《2022届高考数学二轮复习解答题满分专题09 数列求和(奇偶项讨论)(解析版)》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2022届高考数学二轮复习解答题满分专题09 数列求和(奇偶项讨论)(解析版)(14页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、2022届高考数学二轮复习解答题满分专题数列专题九:数列求和(奇偶项讨论)一、必备秘籍有关数列奇偶项的问题是高考中经常涉及的问题,解决此类问题的难点在于搞清数列奇数项和偶数项的首项、项数、公差(比)等本专题主要研究与数列奇偶项有关的问题,并在解决问题中让学生感悟分类讨论等思想在解题中的有效运用.因此,在数列综合问题中有许多可通过构造函数来解决二、例题讲解1已知等差数列的公差为2,前项和为,且,成等比数列()求数列的通项公式;()令,求数列的前项和解:()等差数列的公差为2,前项和为,成等比数列,化为,解得。()由()可得。当为偶数时,当为奇数时,感悟升华(核心秘籍)此类型难度较大;在讨论的时候
2、特别注意分清楚为奇数;为偶数时最后一项到底加到哪里停止;三、实战练习1(2021全国高三专题练习)已知为等差数列,为等比数列,()求和的通项公式;()记的前项和为,求证:;()对任意的正整数,设求数列的前项和【答案】(),;()证明见解析;().【分析】()由题意分别求得数列的公差、公比,然后利用等差、等比数列的通项公式得到结果;()利用()的结论首先求得数列前n项和,然后利用作差法证明即可;()分类讨论n为奇数和偶数时数列的通项公式,然后分别利用指数型裂项求和和错位相减求和计算和的值,据此进一步计算数列的前2n项和即可.【详解】()设等差数列的公差为,等比数列的公比为q.由,可得d=1.从而
3、的通项公式为.由,又q0,可得,解得q=2,从而的通项公式为.()证明:由()可得,故,从而,所以.()当n为奇数时,当n为偶数时,对任意的正整数n,有,和 由得 由得,由于,从而得:.因此,.所以,数列的前2n项和为.【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解,分组求和法,指数型裂项求和,错位相减求和等,属于中等题.2(2021河西天津市新华中学)已知为等差数列,为等比数列,.(1)分别求数列和的通项公式;(2)在与之间插入n个数,使这个数组成一个公差为的等差数列,(i)求证;(ii)对任意的正整数,设,求数列的前项和.【答案】(1),;(2)(i)证明见解析;(ii).【分析】(1)根据等差数
4、列和等比数列的通项公式,结合题中所给的条件,列出等量关系式,求得首项、公差和公比,得到数列的通项公式;(2)(i)根据题意,求得,之后利用作差比较法求得结果;(ii)利用分组求和法和错位相减法求得数列的前项和.【详解】(1)为等差数列,所以,所以,即,所以;为等比数列,因为,所以,解得,所以;(2)(i),所以;(ii),所以,设的前项中,奇数项和为,偶数项和为,两式相减得,所以,所以数列的前项和为.【点睛】方法点睛:该题考查的是有关数列的问题,解题方法如下:(1)根据等差数列和等比数列的通项公式求相关量,之后确定其通项公式;(2)利用等差数列公差的相关公式求得,之后利用作差比较法求得结果;(
5、3)利用分组求和法和错位相减法对数列求和.3(2021辽宁高三月考)已知等差数列中,.(1)求;(2)设,求的前项和【答案】(1);(2).【分析】(1)根据已知条件可得,所以两式相减可得公差,将公差代入即可得;(2)求出的通项公式,利用分组求和以及等差和等比数列求和公式即可求解.【详解】(1)由题得,所以,两式相减可得:,所以所以可得:;(2)由(1)知:,所以,.4(2021湖南衡阳市八中高三其他模拟)已知正项数列满足.(1)求;(2)将数列分组:,记第组的和为.(i)求数列的通项公式;(ii)求数列前项的和.【答案】(1);(2)(i);(ii).【分析】(1)根据题意,当n=1时,可得
6、,当时,可得,根据,作差整理,即可求得.(2)(i)根据题意,可得,根据(1)可得表达式,代入整理可得;(ii)根据(i)可得,利用分组求和法,结合等差数列的求和公式,即可得答案.【详解】(1)因为,令n=1,所以,因为 ,当时, ,-得:,所以数列是公差为2的等差数列,所以,当符合上式,所以.(2)(i)由题意可知, 所以,而所以;(ii)由(i)可得所以【点睛】难点在于:将数列分组后,根据规律,总结出,在结合等差数列求和公式,化简求值即可,考查分析理解,计算求值的能力,属中档题.5(2021天津市武清区杨村第一中学高三其他模拟)已知等比数列的前n项和为,公比,数列满足且,.(1)求和的通项
