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1、试题数学试卷注意事项：考生在答题前请阅读本注意事项及各题答题要求1.答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡上.2.作答试题必须用书写黑色字进的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置作答一律无效，如有作图需要，可用2B铅笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚.第卷（选择题共60分）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 设集合，.则（ ）A. B. C. D. 2. 已知复数（虚数单位），则（ ）A. iB. C. D. 13. 下列区间中，函数存在极大值区间是（ ）A.
2、B. C. D. 4. 陀螺指的是绕一个支点高速转动的几何体，是中国民间最早的娱乐工具之一.传统陀螺大致是木或铁制的倒圆锥形，玩法是用鞭子抽.中国是陀螺的老家，从中国山西夏县新石器时代的遗址中就发掘了石制的陀螺.如图，一个倒置的陀螺，上半部分为圆锥，下半部分为同底圆柱.其中总高度为，圆柱部分高度为，已知该陀螺由密度为的木质材料做成，其总质量为，则最接近此陀螺圆柱底面半径的长度为（ ）A. B. C. D. 5. 已知抛物线的焦点为点，点，抛物线上点满足，为坐标原点，则的长等于（ ）A. 1B. C. 2D. 6. 一次劳动实践活动中，某同学不慎将两件次品混入三件正品中，它们形状、大小完全相同，
3、该同学采用技术手段进行检测，恰好三次检测出两件次品的概率为（ ）A. B. C. D. 7. 在中，为边的中点，且满足，则的面积为（ ）A. B. C. D. 18. 函数有极小值，且极小值为0，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9. 关于函数的性质的描述，正确的是（ ）A. 的定义域为B. 有且仅有一个零点C. 的图象关于原点对称D. 的值域为10. 若二项式展开式中二项式系数之和为，展开式的各项系数之和为，各项系数的绝对值之和为，则
4、下列结论正确的是（ ）A. B. 存在，使得C. 的最小值为2D. 11. 某电视台的一档栏目推出有奖猜歌名活动，规则：根据歌曲的主旋律制作的铃声来猜歌名，猜对当前歌曲的歌名方能猜下一首歌曲的歌名.现推送三首歌曲，给某选手，已知该选手猜对每首歌曲的歌名相互独立，且猜对三首歌曲的歌名的概率以及猜对获得相应的奖金如下表所示.歌曲猜对的概率0.80.60.4获得的奖金金额/元100020003000下列猜歌顺序中获得奖金金额均值超过2000元的是（ ）A. B. C. D. 12. 如图，已知圆锥轴截面为等腰直角三角形，底面圆的直径为，是圆上异于，的一点，为弦的中点，为线段上异于，的点，以下正确的结
5、论有（ ）A. 直线平面B. 与一定为异面直线C. 直线可能平行于平面D. 若，则的最小值为第卷（非选择题共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 如图，在平行四边形中，为的中点，为的中点，若，则_.14. 双曲线：（，）的左顶点为，右焦点为，动点在双曲线上.当时，则双曲线的渐近线方程为_.15. 中国制造2025提出，坚持“创新驱动、质量为先、绿色发展、结构优化、人才为本”的基本方针，通过“三步走”实现制造强国的战略目标：第一步，到2025年迈入制造强国行列；第二步，到2035年中国制造业整体达到世界制造强国阵营中等水平；第三步，到新中国成立一百年时，综合实力进入世
6、界制造强国前列.今年，尽管受新冠疫情影响，但我国制造业在高科技领域仍显示出强劲的发展势头.某市质检部门对某新产品的某项质量指标随机抽取100件检测，由检测结果得到如图所示的频率分布直方图.由频率分布直方图可以认为，该产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.设表示从该种产品中随机抽取10件，其质量指标值位于的件数，则的数学期望_.（精确到0.01）注：同一组数据用该区间的中点值作代表，计算得样本标准差；若，则，.16. 已知定义在上的函数，对于任意，当时，都有，又满足，则_，_.四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 已
