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1、8.3直线，平面平行的判定与性质第八章立体几何数学数学 苏（理）苏（理）基础学问基础学问自主学习自主学习题型分类题型分类深度剖析深度剖析思想方法思想方法感悟提高感悟提高练出高分练出高分1.直线与平面平行的判定与性质判定性质定义定理图形条件 _结论ab_aa，b，abaa，a，baab2.面面平行的判定与性质判定性质定义定理图形条件 _，a结论abaa，b，abP，a，b，a，bu摸索辨析摸索辨析判定下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)假如一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行.()(2)假如两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面.()(3)如直线
2、a与平面内很多条直线平行，就a.()(4)空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，就EF平面BCD.()(5)如，直线a，就a.()题号答案解析1234 或解析解析由于，a，所以a，在平面内存在很多条直线与直线a平行，但不是全部直线都与直线a平行，故命题为真命题，命题为假命题.在平面内存在很多条直线与直线a垂直，故命题为假命题.例例1(2021山山东东改改编编)如如图图，四四棱锥棱锥PABCD中，中，ADBC，ABBC AD，E，F，H分分别别为为线线段段AD，PC，CD的的中中点点，AC与与BE交于交于O点，点，G是线段是线段OF上一点上一点.(1)求证：求证：AP平面平面BEF
3、；题型一直线与平面平行的判题型一直线与平面平行的判定与性质定与性质解析思维升华证明证明连结EC，例例1(2021山山东东改改编编)如如图图，四四棱锥棱锥PABCD中，中，ADBC，ABBC AD，E，F，H分分别别为为线线段段AD，PC，CD的的中中点点，AC与与BE交于交于O点，点，G是线段是线段OF上一点上一点.(1)求证：求证：AP平面平面BEF；题型一直线与平面平行的判题型一直线与平面平行的判定与性质定与性质BC綊AE，四边形ABCE是平行四边形，O为AC的中点.又F是PC的中点，FOAP，解析思维升华解析思维升华FO平面BEF，AP平面BEF，AP平面BEF.例例1(2021山山东东
4、改改编编)如如图图，四四棱锥棱锥PABCD中，中，ADBC，ABBC AD，E，F，H分分别别为为线线段段AD，PC，CD的的中中点点，AC与与BE交于交于O点，点，G是线段是线段OF上一点上一点.(1)求证：求证：AP平面平面BEF；题型一直线与平面平行的判题型一直线与平面平行的判定与性质定与性质判定或证明线面平行的常用方法：(1)利用线面平行的定义(无公共点)；(2)利用线面平行的判定定理(a，b，aba)；(3)利用面面平行的性质定理(，aa)；(4)利 用 面 面 平 行 的 性 质(，a，aa).例例1(2021山山东东改改编编)如如图图，四四棱锥棱锥PABCD中，中，ADBC，AB
5、BC AD，E，F，H分分别别为为线线段段AD，PC，CD的的中中点点，AC与与BE交于交于O点，点，G是线段是线段OF上一点上一点.(1)求证：求证：AP平面平面BEF；题型一直线与平面平行的判题型一直线与平面平行的判定与性质定与性质解析思维升华思维点拨解析思维升华例例1(2)求证：GH平面PAD.思维点拨解析思维升华例例1(2)求证：GH平面PAD.(2)中 可 证 明 平 面OHF平面PAD.思维点拨解析思维升华证明证明连结FH，OH，F，H分别是PC，CD的中点，FHPD，FH平面PAD.又O是BE的中点，H是CD的中点，例例1(2)求证：GH平面PAD.思维点拨解析思维升华OHAD，
6、OH平面PAD.又FHOHH，平面OHF平面PAD.又 GH平 面 OHF，GH平面PAD.例例1(2)求证：GH平面PAD.思维点拨解析思维升华例例1(2)求证：GH平面PAD.判定或证明线面平行的常用方法：(1)利用线面平行的定义(无公共点)；(2)利用线面平行的判定定理(a，b，aba)；(3)利用面面平行的性质定理(，aa)；(4)利 用 面 面 平 行 的 性 质(，a，aa).跟跟踪踪训训练练1(2021福福建建改改编编)如如图图，在在四四棱棱锥锥PABCD中中，PD平平面面ABCD，ABDC，ABAD，BC5，DC3，AD4，PAD60.(1)如如M为为PA的中点，求证：的中点，
