《2022学年高二数学上学期期末高频考点专题03 椭圆(知识串讲解析版)》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2022学年高二数学上学期期末高频考点专题03 椭圆(知识串讲解析版)(29页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、2022学年高二数学上学期期末高频考点专题03 椭圆【知识梳理】一、椭圆的几何性质1椭圆的定义平面内到两定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆两定点F1,F2叫做椭圆的焦点集合PM|MF1|MF2|2a,|F1F2|2c,其中a0,c0,且a,c为常数(1)当2a|F1F2|时,M点的轨迹是椭圆;(2)当2a|F1F2|时,M点的轨迹是线段F1F2;(3)当2a|F1F2|时,M点不存在2椭圆的标准方程和几何性质标准方程 (ab0) (ab0)图形性质范围 xa,a,yb,bxb,b,ya,a对称性对称轴:坐标轴;对称中心:原点顶点A1(a,0),A2(a,0)
2、 B1(0,b),B2(0,b)A1(0,a),A2(0,a)B1(b,0),B2(b,0)离心率e,且e(0,1)a,b,c的关系c2a2b2离心率表示椭圆的扁平程度.当e越接近于1时,c越接近于a,从而b越小,因此椭圆越扁;当e越接近于0时,c越接近于0,从而b越大,因此椭圆越接近圆;当e0时,c0,ab,两焦点重合,图形就是圆.熟记常用结论1焦半径:椭圆上的点P(x0,y0)与左(下)焦点F1与右(上)焦点F2之间的线段的长度叫做椭圆的焦半径,分别记作r1|PF1|,r2|PF2|.(1) (ab0),r1aex0,r2aex0;(2) (ab0),r1aey0,r2aey0;(3)焦半
3、径中以长轴为端点的焦半径最大和最小(近日点与远日点)2焦点三角形:椭圆上的点P(x0,y0)与两焦点构成的PF1F2叫做焦点三角形,F1PF2,PF1F2的面积为S,则在椭圆(ab0)中(1)当P为短轴端点时,最大(2)S|PF1|PF2|sin b2tan c|y0|,当|y0|b时,即点P为短轴端点时,S取最大值,最大值为bc.(3)焦点三角形的周长为2(ac)3焦点弦(过焦点的弦):焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)最短,弦长lmin.4AB为椭圆 (ab0)的弦,A(x1,y1),B(x2,y2),弦中点M(x0,y0),则(1)弦长l|x1x2| |y1y2|;(2)直线AB的斜率
4、kAB.二、直线与椭圆的位置关系1点与椭圆的位置关系点P(x0,y0)与椭圆 (ab0)的位置关系:点P在椭圆上;点P在椭圆内部;点P在椭圆外部.2直线与椭圆的位置关系直线ykxm与椭圆 (ab0)的位置关系:联立消去y得一个关于x的一元二次方程位置关系解的个数的取值相交两解0相切一解0相离无解|BC|,所以点A的轨迹是以B,C为焦点,2a=12的椭圆,则a=6,b=a2c2=3616=25,故顶点A的轨迹方程是x220+y236=1(x0)故答案为x220+y236=1(x0)例4、椭圆x225+y29=1和椭圆x29k+y225k=1(0k9)有()A. 等长的长轴B. 相等的焦距C. 相
5、等的离心率D. 等长的短轴【答案】B解:椭圆x225+y29=1的长轴长为2a=10,焦距2c=8,离心率e=45,短轴长2b=6,椭圆x29k+y225k=1(0k9)的长轴长2a=225k,焦距2c=8,离心率e=425k,短轴长2b=29k,两椭圆有相等的焦距故选:B训练1、我们把由半椭圆x2a2+y2b2=1(x0)与半椭圆y2b2+x2c2=1(xbc0),如图所示,其中点F0,F1,F2是相应椭圆的焦点若F0F1F2是边长为1的等边三角形,则a,b的值分别为 ( )A. 72,1B. 3,1C. 5,3D. 5,4【答案】A解:OF2=b2c2=12,OF0=c=3OF2=32,b
6、=1,a2=b2+c2=1+34=74,得a=72,故答案选:A考点二:离心率例1、以椭圆的两个焦点为直径的端点的圆与椭圆交于四个不同的点,顺次连接这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形,那么这个椭圆的离心率为()A. 22B. 32C. 32D. 31【答案】D解:如图,设椭圆的方程为x2a2+y2b2=1(ab0),焦距为2c,椭圆与圆的四个交点为A,B,C,D,由题意知F1AF2=90,AF2F1=60所以|AF2|=c,|AF1|=2csin60=3c.所以|AF1|+|AF2|=2a=(3+1)c所以e=ca=23+1=31故选D训练1、过点M(1,1)作斜率为12的直线与椭圆C:x
