《2022学年高二数学上学期期末高频考点专题02 圆与方程（知识串讲解析版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022学年高二数学上学期期末高频考点专题02 圆与方程（知识串讲解析版）（26页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2022学年高二数学上学期期末高频考点专题02 圆与方程【知识梳理】知识点一圆的标准方程1.圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径2.圆的要素：确定圆的要素是圆心和半径，如图所示3.圆的标准方程：圆心为A(a，b)，半径长为r的圆的标准方程是(xa)2(yb)2r2.当ab0时，方程为x2y2r2，表示以原点为圆心、半径为r的圆知识点二点与圆的位置关系1.圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2，圆心A(a，b)，半径为r.设所给点为M(x0，y0)，则位置关系判断方法几何法代数法点在圆上MAr点M在圆A上点M(x0，y0)在圆上(x0a)2(y0b
2、)2r2点在圆内MAr点M在圆A外点M(x0，y0)在圆外(x0a)2(y0b)2r2知识点三圆的一般方程1.圆的一般方程的概念：当D2E24F0时，二元二次方程x2y2DxEyF0叫做圆的一般方程2.圆的一般方程对应的圆心和半径：圆的一般方程x2y2DxEyF0(D2E24F0)表示的圆的圆心为(，)，半径长为 .知识点四隐形圆1.利用圆的定义（到定点的距离等于定长的点的轨迹）确定隐形圆 2.两定点 A、B，动点 P 满足 (l 0, l 1) 确定隐形圆（阿波罗尼斯圆） 3.两定点 A、B，动点 P 满足 确定隐形圆 4.两定点 A、B，动点 P 满足 PA2 + PB2 是定值确定隐形圆
3、 知识点五直线与圆的位置关系1直线与圆有三种位置关系位置关系交点个数相交有两个公共点相切只有一个公共点相离没有公共点 2直线AxByC0与圆(xa)2(yb)2r2的位置关系的判断位置关系相交相切相离公共点个数两个一个零个判定方法几何法：设圆心到直线的距离ddrdrdr代数法：由消元得到一元二次方程的判别式0003.切线方程的求法(1)求过圆上一点P(x0,y0)的圆的切线方程:先求切点与圆心连线的斜率k,则由垂直关系,切线斜率为1k,由点斜式方程可求得切线方程.若k=0或斜率不存在,则由图形可直接得切线方程为y=b或x=a.(2).求过圆外一点P(x0,y0)的圆的切线时,常用几何方法求解设
4、切线方程为y-y0=k(x-x0),即kx-y-kx0+y0=0,由圆心到直线的距离等于半径,可求得k,进而切线方程即可求出.但要注意,此时的切线有两条,若求出的k值只有一个时,则另一条切线的斜率一定不存在,可通过数形结合求出.(3) 当点在圆上时，过点的圆的切线方程为.4.求直线与圆相交时弦长的两种方法(1)几何法:如图,直线l与圆C交于A,B两点,设弦心距为d,圆的半径为r,弦长为|AB|,则有(AB22)2+d2=r2,即|AB|=2r2d2.图(2)代数法:如图所示,将直线方程与圆的方程联立,设直线与圆的两交点分别是A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=|x1-x2|=|y1
5、-y2|(直线l的斜率k存在).知识点六 圆与圆的位置关系1圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系有五种，分别为相离、外切、相交、内切、内含2圆与圆位置关系的判定(1)几何法：若两圆的半径分别为r1、r2，两圆连心线的长为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：位置关系外离外切相交内切内含图示d与r1、r2的关系dr1r2dr1r2|r1r2|dr1r2d|r1r2|d|r1r2| (2)代数法：设两圆的一般方程为C1：x2y2D1xE1yF10(DE4F10)，C2：x2y2D2xE2yF20(DE4F20)，联立方程得则方程组解的个数与两圆的位置关系如下：方程组解的个数2组1组0组两圆的公共点个数2
6、个1个0个两圆的位置关系相交内切或外切外离或内含3.相交弦及圆系方程问题的解决（1）求两圆的公共弦所在直线的方程的方法:将两圆方程相减即得两圆公共弦所在直线方程,但必须注意只有当两圆方程中二次项系数相同时,才能如此求解,否则应先调整系数.（2）求两圆公共弦长的方法:一是联立两圆方程求出交点坐标,再用距离公式求解;二是先求出两圆公共弦所在的直线方程,再利用半径长、弦心距和弦长的一半构成的直角三角形求解.（3）已知圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0与圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0相交,则过两圆交点的圆的方程可设为x2+y2+D1x+E1y+F1+(x2+y2+D2x+E2y