7、求证：DM平面平面PBC；方法一证明证明如图，取PB中点N，连结MN，CN.在PAB中，M是 PA的中点，又CDAB，CD3，MNCD，MNCD，四边形MNCD为平行四边形，DMCN.又DM平面PBC，CN平面PBC，DM平面PBC.方法二证明证明如图，取AB的中点E，连结ME，DE.在梯形ABCD中，BECD，且BECD，四边形BCDE为平行四边形，DEBC，又DE平面PBC，BC平面PBC，DE平面PBC.又在PAB中，MEPB，ME平面PBC，PB平面PBC，又在PAB中，MEPB，ME 平面PBC，PB平面PBC，ME平面PBC，又DEMEE，平面DME平面PBC.又DM平面DME，D
8、M平面PBC.(2)求三棱锥DPBC的体积.题型二平面与平面平行的判题型二平面与平面平行的判定与性质定与性质例例2(2021陕西陕西)如图，四棱柱如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面的底面ABCD是是 正正 方方 形形，O为为 底底 面面 中中 心心，A1O平平 面面 ABCD，AB AA1 .(1)证证 明明：平平 面面 A1BD平平 面面CD1B1；解析思维升华解析思维升华证证明明由题设知，BB1綊DD1，四边形BB1D1D是平行四边形，BDB1D1.又 BD平 面 CD1B1，B1D1平面CD1B1，BD平面CD1B1.题型二平面与平面平行的判题型二平面与平面平行的判定与性质定与性
9、质例例2(2021陕西陕西)如图，四棱柱如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面的底面ABCD是是 正正 方方 形形，O为为 底底 面面 中中 心心，A1O平平 面面 ABCD，AB AA1 .(1)证证 明明：平平 面面 A1BD平平 面面CD1B1；解析思维升华A1D1綊B1C1綊BC，四边形A1BCD1是平行四边形，A1BD1C.又 A1B平 面 CD1B1，D1C平面CD1B1，A1B平面CD1B1.又BDA1BB，平面A1BD平面CD1B1.题型二平面与平面平行的判题型二平面与平面平行的判定与性质定与性质例例2(2021陕西陕西)如图，四棱柱如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1的底
10、面的底面ABCD是是 正正 方方 形形，O为为 底底 面面 中中 心心，A1O平平 面面 ABCD，AB AA1 .(1)证证 明明：平平 面面 A1BD平平 面面CD1B1；解析思维升华证明面面平行的方法：(1)面面平行的定义；(2)面面平行的判定定理：假如一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；题型二平面与平面平行的判题型二平面与平面平行的判定与性质定与性质例例2(2021陕西陕西)如图，四棱柱如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面的底面ABCD是是 正正 方方 形形，O为为 底底 面面 中中 心心，A1O平平 面面 ABCD，AB AA1 .(1)证证 明明：
11、平平 面面 A1BD平平 面面CD1B1；解析思维升华(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行；(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行；(5)利用“线线平行”，“线面平行”，“面面平行”的相互转化.题型二平面与平面平行的判题型二平面与平面平行的判定与性质定与性质例例2(2021陕西陕西)如图，四棱柱如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面的底面ABCD是是 正正 方方 形形，O为为 底底 面面 中中 心心，A1O平平 面面 ABCD，AB AA1 .(1)证证 明明：平平 面面 A1BD平平 面面CD1B1；例例2(2)求三棱柱ABDA1B1D1的体积.解解A1O平面ABCD
