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1、第3课时圆的方程第1页，共52页。1圆的定义圆的定义(1)在平面内，到在平面内，到定点定点的距离等于的距离等于 的点的的点的集合叫做圆集合叫做圆(2)确定一个圆的要素是确定一个圆的要素是 和和 基础知识梳理基础知识梳理定长定长半径半径圆心圆心第2页，共52页。2圆的方程圆的方程基础知识梳理基础知识梳理圆圆的的标标准方程准方程圆圆的一般方程的一般方程方程方程圆圆心坐心坐标标(a，b)半径半径r(xa)2(yb)2r2(r0)x2y2DxEyF0第3页，共52页。方程方程x2y2DxEyF0表示圆的表示圆的充要条件是什么？充要条件是什么？【思考思考提示提示】充要条件是充要条件是D2E24F0.基础
2、知识梳理基础知识梳理思考？第4页，共52页。1方程方程a2x2(a2)y22axa0表示圆，则表示圆，则()Aa1Ba2Ca1或或2 Da1答案答案：A三基能力强化三基能力强化第5页，共52页。2(2009年高考重庆卷改编年高考重庆卷改编)圆心在圆心在x轴上，半径为轴上，半径为1，且过点，且过点(2,1)的圆的方程的圆的方程是是()Ay2(x2)21 Bx2(y2)21C(x1)2(y3)21 Dx2(y3)21答案答案：A三基能力强化三基能力强化第6页，共52页。Ax2y22x4y0Bx2y22x4y0Cx2y22x4y0 Dx2y22x4y0答案答案：C三基能力强化三基能力强化第7页，共5
3、2页。4(教材习题改编教材习题改编)以直线以直线3x4y120夹在两坐标轴间的线段为直径的夹在两坐标轴间的线段为直径的圆的方程是圆的方程是_答案答案：x2y24x3y0三基能力强化三基能力强化第8页，共52页。5若圆若圆x2y2(a21)x2aya0关于直线关于直线xy10对称，则实数对称，则实数a_.答案答案：3三基能力强化三基能力强化第9页，共52页。在解决求圆的方程这类问题时，应当在解决求圆的方程这类问题时，应当注意以下几点：注意以下几点：(1)确定圆的方程首先明确是标准方程还确定圆的方程首先明确是标准方程还是一般方程是一般方程(2)根据几何关系根据几何关系(如题中的相切、弦长如题中的相
4、切、弦长等等)建立方程求得建立方程求得a、b、r或或D、E、F.(3)待定系数法的应用，解答中要尽量减待定系数法的应用，解答中要尽量减少未知量的个数少未知量的个数课堂互动讲练课堂互动讲练考点一考点一求圆的方程求圆的方程第10页，共52页。课堂互动讲练课堂互动讲练例例例例1 1根据下列条件求圆的方程根据下列条件求圆的方程(1)经过坐标原点和点经过坐标原点和点P(1,1)，并且圆心在直线，并且圆心在直线2x3y10上；上；(2)已知一圆过已知一圆过P(4，2)、Q(1,3)两点，两点，第11页，共52页。【思路点拨思路点拨】设出圆的标准方程设出圆的标准方程或一般方程，利用待定系数法求解，关或一般方
5、程，利用待定系数法求解，关键是用好所给三个独立条件键是用好所给三个独立条件课堂互动讲练课堂互动讲练第12页，共52页。课堂互动讲练课堂互动讲练第13页，共52页。课堂互动讲练课堂互动讲练第14页，共52页。所以所以(y1y2)2(y1y2)24y1y2E24F48,解解、组成的方程组，得组成的方程组，得D2，E0，F12或或D10，E8，F4，故所求圆的方程为故所求圆的方程为x2y22x120或或x2y210 x8y40.课堂互动讲练课堂互动讲练第15页，共52页。【名师点评名师点评】一般地，已知圆心或一般地，已知圆心或半径的条件，选用圆的标准式方程，否则选半径的条件，选用圆的标准式方程，否则