7、知数列的前项和为，其中为常数.（1）证明；（2）若为等差数列，求.18. 已知为等腰直角三角形，分别为和上的点，且，如图1.沿EF将折起使平面平面，连接，如图2.（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）已知为棱上一点，试确定的位置，使平面.19. 冬奥会的全称是冬季奥林匹克运动会，是世界规模最大的冬季综合性运动会，每四年举办一届.第24届冬奥会将于2022年在中国北京和张家口举行，为了弘扬奥林匹克精神，增强学生的冬奥会知识，某市多所中小学校开展了模拟冬奥会各项比赛的活动.为了了解学生在越野滑轮和旱地冰壶两项中的参与情况，在全市中小学学校中随机抽取了10所学校，10所学校的参与人数如下：（1）现
8、从这10所学校中随机选取2所学校进行调查，求选出的2所学校参与旱地冰壶人数在30人以下的概率.（2）某校聘请了一名越野滑轮教练，对高山滑降、转弯、八字登坡滑行这3个动作进行技术指导.规定：这3个动作中至少有2个动作达到“优”，总考核记为“优”.在指导前，该校甲同学3个动作中每个动作达到“优”的概率为0.1.在指导后的考核中，甲同学总考核成绩为“优”.能否认为甲同学在指导后总考核达到“优”的概率发生了变化?请说明理由.20. 现有下列三个条件：函数的最小正周期为；函数的图象可以由的图象平移得到；函数的图象相邻两条对称轴之问的距离.从中任选一个条件补充在下面的问题中，并作出正确解答.已知向量，函数
9、.且满足_.（1）求的表达式，并求方程在闭区间上的解；（2）在中，角，的对边分别为，.已知，求的值.21. 如图，已知椭圆：，椭圆：，.为椭圆上一动点且在第一象限内，直线，分别交椭圆于，两点，连结交轴于点.过点作交椭圆于，且.（1）求证：直线过定点，并求出该定点；（2）若记，点的横坐标分别为，求的取值范围.22. 已知函数（）有两个零点.（1）证明：.（2）若两个零点为，且，证明：.答案1-5：CBCBB6-8:DAB9.AC10.AB11.AD12.ABD13. 14. 15. 6.8316. . . 17. （1）由，可得，两式相减得，因为，所以.（2）由，可得，由（1）知，因为为等差数列
10、，所以，解得，故，所以数列是首项为1，公差为4的等差数列，可得，数列是首项为3，公差为4的等差数列，可得，所以，所以.18. （1）因为平面平面，所以又，所以建立如图1所示的空间直角坐标系，因为为等腰直角三角形，分别为和上的点，且，则，.所以，所以，所以异面直线与所成角的余弦值为.（2）方法一：设，因为，所以.设为平面的一个法向量，则即因此可取.所以.因为平面，所以，即，所以当时，平面.方法二：当时，平面.证明如下：如图2，在平面内过作交于，连接.因为，所以四边形为平行四边形，所以.因为，所以，又，所以.因为平面，所以平面.又因为，平面，所以平面.因为，所以平面，因为平面，所以平面.19. （
11、1）记“选出的两所学校参与旱地冰壶人数在30人以下”为事件，参与旱地冰壶人数在30人以下的学校共6所，随机选择2所学校共种，所以.因此选出的2所学校参与旱地冰壶人数在30人以下的概率为.（2）答案不唯一.答案示例1：可以认为甲同学在指导后总考核为“优”的概率发生了变化.理由如下：指导前，甲同学总考核为“优”的概率为.指导前，甲同学总考核为“优”的概率非常小，一旦发生，就有理由认为指导后总考核达到“优”的概率发生了变化. 答案示例2：无法确定.理由如下：指导前，甲同学总考核为“优”的概率为.虽然概率非常小，但是也可能发生，所以，无法确定总考核达到“优”的概率发生了变化.20 现有下列三个条件：函
12、数的最小正周期为；函数的图象可以由的图象平移得到；函数的图象相邻两条对称轴之问的距离.从中任选一个条件补充在下面的问题中，并作出正确解答.已知向量，函数.且满足_.（1）求的表达式，并求方程在闭区间上的解；（2）在中，角，的对边分别为，.已知，求的值.20. （1）因为，所以.若满足条件：，所以，故.因为，无法由的图象经过平移得到的图象，因此不能选.若满足条件：因为，所以，故，即.综上，无论选条件或，所求.因为，所以.又，所以，所以或或，即或或.所以方程在闭区间上的解为或或.（2）由（1）知，所以，即，.因为，所以，.又，由正弦定理，得，整理得.因为，所以，所以.又，得，所以.21. （1）证
13、明：设，则，且，则，即.当直线的斜率存在时，设的方程为（），则代入消元，得（）,设，则，由，得，约去，并化简得，解得（不符合题意，舍去）. 当直线的斜率不存在时，设的方程为，利用，可解得，综上，直线过定点.（2）设的方程为（），则，解得点坐标为，由，则点坐标为.同理，记斜率为，则点坐标为）.由，则点坐标为，则的斜率为，所以直线的方程为，令，得，则，其中，所以的取值范围是.22. （1）证明：由，可得，.当时，所以在上单调递增，与题意不符.当时，令，得.当时，单调递减；当时，单调递增.可得当时，取得极小值.又因为函数有两个零点，所以，可得.综上，.（2）解：由上可得的极小值点为，则.设， 可得，所以在上单调递增，所以，即，则，所以当时，且.因为当时，单调递增，所以，即.设，则则，即.所以， 所以.又因为，则，所以在上单调递减，所以，所以，即综上，15guomeng2014