12、，A1O是三棱柱ABDA1B1D1的高例例2(2)求三棱柱ABDA1B1D1的体积.跟跟 踪踪 训训 练练 2 如如 图图，在在 正正 方方 体体 ABCDA1B1C1D1中中，S是是B1D1的的中中点点，E，F，G分分别是别是BC，DC，SC的中点，求证：的中点，求证：(1)直线直线EG平面平面BDD1B1；证明如图，连结证明如图，连结SB，E，G分别是分别是BC，SC的中点，的中点，EGSB.跟跟 踪踪 训训 练练 2 如如 图图，在在 正正 方方 体体 ABCDA1B1C1D1中中，S是是B1D1的的中中点点，E，F，G分分别是别是BC，DC，SC的中点，求证：的中点，求证：(1)直线直
13、线EG平面平面BDD1B1；又SB平面BDD1B1，EG平面BDD1B1，直线EG平面BDD1B1.(2)平面EFG平面BDD1B1.证明连结证明连结SD，F，G分别是分别是DC，SC的中点，的中点，FGSD.又又SD平面平面BDD1B1，FG 平面平面BDD1B1，FG平面平面BDD1B1，由，由(1)知，知，EG平面平面BDD1B1，且，且EG平面平面EFG，FG平面平面EFG，EGFGG，平面平面EFG平面平面BDD1B1.题型三平行关系的综合应用题型三平行关系的综合应用例例3如以下图，如以下图，在四周体在四周体ABCD中，中，截面截面EFGH平行于平行于对对棱棱AB和和CD，试试问问截
14、截面面在在什什么么位置时其截面面积最大？位置时其截面面积最大？思维点拨解析思维升华思维点拨解析思维升华利用线面平行的性质可以得到线线平行，可以先确定截面外形，再建立目标函数求最值.题型三平行关系的综合应用题型三平行关系的综合应用例例3如以下图，如以下图，在四周体在四周体ABCD中，中，截面截面EFGH平行于平行于对对棱棱AB和和CD，试试问问截截面面在在什什么么位置时其截面面积最大？位置时其截面面积最大？思维点拨解析思维升华解解AB平面平面EFGH，平面平面EFGH与平面与平面ABC和和平面平面ABD分别交于分别交于FG，EH.ABFG，ABEH，FGEH，同理可证，同理可证EFGH，截面截面
15、EFGH是平行四边是平行四边形形.题型三平行关系的综合应用题型三平行关系的综合应用例例3如以下图，如以下图，在四周体在四周体ABCD中，中，截面截面EFGH平行于平行于对对棱棱AB和和CD，试试问问截截面面在在什什么么位置时其截面面积最大？位置时其截面面积最大？思维点拨解析思维升华设ABa，CDb，FGH(即为异面直线AB和CD所成的角或其补角).又设FGx，GHy，题型三平行关系的综合应用题型三平行关系的综合应用例例3如以下图，如以下图，在四周体在四周体ABCD中，中，截面截面EFGH平行于平行于对对棱棱AB和和CD，试试问问截截面面在在什什么么位置时其截面面积最大？位置时其截面面积最大？思
16、维点拨解析思维升华题型三平行关系的综合应用题型三平行关系的综合应用例例3如以下图，如以下图，在四周体在四周体ABCD中，中，截面截面EFGH平行于平行于对对棱棱AB和和CD，试试问问截截面面在在什什么么位置时其截面面积最大？位置时其截面面积最大？SEFGHFGGHsin 思维点拨解析思维升华题型三平行关系的综合应用题型三平行关系的综合应用例例3如以下图，如以下图，在四周体在四周体ABCD中，中，截面截面EFGH平行于平行于对对棱棱AB和和CD，试试问问截截面面在在什什么么位置时其截面面积最大？位置时其截面面积最大？x0，ax0且x(ax)a为定值，当且仅当xax时，思维点拨解析思维升华题型三平行关系的综合应用题型三平行关系的综合应用例例3如以下图，如以下图，在四周体在四周体ABCD中，中，截面截面EFGH平行于平行于对对棱棱AB和和CD，试试问问截截面面在在什什么么位置时其截面面积最大？位置时其截面面积最大？即当截面EFGH的顶点E，F，G，H为棱AD，AC，BC，BD的中点时截面面积最大.思维点拨解析思维升华利用线面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，特殊在截面图的画法中，常用来确
