2AD2DC22ADDCcosADC53
7、8.9280022538.9800cos1601740653.8，所以所以AC1319，即索道，即索道AC长约为长约为1319米米.点评：要计算距离就必须把这个距离归结到一个三角形中，通过正弦定理或余弦定理进行计算，但无论是正弦定理还是余弦定理都得至少知道三角形的一个边长，即在解决问题时，必须把我们已经知道长度的那个边长和需要计算的那个边长纳入到同一个三角形中，或是通过间接的途径纳入到同一个三角形中，这是我们分析这类问题的一个基本出发点解：在ACD中，CAD180ACDADC60，CD6 000，ACD45，在在BCD中，中，CBD180BCDBDC135，CD6000，BCD30，又又ABD
8、中，中，ADBADCBDC90，根据勾股定理，根据勾股定理，实际所需电线长度约为实际所需电线长度约为1.2AB7425.6(m)考点二测量高度问题【案例案例2】(2011届届温州中学月考温州中学月考)如图，如图，A、B是水平面上的两个点，相距是水平面上的两个点，相距800m在在A点测得山顶点测得山顶C的仰角为的仰角为25，BAD110，又在，又在B点测得点测得ABD40，其中，其中D是点是点C在水平面上的垂足在水平面上的垂足试求山高试求山高CD.(精确到精确到1m)关键提示关键提示：这是一个立体图形，应把问题转化为：这是一个立体图形，应把问题转化为ACD中求中求CD边长的问题边长的问题【即时巩
9、固即时巩固2】如图所示，在地面上有一旗杆如图所示，在地面上有一旗杆OP.为为测得它的高度测得它的高度h，在地面上取一基线，在地面上取一基线AB，AB20m在在A处测得处测得P点的仰角点的仰角(OAP)为为30，在，在B处测得处测得P点的仰角点的仰角(OBP)为为45，又测得，又测得AOB60.试求旗杆的高度试求旗杆的高度(精精确到确到0.1m)考点三测量角度问题【案例案例3】(2010福建福建)某港口某港口O要将一件重要物品要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口位于港口O北偏西北偏西30且与该港口相距且与该港
10、口相距20海里的海里的A处，并正处，并正以以30海里海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶假设该小小时的航行速度沿正东方向匀速行驶假设该小艇沿直线方向以艇沿直线方向以v海里海里/小时的航行速度匀速行驶，经过小时的航行速度匀速行驶，经过t小小时与轮船相遇时与轮船相遇(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？度的大小应为多少？(2)为保证小艇在为保证小艇在30分钟内分钟内(含含30分钟分钟)能与轮船相遇，能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值试确定小艇航行速度的最小值(3)是否存在是否存在v，使得小艇以，使得小艇以v海里海里/
11、小时的航行速度行小时的航行速度行驶，总能有两种不同的航行方向与轮船相遇？若存在，试驶，总能有两种不同的航行方向与轮船相遇？若存在，试确定确定v的取值范围；若不存在，请说明理由的取值范围；若不存在，请说明理由关键提示：(1)s表示成t的函数，求最小值；(2)v表示成t的函数求最小值；(3)转化为方程有两个不等正根解：(1)设相遇时小艇航行距离为s海里(2)设小艇与轮船在设小艇与轮船在B处相遇，如图所示，处相遇，如图所示，由题意可得(vt)2202(30t)222030tcos 60，所以ABC45，所以B点在C点的正东方向上，所以CBD9030120.所以缉私船沿北偏东60的方向行驶，才能最快截
12、获走私船，大约需要15分钟考点四创新应用【案例案例4】(2011届届合肥一中月考合肥一中月考)如图，如图，海中小岛海中小岛A周围周围38海里内有暗礁船正向南航海里内有暗礁船正向南航行，在行，在B处测得小岛处测得小岛A在船的南偏东在船的南偏东30.该船航该船航行行30海里后，在海里后，在C处测得小岛处测得小岛A在船的南偏东在船的南偏东45.如果该船不改变航向，继续向南航行，有如果该船不改变航向，继续向南航行，有无触礁的危险？无触礁的危险？关键提示关键提示：船继续向南航行，有无触礁的危险，取决：船继续向南航行，有无触礁的危险，取决于于A到直线到直线BC的距离与的距离与38海里的大小于是我们只需先算
13、海里的大小于是我们只需先算出出AC(或或AB)，再算出，再算出A到到BC所在直线的距离，将它与所在直线的距离，将它与38海里比较即得到答案海里比较即得到答案解：在ABC中，BC30，B30，ACB18045135，所以A15.60cos1560cos(4530)60(cos45cos30sin45sin30)【即时巩固即时巩固4】外国船只除特许外，不得进入离我外国船只除特许外，不得进入离我国海岸线国海岸线dnmile以内的区域，如图所示，设以内的区域，如图所示，设A和和B是我国是我国的观测站，的观测站，A与与B之间的距离为之间的距离为snmile，海岸线是过，海岸线是过A、B的直线，一外国船只在的直线，一外国船只在P点，在点，在A站测得站测得BAP，同时，同时在在B站测得站测得ABP，问，问及及满足什么三角函数不等式时，满足什么三角函数不等式时，就应当向此未经特许的外国船只发出警告，命令其退出我就应当向此未经特许的外国船只发出警告，命令其退出我国海域？国海域？解解：假设该外国船只距我国海岸线的距离为：假设该外国船只距我国海岸线的距离为h(h0)，则则“发出警告发出警告”的数学含义是确定不等式的数学含义是确定不等式hd，于是问题，于是问题化归为用已知数表示化归为用已知数表示h，即已知，即已知、s，求，求h.
