《2022届高考数学二轮复习解答题满分专题03 利用导数研究函数恒成立问题 (解析版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022届高考数学二轮复习解答题满分专题03 利用导数研究函数恒成立问题 (解析版）（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2022届高考数学二轮复习解答题满分专题导数及其应用专题三：利用导数研究函数恒成立问题一、必备秘籍分离参数法解含参不等式恒成立问题的思路用分离参数法解含参不等式恒成立问题，是指在能够判断出参数的系数正负的情况下，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，只要研究变量表达式的最值就可以解决问题一般地，若对恒成立，则只需；若对恒成立，则只需。二、例题讲解1（2021浙江嘉兴高三模拟预测）已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）若关于的不等式在上恒成立.求的取值范围；【答案】（1）的单调增区间为；单调减区间为；（2）；（3）证明见解析.【分析】（1）分情况讨论，
2、然后用导数法求单调区间即可；（2）由得，令，则问题可转化为成立，利用导数法求解的最值即可求解；【详解】当时，由解得，由解得，故的单调增区间为，单调减区间为；当时，由，得的定义域为， ，令解得，由解得，由解得，故的单调增区间为，单调减区间为；经验证，时，的单调增区间也符合，单调减区间也符合；综上可知：的单调增区间为，单调减区间为；（2），令，则，令，则，由解得，由解得，故在递增，在递减，所以，在上单调递增，的取值范围；2（2021全国高三专题练习（文）已知函数.（1）当时，求的极值；（2）若在上恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）有极小值，无极大值；（2）【分析】（1）求出函数的导数，判断出
3、函数的单调性，即可求出极值；（2）由题可得在上恒成立，易得时满足，当时，在上恒成立，构造函数，求出导数，判断的单调性，得出，即可求出的取值范围【详解】（1）当时，所以，当时；当时，所以在上单调递减，在上单调递增，所以当时函数有极小值，无极大值.（2）因为在上恒成立，所以在上恒成立，当时恒成立，此时，当时在上恒成，令，则，由（1）知时，即，当时；当时，所以在上单调递减，在上单调递增，所以当时，所以，综上可知，实数的取值范围是.【点睛】思路点睛：不等式恒成立问题一般采用分离参数法求参数范围，若不等式（是实参数）恒成立，将转化为或恒成立，进而转化为或，求的最值即可.感悟升华（核心秘籍）对于恒成立问题
4、，最核心的方法是变量分离法；1、变量分离时，注意不等式的方向是否改变2、变量分离后，需构造新函数，通过借助导函数，求出新构造函数的最大（小）值；往往涉及到二阶导。三、实战练习1（2021山东济宁一中高三开学考试）已知函数，（1）求函数的单调区间；（2）当时，有成立，求的取值范围【答案】（1）答案见解析；（2）【分析】（1）对函数求导，进而讨论a的范围，最后得到函数的单调区间；（2）采用分离参数法，转化为求函数的最值问题，通过导数方法求出函数的最值，进而得到答案.【详解】（1）函数的定义域为，时，恒成立，函数在上单调递增；时，令，得当时，函数为减函数；当时，函数为增函数综上所述，当时，函数的单调
5、递增区间为，无单调递减区间；当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为（2）若x=1，成立，；若，问题恒成立，记，则函数g（x）在上单调递减，所以，所以.综上：.2（2021吉林长春外国语学校高三开学考试（理）设函数（1）证明：当时，；（2）若对任意的，都有，求的取值范围【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）由题可求出函数的最小值，根据条件可得最小值大于等于0即证；（2）利用参变分离，然后求函数的值域即可.【详解】（1）由题意可知函数的定义域为，又，令得，当时，当时， ，在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为，当时，即当时，；（2）对任意的，都有，在上恒成立，故在上恒成立，令，则
6、在上恒成立，在上单调递增，所以.3（2021全国高三开学考试（理）已知函数（1）当时，求的单调区间；（2）若对任意的，均有，求实的最小值【答案】（1）减区间为（0，1），增区间为；（2）1.【分析】（1）化简函数并求解导函数，进而确定单调区间即可；（2）运用变量分离法构造新函数转化不等式恒成立问题，进而求解出参数的值.【详解】（1）的定义域为，当时，则，当时，在上 单调递减，当时，在上单调递增，所以的减区间为（0，1），增区间为；（2）因为对任意的，恒成立，即恒成立令，则，令，则在上单调递增，因为，所以存在，使得，当时，单调递增；当时，单调递减，由，可得，则所以，又恒成立，所以，故m的最小值为
