《2022学年高二数学上学期期末高频考点专题03 椭圆（知识串讲解析版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022学年高二数学上学期期末高频考点专题03 椭圆（知识串讲解析版）（29页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2022学年高二数学上学期期末高频考点专题03 椭圆【知识梳理】一、椭圆的几何性质1椭圆的定义平面内到两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆两定点F1，F2叫做椭圆的焦点集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a0，c0，且a，c为常数(1)当2a|F1F2|时，M点的轨迹是椭圆；(2)当2a|F1F2|时，M点的轨迹是线段F1F2；(3)当2a|F1F2|时，M点不存在2椭圆的标准方程和几何性质标准方程 (ab0) (ab0)图形性质范围 xa，a，yb，bxb，b，ya，a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(a,0)，A2(a,0)
2、 B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)B1(b,0)，B2(b,0)离心率e，且e(0,1)a，b，c的关系c2a2b2离心率表示椭圆的扁平程度.当e越接近于1时，c越接近于a，从而b越小，因此椭圆越扁；当e越接近于0时，c越接近于0，从而b越大，因此椭圆越接近圆；当e0时，c0，ab，两焦点重合，图形就是圆.熟记常用结论1焦半径：椭圆上的点P(x0，y0)与左(下)焦点F1与右(上)焦点F2之间的线段的长度叫做椭圆的焦半径，分别记作r1|PF1|，r2|PF2|.(1) (ab0)，r1aex0，r2aex0；(2) (ab0)，r1aey0，r2aey0；(3)焦半
3、径中以长轴为端点的焦半径最大和最小(近日点与远日点)2焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的PF1F2叫做焦点三角形，F1PF2，PF1F2的面积为S，则在椭圆(ab0)中(1)当P为短轴端点时，最大(2)S|PF1|PF2|sin b2tan c|y0|，当|y0|b时，即点P为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc.(3)焦点三角形的周长为2(ac)3焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长lmin.4AB为椭圆 (ab0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)，则(1)弦长l|x1x2| |y1y2|；(2)直线AB的斜率
4、kAB.二、直线与椭圆的位置关系1点与椭圆的位置关系点P(x0，y0)与椭圆 (ab0)的位置关系：点P在椭圆上；点P在椭圆内部；点P在椭圆外部.2直线与椭圆的位置关系直线ykxm与椭圆 (ab0)的位置关系：联立消去y得一个关于x的一元二次方程位置关系解的个数的取值相交两解0相切一解0相离无解|BC|，所以点A的轨迹是以B，C为焦点，2a=12的椭圆，则a=6，b=a2c2=3616=25，故顶点A的轨迹方程是x220+y236=1(x0)故答案为x220+y236=1(x0)例4、椭圆x225+y29=1和椭圆x29k+y225k=1(0k9)有()A. 等长的长轴B. 相等的焦距C. 相
5、等的离心率D. 等长的短轴【答案】B解：椭圆x225+y29=1的长轴长为2a=10，焦距2c=8，离心率e=45，短轴长2b=6，椭圆x29k+y225k=1(0k9)的长轴长2a=225k，焦距2c=8，离心率e=425k，短轴长2b=29k，两椭圆有相等的焦距故选：B训练1、我们把由半椭圆x2a2+y2b2=1(x0)与半椭圆y2b2+x2c2=1(xbc0)，如图所示，其中点F0，F1，F2是相应椭圆的焦点若F0F1F2是边长为1的等边三角形，则a，b的值分别为 ( )A. 72，1B. 3，1C. 5，3D. 5，4【答案】A解：OF2=b2c2=12，OF0=c=3OF2=32，b