7、公式;(2)将和中的所有项按从小到大的顺序排列组成新数列,求数列的前项和;(3)设数列的通项公式为:,求【答案】(1),;(2);(3).【分析】(1)根据已知条件求出、的值,利用等比数列的通项公式可求得,求出、的值,可求得等差数列的通项公式;(2)分析可知数列的前项中,有项,有项,利用分组求和法可求得的值;(3)求得,利用错位相减法可求得.【详解】(1)由,两式作差可得,即,则,解得,所以,解得,所以,.因为,故数列为等差数列,设该数列的公差为,由于,可得,所以,;(2)当时,当时,所以,数列的前项中,有项,有项,所以,;(3),设,则,则,两式作差可得,因此,.【点睛】方法点睛:数列求和的
8、常用方法:(1)对于等差等比数列,利用公式法可直接求解;(2)对于结构,其中是等差数列,是等比数列,用错位相减法求和;(3)对于结构,利用分组求和法;(4)对于结构,其中是等差数列,公差为,则,利用裂项相消法求和.6(2021江苏镇江市扬中市第二高级中学高三开学考试)已知数列是等差数列,设为数列的前n项和,数列是等比数列,若(1)求数列和的通项公式;(2)若 ,求数列的前2n项和【答案】(1);(2).【分析】(1)依题意分别求出等差数列的公差d和等比数列的公比q即可求得通项;(2)求出,分组之后用裂项法和公式法求得结果.【详解】(1)设等差数列的公差为d,等比数列的公比为q因为,所以.依题意
9、得,即,解得或(舍)(2)由(1)可得设数列的前项和为,则【点睛】方法点睛: 本题第(2)问考查的核心是裂项求和,使用裂项法求和时,要注意正负项相消时消去了哪些项,保留了哪些项,切不可漏写未被消去的项,未被消去的项有前后对称的特点,实质上造成正负相消是此法的根源与目的7(2021全国高三其他模拟(理)已知公差不为0的等差数列的前n项和为,是,的等比中项,数列满足:对任意的,.(1)求数列,的通项公式;(2)设,求数列的前2n项的和.【答案】(1),;(2).【分析】(1)由基本量法列出关于和公差的方程组,解得,得通项公式,求出后可得;(2)把的奇数项和偶数项分别求和可得【详解】(1)设数列的公
10、差为d,由题意得,化简得,因为,所以,所以,因为,所以;(2)由(1)知,所以.【点睛】本题考查求等差数列的通项公式,裂项相消法求和数列求和的常用方法:设数列是等差数列,是等比数列, (1)公式法:等差数列或等比数列的求和直接应用公式求和;(2)错位相减法:数列的前项和应用错位相减法;(3)裂项相消法;数列(为常数,)的前项和用裂项相消法;(4)分组(并项)求和法:数列用分组求和法,如果数列中的项出现正负相间等特征时可能用并项求和法;(5)倒序相加法:满足(为常数)的数列,需用倒序相加法求和8(2021浙江高三其他模拟)已知数列满足,.(1)求数列的通项公式;(2)若求.【答案】(1);(2)
11、【分析】(1)由,得,利用累乘法即可求得的通项公式;(2)利用分组求和法,其中偶数项和用错位相减法求解,奇数项用等差求和公式求解即可【详解】(1)由,得, 当时,得,当时,则.易得,符合, 所以;(2)由(1)知记,则,得, 得,则. 因此;【点睛】数列求和的方法技巧(1)倒序相加:用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和;(2)错位相减:用于等差数列与等比数列的积数列的求和;(3)分组求和:用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和9(2021天津河西高三三模)已知数列满足,且,成等比数列.(1)求的值和的通项公式;(2)设,求数列的前项和.【答案】(1),;(2)。【分析】(1
12、)由递推关系,结合等比中项的性质可得,根据已知条件求,进而分别讨论n为奇数或偶数时的通项公式即可.(2)由(1)写出通项,将其奇偶项并项得,最后应用错位相减法求数列的前项和.【详解】(1)由题设知:,而,即,即,又,整理得,即可得,当n为奇数时,则,当n为偶数时,则,综上,.(2)由(1)知:,数列的前项和中,故.【点睛】关键点点睛:第二问,由于数列奇偶项的通项公式不同,由奇偶并项,将其转化为,求数列的前n项和.10(2021天津和平高三月考)设等差数列的前项和为,且等比数列的前项和为,满足,.(1)求,的通项公式;(2)求满足条件的最小正整数,使得对不等式恒成立;(3)对任意的正整数,设,求数列的前项和.【答案】(1),;(2);(3).【分析】(1)先利用等差数列求和公式列方程组求出,从而可求出,再利用等比数列通项公式求出,从而可求出;(2)由,而当时,当时,从而可求得结果;(3)由题意可得,然后利用错位相减法求即可【详解】(1)设的公差为,的公比为.由,得:解得:所以.又由,得:解得所以.(2),当时,当时,当时,所以,满足条件的最小正整数,(3)由(1)-(2)可得:所以设的前项和为,【点睛】关键点点睛:此题考查等差数列和等比数列的综合应用,考查错位相减法求和,第(3)问解题的关键是根据题意分奇偶项分别求和,考查计算能力,属于中档题