7、l4（2021孟津县第一高级中学高三月考（文）定义在上的关于的函数（1）若，讨论的单调性；（2）在上恒成立，求的取值范围【答案】（1）在上，单调递减；在上，单调递增；（2）【分析】（1）直接解和即可得到的单调性；（2）分类讨论：先判断，不合题意当时，利用导数讨论单调性，求出的取值范围；当，利用导数讨论单调性，求出的取值范围；【详解】（1），时，在上，单调递减在上，单调递增（2）由（1），若，在上，单调递增，不合题意若，在上，；在上，由题意，若，在上，单调递减，则在上，符合题意，综上所述，5（2021全国高三专题练习）已知函数的图象在点处的切线方程为.（1）若对任意有恒成立，求实数的取值范围；【
8、答案】（1），；【分析】（1），根据函数的图象在点处的切线的方程为可得（1），（1），解得，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出实数的取值范围【详解】解：（1），.函数的图象在点处的切线的方程为.（1），（1），解得，.，.当时，函数取得最大值，.对任意有恒成立，所以，.实数的取值范围是，.6（2021全国高三模拟预测（理）设函数，（1）若恒成立，求的取值范围；【答案】（1）；（2）证明见解析【分析】（1）参变分离将问题等价于恒成立，令，利用导数求出函数的最小值，即可得到答案；【详解】（1）因为，所以恒成立，即恒成立，令，当时，；当时，所以7（2021宁夏银川一中高三模拟预测（理）已知函
9、数.（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若对于任意，都有成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【分析】（1）求出函数在处导数，即切线斜率，求出，即可求得切线方程；（2）不等式可转化为对任意恒成立，构造函数，求出导数，再构造函数，通过导数可得，从而得出单调递增，求得最大值即可.【详解】（1）若，则，则，则，即切线斜率为，又，则切线方程为，即；（2）由可得，即对任意恒成立，令，则，令，则，所以在单调递增，则，则，所以在单调递增，所以，即.【点睛】关键点睛：解决本题的关键是分离参数并两次构造函数讨论单调性，从而求得函数的最大值.8（2021安徽安庆一中高三三模（文）已知函数（1）讨论的极
10、值（2）当时，的图象始终在的图象的下方，求a的取值范围【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）【分析】（1）求导得，进而分，两种情况讨论求解即可；（2）根据题意将问题转化为对，都有恒成立，进而令，求函数的最小值即可.【详解】解：（1）函数的定义域为，时，所以在单减，没有极值时，令得，故在单调递增，令得，故在单调递减.有极小值，没有极大值（2）原题等价于对，都有恒成立，等价于对，都有恒成立，令，则，令，可得，若，则；若，则，在上单调递增，在上单调递减，又，所以，即的取值范围是【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值，求解不等式恒成立问题，考查运算求解能力，逻辑推理能力，化归转化思想，是中档题.
11、本题第二问解题的关键在于将问题转化为对，都有恒成立，进而构造函数求解函数最值即可.9（2021河南高三模拟预测（文）已知函数（1）求的单调区间；（2）若对于任意的恒成立，求实数的最小值.【答案】（1）增区间为，减区间为；（2）1.【分析】（1）由解析式确定函数定义域，利用导数研究的单调区间即可.（2）由题设知在上恒成立，即恒成立，构造，利用导数研究单调性，进而确定最大值，即可求m的范围.【详解】（1）由，得，当时，单调递增，当时，单调递减，的增区间为，减区间为；（2）对于任意的，恒成立，恒成立，即恒成立.令，则，令，则在上单调递增，存在，使得，当时，单调递增；当时，单调递减，由，可得，又恒成立
12、，故m的最小值为1.【点睛】关键点点睛：第二问，应用参变分离法，将原不等式转化为在上恒成立，令只需即可，结合导数求最值.10（2021北京海淀清华附中高三模拟预测）已知函数，其中(1)若曲线在处的切线与直线平行，求的值(2)若函数在定义域內单调递减，求的取值范围(3)若不等式对恒成立，求的取值范围【答案】(1)2；(2)；(3).【分析】(1)对函数求导，由导数的几何意义即可得解；(2)由函数在定义域内单调递减，可得导函数在该定义域上恒小于等于0，进而求解即得；(3)对给定不等式等价变形，分离参数，再构造函数，利用函数最值求解而得.【详解】(1)函数定义域为，依题意：，解得；(2)由(1)知，令，则，时，时，即在上递减，在上递增，时，即，所以a的取值范围是；(3)，令，则，令，则令，则，即在(0，1上递减，而，存在有，时，即，时，即，于是在上递增，在上递减，而，则时，时，则在(0，1上递增，即，所以a的取值范围是【点睛】思路点睛：利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.