7、+F2)=0(-1).【典型例题】考点一：圆的方程1. 已知点P(2,1)在圆C:x2+y2+ax2y+b=0上，点P关于直线x+y1=0的对称点也在圆C上，则圆C的圆心坐标为，半径为【答案】(0,1)解：由题意圆心C(a2,1)在直线x+y1=0上，从而有a2+11=0，a=0，圆C的圆心坐标为(0,1)，点P(2,1)在圆C：x2+y2+ax2y+b=0上，b=3，圆C：x2+y2+ax2y+b=0r=2故答案为(0,1)，22. 点M，N是圆x2+y2+kx+2y4=0上的不同两点，且点M，N关于直线xy+1=0对称，则该圆的半径等于( )A. 22B. 2C. 3D. 1【答案】C解：
8、x2+y2+kx+2y4=0的圆心坐标(k2,1)，因为点M，N在圆x2+y2+kx+2y4=0上，且点M，N关于直线l：xy+1=0对称，所以直线l：xy+1=0经过圆心，所以k2+1+1=0，解得k=4，所以圆的方程为：x2+y2+4x+2y4=0，即x+22+y+12=9，所以圆的半径为3故选C3. （多选）已知方程，则下列说法正确的是()A. 当a=10时，表示圆心为(2,4)的圆B. 当a10时，表示圆心为(2,4)的圆C. 当a=0时，表示的圆的半径为25D. 当a=3时，表示的圆与y轴相切【答案】BC解：圆M的一般方程为x2+y24x+8y+2a=0，化为标准方程为(x2)2+(
9、y+4)2=202a当a=10时，表示点(2,4)，所以A不正确；当a0，表示圆心为(2,4)的圆，所以B正确；当a=0时，202a=200，表示圆的半径为25，所以C正确；当a=3时，202a=140，表示圆的圆心为(2,4)，半径为14，表示的圆与y轴不相切，所以D不正确故选BC4. 如果圆的方程为x2+y2+kx+2y+k2=0，则当圆面积最大时，圆心为【答案】(0,1)【解答】解：将方程x2+y2+kx+2y+k2=0配方得(x+k2)2+(y+1)2=34k2+1r2=134k20，且rmax=1，此时k=0圆心为(0,1)故答案为(0,1)5. 已知方程x2+y22(t+3)x+2
10、(14t2)y+16t4+9=0(tR)表示的图形是圆(1)求t的取值范围，并求其中面积最大的圆的方程；(2)若点P(3,4t2)恒在所给圆内，求t的取值范围【答案】解：(1)将已知方程化为：(xt3)2+(y+14t2)2=(t+3)2+(14t2)216t49，r2=7t2+6t+10，即7t26t10，解得17t1，所以t的取值范围是(17,1)r=7t2+6t+1=7(t37)2+167，当t=37(17,1)时，rmax=477，此时圆的面积最大，对应的圆的方程是(x247)2+(y+1349)2=167(2)圆心的坐标为(t+3,4t21)，半径r2=7t2+6t+1，点P(3,4
11、t2)恒在所给圆内，(t+33)2+(4t214t2)27t2+6t+1，8t26t0，即0t34，所以t的取值范围0,34考点2：直线与圆的位置6. 已知点P(2,2)和圆C:x2+y2+4x+2y+k=0，过P作C的切线有两条，则k的取值范围是( )A. 0k20C. k5D. 20k0，k20，又方程配方为(x+2)2+(y+1)2=5k，所以5k0，k5，所以k的范围是(20,5)，故答案为20k5故选D7. 在平面直角坐标系xOy中，已知圆C:x2+y2(62m)x4my+5m26m=0，直线l经过点1,0.若对任意的实数m，直线l被圆C截得的弦长为定值，则直线l的方程为( )A.
12、xy1=0B. x+y1=0C. 2x+y2=0D. 这样的直线不存在【答案】C【解答】解：圆C:x2+y2(62m)x4my+5m26m=0，即x(3m)2+(y2m)2=9，表示以C(3m,2m)为圆心，半径等于3的圆直线l经过点(1,0)，对任意的实数m，定直线l被圆C截得的弦长为定值，则圆心C到直线l的距离为定值，当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=1，圆心C到直线l的距离为|3m1|=|m2|，不是定值，当直线l的斜率存在时，设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y0=k(x1)，即kxyk=0，此时圆心C到直线l的距离d=|k(3m)2mk|k2+1=|2km(2+k)|k2+
13、1为定值，与m无关，故k=2，故直线l的方程为y0=2(x1)，即2x+y2=0，故选C8. （多选）以下四个命题表述正确的是()A. 直线3+mx+4y3+3m=0mR恒过定点3,3B. 圆x2+y2=4上有且仅有3个点到直线l:xy+2=0的距离都等于1C. 圆C1:x2+y2+2x=0与圆C2:x2+y24x8y+m=0恰有三条公切线，则m=4D. 已知圆C:x2+y2=4，点P为直线x4+y2=1上一动点，过点P向圆C引两条切线PA、PB，A、B为切点，则直线AB经过定点(1,2)【答案】BCD解：A.直线(3+m)x+4y3+3m=0(mR)，得m(x+3)+3x+4y3=0，由x+3=03x+4y3=0，得x=3y=3,即直线恒过定点3,3，故A错误；B. 圆心C(0,0)到直线l:xy+2=0的距离为d=|00+2|12+12=1，圆的半径r=2，故圆C上有3个点到直线l的距离为1，故B正确；C. 曲线C1:x2+y2+2x=0，即x+12+y2=1，曲线C2:x2+y24x8y+m=0，即x22+y42=20m，两圆心的距离为(