6、选用一般式方程另外，还有几何法可以用来用一般式方程另外，还有几何法可以用来求圆的方程要充分利用圆的有关几何性质，求圆的方程要充分利用圆的有关几何性质，如如“圆心在圆的任一条弦的垂直平分线上圆心在圆的任一条弦的垂直平分线上”“半径、弦心距、弦长的一半构成勾股半径、弦心距、弦长的一半构成勾股关系关系”等等课堂互动讲练课堂互动讲练第16页，共52页。求轨迹方程的大致步骤：求轨迹方程的大致步骤：(1)建立平面直角坐标系，设出动点坐建立平面直角坐标系，设出动点坐标；标；(2)确定动点满足的几何等式，并用确定动点满足的几何等式，并用坐标表示；坐标表示；(3)化简得方程，一般情况下，化简前化简得方程，一般情
7、况下，化简前后方程的解集是相同的，如有特殊情况，后方程的解集是相同的，如有特殊情况，可适当予以说明，即删去增加的解或补上可适当予以说明，即删去增加的解或补上失去的解失去的解课堂互动讲练课堂互动讲练考点二考点二与圆有关的轨迹问题与圆有关的轨迹问题第17页，共52页。课堂互动讲练课堂互动讲练例例例例2 2设定点设定点M(3,4)，动点，动点N在圆在圆x2y24上运动，以上运动，以OM、ON为两边作平行四边为两边作平行四边形形MONP，求点，求点P的轨迹的轨迹【思路点拨思路点拨】先设出先设出P点、点、N点坐点坐标，根据平行四边形对角线互相平分，标，根据平行四边形对角线互相平分，用用P点坐标表示点坐标
8、表示N点坐标，代入圆的方程可点坐标，代入圆的方程可求求第18页，共52页。课堂互动讲练课堂互动讲练第19页，共52页。课堂互动讲练课堂互动讲练第20页，共52页。【规律小结规律小结】解决轨迹问题，应注意以解决轨迹问题，应注意以下几点：下几点：(1)求方程前必须建立平面直角坐标系求方程前必须建立平面直角坐标系(若题若题目中有点的坐标，就无需建系目中有点的坐标，就无需建系)，否则曲线就不可，否则曲线就不可转化为方程转化为方程(2)一般地，设点时，将动点坐标设为一般地，设点时，将动点坐标设为(x，y)，其他与此相关的点设为，其他与此相关的点设为(x0，y0)等等(3)求轨迹与求轨迹方程是不同的，求轨
9、迹求轨迹与求轨迹方程是不同的，求轨迹方程得出方程即可，而求轨迹在得出方程后还方程得出方程即可，而求轨迹在得出方程后还要指出方程的曲线是什么图形要指出方程的曲线是什么图形课堂互动讲练课堂互动讲练第21页，共52页。求与圆有关的最值问题多采用几何法，就求与圆有关的最值问题多采用几何法，就是利用一些代数式的几何意义进行转是利用一些代数式的几何意义进行转课堂互动讲练课堂互动讲练考点三考点三与圆有关的最值问题与圆有关的最值问题第22页，共52页。为动直线斜率的最值问题；为动直线斜率的最值问题；(2)形如形如taxby的最值问题，可转化为直线在的最值问题，可转化为直线在y轴上轴上的截距的最值问题；的截距的
10、最值问题；(3)形如形如m(xa)2(yb)2的最值问题，可转化为两点间的的最值问题，可转化为两点间的距离平方的最值问题距离平方的最值问题课堂互动讲练课堂互动讲练第23页，共52页。课堂互动讲练课堂互动讲练例例例例3 3已知实数已知实数x、y满足方程满足方程x2y24x10.(2)求求yx的最大值和最小值；的最大值和最小值；(3)求求x2y2的最大值和最小值的最大值和最小值第24页，共52页。【思路点拨思路点拨】课堂互动讲练课堂互动讲练第25页，共52页。课堂互动讲练课堂互动讲练第26页，共52页。课堂互动讲练课堂互动讲练第27页，共52页。课堂互动讲练课堂互动讲练第28页，共52页。(3)x
11、2y2表示圆上的一点与原点距离表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值小值课堂互动讲练课堂互动讲练第29页，共52页。课堂互动讲练课堂互动讲练第30页，共52页。课堂互动讲练课堂互动讲练互动探究互动探究第31页，共52页。课堂互动讲练课堂互动讲练第32页，共52页。课堂互动讲练课堂互动讲练第33页，共52页。(2)x2y可看作是直线可看作是直线x2yb在在x轴上的截距，当直线与圆相切时，轴上的截距，当直线与圆相切时，b取得取得最大值或最小值最大值或最小值课堂互动讲
