《8.2 一元线性回归模型及其应用（解析版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《8.2 一元线性回归模型及其应用（解析版）（51页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、8.2 一元线性回归模型及其应用【知识点梳理】1 . 一元线性回归模型 我们称E (e) =0, D (e) o2为y关于x的一元线性回归模型，其中y称为因变量或响应变量，%称为自变量或解释变量；。和为 模型的未知参数，。称为截距参数，匕称为斜率参数；e是y与云+。之间的随机误差.2 .线性回归方程与最小二乘法回归直线方程过样本点的中心(x,y)，是回归直线方程最常用的一个特征A A A我们将称为y关于1的线性回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验A A回归直线.这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的R a叫做。，。的最小二乘估计(least squaresestim
2、ate),L(x-x)(y-y)AA a =y-I)x.3 .残差的概念A对于响应变量y,通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的y称为预测值，观测值减 去预测值称为残差.残差是随机误差的估计结果，通过残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判 断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为残差分析.4 .刻画回归效果的方式(1)残差图法作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称 为残差图.假设残差点比拟均匀地落在水平的带状区域内，带状区域越窄，那么说明拟合效果越好.(2)残差平方和法 n A残差平方和Z (y y)2,残差平方和越小
3、，模型拟合效果越好，残差平方和越大，模型拟合效果越差.l= 1该车辆估计2017年应缴保费为：（120x20 + 1600）x0.9615 = 3846元, 因0.9615vl,那么车险新政总体上减轻了车主负担.题型三线性回归分析例7. （2021 .山东.日照青山学校高二期末）共享单车进驻城市，绿色出行引领时尚，某市有统计数据显示,某站点6天的使用单车用户的数据如下，用两种模型y = + a；二人五十 1分别进行拟合，得到相应的回归方程3 =10.7x + 3.4, =35.5-22.8,进行残差分析得到如表所示的残差值及一些统计量的值:日期X （天）123456元= 3.55二4162y
4、= i49 /=!6以2 =91i=用户y （人）132243455568模型的残差值 1.1-2.87.51.2-1.90.4模型的残差值0.3 5.44.3-3.21.63.8残差值的绝对值之和越小说明模型拟合效果越好，根据残差，比拟模型，的拟合效果，应选择哪一 个模型？并说明理由；残差绝对值大于3的数据认为是异常数据，需要剔除，剔除异常数据后，重新求出（1）中所选模型的回 归方程.人 玉y-附（参考公式：2 =母，a = y-bx）X%； - fix2 i=【答案】（1）该选模型，理由见解析（2）y = llx+l【解析】【分析】（1）求出两模型的残差值的绝对值之和进行比拟即可，（2）先
5、剔除异常数据，然后利用回归方程的公式结合数据进行计算即可（1）应该选择模型模型的残差值的绝对值之和为1.1 +2.8+7.5+1.2+1.9+0.4 = 14.9模型的残差值的绝对值之和为0.3+5.4+4.3+3.2+1.6+3.8=186 14.918.6, 模型的拟合效果较好，应该选模型.（2）剔除异常数据，即剔除第3天的数据后，得了= *(3.5x6 3)= 3.6, 7 = 1(41x6-43) = 40.6, 55= 1049-3x43 = 920,=91-32 =82.z=li=l5X x.y. -5xy.= = 189.2 =口 一 合 一 82-5x3.6x3.6 17.2