7、2a2+y2b2=1(ab0) 相交于A,B,若M是线段AB的中点,则椭圆C的离心率为【答案】22解:设Ax1,y1,Bx2,y2,则x12a2+y12b2=1,x22a2+y22b2=1,M是线段AB的中点,x1+x22=1,y1+y22=1,过点M(1,1)作斜率为12的直线与椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)相交于A,B两点,M是线段AB的中点,两式相减可得x12x22a2+y12y22b2=0,即2a2+(12)2b2=0,a=2b,c=b,e=ca=22故答案为22例2、如图,F1、F2分别为椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点,P为椭圆C上的点,Q是线段PF1
8、上靠近F1的三等分点,PQF2为正三角形,则椭圆C的离心率为( )A. 22B. 34C. 23D. 75【答案】D解:由椭圆的定义知,|PF1|+|PF2|=2a,则32|PQ|+|PF2|=2a,因为PQF2为正三角形,所以|PF2|=4a5,|PF1|=6a5在PF1F2中,由余弦定理得4c2=1625a2+3625a224a56a5cos60=2825a2,则e2=725,e=75故答案选:D例3、已知A、B是椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)长轴的两个端点,P、Q是椭圆上关于x轴对称的两点,直线AP、BQ的斜率分别为k1、k2,若1|k1|+1|k2|的最小值为4,则椭圆的离心
9、率为( )A. 12B. 33C. 63D. 32【答案】D解:如图所示:设P(x0,y0),则x02a2+y02b2=1,则Q(x0,y0),A(a,0),B(a,0),所以k1k2=y0x0+ay0x0a=y02x02a2=b2a2,所以1|k1|+1|k2|21|k1|k2|=2ab,当且仅当k1=k2时取等号,又因为1|k1|+1|k2|的最小值为4,2ab=4,设a=2,则b=1,c=3,椭圆的离心率e=ca=32故选D例4、已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左右焦点分别为F1(c,0),F2(c,0)且bc,若在椭圆上存在点P,使得过点P可作以F1F2为直径的圆的两条互相垂
10、直的切线,则椭圆离心率的范围为【答案】33,22)解:根据题目所给的条件可知,以F1F2为直径的圆存在两条相互垂直的切线;因为两条切线均垂直于过切点的半径,且切线互相垂直,则切线的交点Px0,y0仍然构成以坐标原点为圆心,以2c为半径的一个圆,设该圆的方程为x02+y02=2c2,由题意得x02+y022c2有解,即x02+y02min2c2,因为x02+y02=x02+b2b2a2x02=c2a2x02+b2,所以x02+y02min=b22c2即a2c22c2,所以e213又a2c2c2,e212,故椭圆离心率e的取值范围是33e22故答案为33,22)考点三:新定义例1、万众瞩目的北京冬
11、奥会将于2022年2月4日正式开幕,继2008年北京奥运会之后,国家体育场(又名鸟巢)将再次承办奥运会开幕式在手工课上,王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型,其俯视图可近似看成是两个大小不同,扁平程度相同的椭圆,已知大椭圆的长轴长为40cm,短轴长为20cm,小椭圆的短轴长为10cm,则小椭圆的长轴长为()cmA. 30B. 20C. 10D. 103【答案】B解:大小椭圆的扁平程度相同,即大小椭圆的离心率相等因为大椭圆的长轴长为40cm,短轴长为20cm,所以2a1=40,2b1=20,所以a1=20,b1=10,所以c12=400100=300,所以c1=103,所以离心率e=10320=32因为小椭圆的短轴长为10cm,即2b=10,所以b=5,因为e=32,所以e2=34=c2a2=a2b2a2=a225a2,所以4a225=3a2,解得a2=100,所以a=10,所以2a=20,所以小椭圆的长轴长为20cm故选B训练1、如图,椭圆I与II有公共的左顶点与左焦点,且椭