12、练课堂互动讲练第34页，共52页。在解决有关的实际问题时，关键要在解决有关的实际问题时，关键要明确题意，掌握建立数学基本模型的方明确题意，掌握建立数学基本模型的方法，将实际问题转化为数学问题解决法，将实际问题转化为数学问题解决课堂互动讲练课堂互动讲练考点四考点四与圆有关的实际应用与圆有关的实际应用第35页，共52页。课堂互动讲练课堂互动讲练例例例例4 4(解题示范解题示范)(本题满分本题满分12分分)有一种大型商品，有一种大型商品，A、B两地都有出两地都有出售，且价格相同，某地居民从两地之一售，且价格相同，某地居民从两地之一购得商品后运回的费用是：购得商品后运回的费用是：A地每公里地每公里的运
13、费是的运费是B地每公里运费的地每公里运费的3倍已知倍已知A、B两地距离为两地距离为10公里，顾客选择公里，顾客选择A地或地或B地购买这件商品的标准是：包括运费和价格地购买这件商品的标准是：包括运费和价格的总费用较的总费用较第36页，共52页。课堂互动讲练课堂互动讲练低求低求P地居民选择地居民选择A地或地或B地购物总地购物总费用相等时，点费用相等时，点P所在曲线的形状，并所在曲线的形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购物地点？如何选择购物地点？【思路点拨思路点拨】根据条件，建立适当根据条件，建立适当坐标系，求出点坐标系，求出点P的轨迹方程，进而解决
14、的轨迹方程，进而解决相关问题相关问题第37页，共52页。课堂互动讲练课堂互动讲练【解解】如图，以如图，以A、B所在的直线为所在的直线为x轴，线段轴，线段AB的中点为原点建立直角坐的中点为原点建立直角坐标系，标系，第38页，共52页。|AB|10，A(5,0)，B(5,0).2分分设设P(x，y)，P到到A、B两地购物的运费两地购物的运费分别是分别是3a、a(元元/公里公里)当由当由P地到地到A、B两地购物总费用相两地购物总费用相等时，等时，课堂互动讲练课堂互动讲练第39页，共52页。课堂互动讲练课堂互动讲练第40页，共52页。课堂互动讲练课堂互动讲练第41页，共52页。【名师点评名师点评】在解
15、决实际问题时，在解决实际问题时，关键要明确题意，掌握建立数学基本模型关键要明确题意，掌握建立数学基本模型的方法将实际问题转化为数学问题解决的方法将实际问题转化为数学问题解决课堂互动讲练课堂互动讲练第42页，共52页。(本题满分本题满分12分分)设有一个半径为设有一个半径为3 km的圆形村落，的圆形村落，A、B两人同时从村落中心两人同时从村落中心出发，出发，A向东而向东而B向北前进，向北前进，A出村后不久，出村后不久，改变前进方向，沿着切于村落边界的方向前改变前进方向，沿着切于村落边界的方向前进，后来恰好与进，后来恰好与B相遇设相遇设A、B两人的速两人的速度都一定，其比为度都一定，其比为3 1，
16、问两人在何处相，问两人在何处相遇？遇？课堂互动讲练课堂互动讲练高考检阅高考检阅第43页，共52页。解解：以村落中心为原点，：以村落中心为原点，A、B开始开始前进方向为前进方向为x轴、轴、y轴建立直角坐标系轴建立直角坐标系设设A、B两人速度分别为两人速度分别为3v km/h，v km/h.设设A出发出发x0小时后，在点小时后，在点P处改变前处改变前进方向，又经进方向，又经y0小时在点小时在点Q处与处与B相遇，则相遇，则P、Q两点的坐标分别是两点的坐标分别是(3vx0,0)，(0，v(x0y0).4分分课堂互动讲练课堂互动讲练第44页，共52页。如图，如图，|OP|2|OQ|2|PQ|2，(3vx0)2v(x0y0)2(3vy0)2.化简得化简得(x0y0)(5x04y0)0.6分分又又x0y00，5x04y0.课堂互动讲练课堂互动讲练第45页，共52页。课堂互动讲练课堂互动讲练第46页，共52页。1确定圆的方程的方法和步骤确定圆的方程的方法和步骤确定圆的方程的主要方法是待定系确定圆的方程的主要方法是待定系数法，即列出关于数法，即列出关于a、b、r的方程组，求的方程组，求a、b、r或直接求