6、=1，a2=b2+c2=1+34=74，得a=72，故答案选：A考点二：离心率例1、以椭圆的两个焦点为直径的端点的圆与椭圆交于四个不同的点，顺次连接这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率为()A. 22B. 32C. 32D. 31【答案】D解：如图，设椭圆的方程为x2a2+y2b2=1(ab0)，焦距为2c，椭圆与圆的四个交点为A，B，C，D，由题意知F1AF2=90，AF2F1=60所以|AF2|=c，|AF1|=2csin60=3c.所以|AF1|+|AF2|=2a=(3+1)c所以e=ca=23+1=31故选D训练1、过点M(1,1)作斜率为12的直线与椭圆C：x
7、2a2+y2b2=1(ab0) 相交于A,B，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率为【答案】22解：设Ax1,y1，Bx2,y2，则x12a2+y12b2=1，x22a2+y22b2=1，M是线段AB的中点，x1+x22=1,y1+y22=1，过点M(1,1)作斜率为12的直线与椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)相交于A，B两点，M是线段AB的中点，两式相减可得x12x22a2+y12y22b2=0，即2a2+(12)2b2=0,a=2b,c=b，e=ca=22故答案为22例2、如图，F1、F2分别为椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点，P为椭圆C上的点，Q是线段PF1
8、上靠近F1的三等分点，PQF2为正三角形，则椭圆C的离心率为( )A. 22B. 34C. 23D. 75【答案】D解：由椭圆的定义知，|PF1|+|PF2|=2a，则32|PQ|+|PF2|=2a，因为PQF2为正三角形，所以|PF2|=4a5，|PF1|=6a5在PF1F2中，由余弦定理得4c2=1625a2+3625a224a56a5cos60=2825a2，则e2=725，e=75故答案选：D例3、已知A、B是椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)长轴的两个端点，P、Q是椭圆上关于x轴对称的两点，直线AP、BQ的斜率分别为k1、k2，若1|k1|+1|k2|的最小值为4，则椭圆的离心
9、率为( )A. 12B. 33C. 63D. 32【答案】D解：如图所示：设P(x0,y0)，则x02a2+y02b2=1，则Q(x0,y0),A(a,0),B(a,0)，所以k1k2=y0x0+ay0x0a=y02x02a2=b2a2，所以1|k1|+1|k2|21|k1|k2|=2ab，当且仅当k1=k2时取等号，又因为1|k1|+1|k2|的最小值为4，2ab=4，设a=2，则b=1，c=3，椭圆的离心率e=ca=32故选D例4、已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左右焦点分别为F1(c,0)，F2(c,0)且bc，若在椭圆上存在点P，使得过点P可作以F1F2为直径的圆的两条互相垂
10、直的切线，则椭圆离心率的范围为【答案】33,22)解：根据题目所给的条件可知，以F1F2为直径的圆存在两条相互垂直的切线；因为两条切线均垂直于过切点的半径，且切线互相垂直，则切线的交点Px0,y0仍然构成以坐标原点为圆心，以2c为半径的一个圆，设该圆的方程为x02+y02=2c2，由题意得x02+y022c2有解，即x02+y02min2c2，因为x02+y02=x02+b2b2a2x02=c2a2x02+b2，所以x02+y02min=b22c2即a2c22c2，所以e213又a2c2c2，e212，故椭圆离心率e的取值范围是33e22故答案为33,22)考点三：新定义例1、万众瞩目的北京冬
11、奥会将于2022年2月4日正式开幕，继2008年北京奥运会之后，国家体育场(又名鸟巢)将再次承办奥运会开幕式在手工课上，王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同，扁平程度相同的椭圆，已知大椭圆的长轴长为40cm，短轴长为20cm，小椭圆的短轴长为10cm，则小椭圆的长轴长为()cmA. 30B. 20C. 10D. 103【答案】B解：大小椭圆的扁平程度相同，即大小椭圆的离心率相等因为大椭圆的长轴长为40cm，短轴长为20cm，所以2a1=40,2b1=20，所以a1=20,b1=10，所以c12=400100=300，所以c1=103，所以离心率e=10320=32因为小椭圆的短轴长为10cm，即2b=10，所以b=5，因为e=32，所以e2=34=c2a2=a2b2a2=a225a2，所以4a225=3a2，解得a2=100，所以a=10，所以2a=20，所以小椭圆的长轴长为20cm故选B训练1、如图，椭圆I与II有公共的左顶点与左焦点，且椭