6、一 汇石-5/ i=ld = y-bx = 40.6 -11x3.6 = 1.力关于x的回归方程为y = llx+L规律方法（1）解答线性回归问题，应通过散点图来分析两变量间的关系是否线性相关，然后再利用求 回归方程的公式求解回归方程，并利用残差图或相关指数R2来分析函数模型的拟合效果，在此基础上，借 助回归方程对实际问题进行分析.（2）刻画回归效果的三种方法残差图法：残差点比拟均匀地落在水平的带状区域内说明选用的模型比拟合适.A残差平方和法：残差平方和X 8一凶）2越小，模型的拟合效果越好.naZ（v一9）2i= 1决定系数法：R2=l-：越接近1,说明回归的效果越好.Z （y-y）2 i=
7、 1例8. （2021河南南阳中学高三阶段练习（文）2021年6月17日9时22分，我国酒泉卫星发射中心用长 征2F遥十二运载火箭，成功将神舟十二号载人飞船送入预定轨道，顺利将聂海胜、刘伯明、汤洪波3名航 天员送入太空，发射取得圆满成功，这标志着中国人首次进入自己的空间站.某公司负责生产的A型材料 是神舟十二号的重要零件，该材料应用前景十分广泛.该公司为了将人型材料更好地投入商用，拟对A型 材料进行应用改造、根据市场调研与模拟，得到应用改造投入x（亿元）与产品的直接收益y（亿元）的数据统计 如下：序号123456789101112X2346810132122232425y15222740485
8、46068.56867.56665当0vx17时 建立了)，与x的两个回归模型：模型：夕= 4.b; + 10.9,模型：；当x17时，确定y与x满足的线性回归方程为9 =-。7工+ 6.根据以下表格中的数据，比拟当0x17时，二321 + 22 + 23 + 24 + 25 - 68.5 + 68 + 67.5+66+65 口后五组的1= 23, y =二 67,由最小二乘法可得a = 67 - （-0.7）x 23 = 83.1,故当投入20亿元时公司收益（直接收益+国家补贴）的大小为：-0.7 x20+83.1+5 = 74.1 72.93,故投入17亿元比投入20亿元时收益小.例9.（
9、2022陕西高新一中高三阶段练习（理）2021年6月17日9时22分，我国酒泉卫星发射中心用长征2/遥十二运载火箭，成功将神舟十二号载人飞船送入预定轨道，顺利将聂海胜、刘伯明、汤洪波3名航天员送入太空，发射取得圆满成功，这标志着中国人首次进入自己的空间站.某公司负责生产的A型材料是神舟十二号的重要零件，该材料应用前景十分广泛.该公司为了将A型材料更好地投入商用，拟对A型材料进行应用改造.根据市场调研与模拟，得到应用改造投入x （亿元）与产品的直接收益y（亿元）的数据统计如下:序号1234567X234681013y15222740485460当017 时，确定y与x满足的线性回归方程为 = -
10、0.7x + 3.回归模型模型模型7 E(x-x)2 Z=179.1320.2根据表格中的数据，比拟当0x （y： 1J附：刻画回归效果的相关指数2=1-j,且当R2越大时，回归方程的拟合效果越好.J万。4.1. X（y-y）2i=l用最小二乘法求线性回归方程y = bx +a的截距：a = y-bx.【答案】（1）用耳，模型拟合精度更高、更可靠，收益为72.93；投入17亿元比投入20亿元时收益小.【解析】【分析】12（1）根据题意求得2（%一歹）一，再根据配的计算公式，即可分别求得用,后，那么可判断不同模型的拟合度;7=1（2）根据题意，求得回归直线方程，即可代值计算，求得预测值.对于模型
11、,15 + 22 + 27 + 40 + 48 + 54 + 607= 38,1212故对应的 (X -9)一 = 7 V = 1750 , z=li=故对应的相关指数用=1-79.13175070 9对于模型，同理对应的相关指数R； = l-而。.988,故模型拟合精度更高、更可靠.故对A型材料进行应用改造的投入为17亿元时的直接收益为y = 21.3xV17-14.472.93.当x17时,后五组的了 =后五组的了 =21 + 22 + 23 + 24 + 25=23,了 =68.5 + 68 + 67.5 + 66 + 65 =67 ,由最小二乘法可得a = 67-(-0.7) x 23 = 83.1,故当投入20亿元时公司收益（直接收益+国家补贴）的大小为:-0.7x20 + 83.1 + 5 =
