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1、自自 动动 控控 制制 原原 理理1第七章第七章 线性离散系统的分析与校正线性离散系统的分析与校正2第七章 线性离散系统的分析与校正7-4 离散系统的数学模型 与连续系统类似，要对离散系统进行分析和设计，首先就要对离散系统建立数学模型。描述离散系统的数学模型有差分方程、脉冲传递函数和离散状态空间等几种，我们只介绍前面二种。31.离散系统的数学定义 将输入序列 变换为输出序列 的一种变换关系，称为离散系统。记作线性离散系统；线性定常离散系统；42.线性常系数差分方程及其解法(1)差分：两个系统相邻采样点信息之间的差值，即差分，近似于微商的概念。(2)差分的阶：取差分时，采样点间信号变化率的不同称
2、为差分的阶一阶差分：1）与差分方程有关的几个概念二阶差分：m阶差分：5(3)差分的方向：设当前采样时刻为n，根据当前时刻的差分与相邻的数据间的依赖关系，可把差分分为前向差分和后向差分。前向差分：n时刻各阶差分的获得依赖于n时刻及未来时刻n+1,n+2数据二阶前向差分：一阶前向差分：6后向差分：n时刻各阶差分的获得依赖于n时刻及历史时刻n-1,n-2数据一阶后向差分：二阶后向差分：在自动控制系统中，由于差分的对象是采样控制系统，具有因果关系，即当前时刻的数据与历史时刻的数据联系密切。因此经常采用的是后向差分，前向差分应用较少。我们讨论的也主要是后向差分。72）差分方程与连续系统的微分方程相类似，
3、离散系统的输入-输出的关系可与采样时刻及历史时刻的输入和输出都有关系，其一般的表达式为：即：如果ai和bi均为常系数，上式为常系数线性差分方程。由于mn，上式称为n阶线性常系数差分方程。它在数学上代表一个线性定常离散系统。83）差分方程的求解 差分方程的求解也有经典法，但用起来十分不便。工程上常用的两种方法：迭代法和z变换法。(1)迭代法例:差分方程c(k)=r(k)+5c(k-1)-6c(k-2)，初始条件：r(k)=1,c(0)=0,c(1)=1。试用迭代法求出输出序列c(k),k=0,1,210.根据给定的差分方程与输出序列的初始条件，就可以用递推关系，一步一步求出输出序列。该过程可由计
4、算机来完成。9c(0)=0c(2)=r(2)+5c(1)-6c(0)=1+5-0=6c(3)=r(3)+5c(2)-6c(1)=1+5*6-6*1=25c(4)=r(4)+5c(3)-6c(2)=1+5*25-6*6=90c(1)=1 c(5)=r(5)+5c(4)-6c(3)=1+5*90-6*25=301c(6)=r(6)+5c(5)-6c(4)=1+5*301-6*90=966解：c(7)=r(7)+5c(6)-6c(5)=1+5*966-6*301=3025c(8)=r(8)+5c(7)-6c(6)=1+5*3025-6*966=9330c(9)=r(9)+5c(8)-6c(7)=1+
5、5*9330-6*3025=28501c(10)=r(10)+5c(9)-6c(8)=1+5*28501-6*9330=8652610给定差分方程后，先用z变换的实数位移定理对差分方程取z变换，得到z的代数方程，再对代数方程取z反变换，即得脉冲序列c(k)。例:差分方程c(k+2)+3c(k+1)+2c(k)=0，初始条件：c(0)=0,c(1)=1解：对上式两边取拉氏变换：(2)Z变换法求解11 所以上式变为：或123.脉冲传递函数(1)脉冲传递函数定义：在离散系统中，在初始条件为零的情况下，系统离散输出信号的z变换与离散输入信号的z变换之比，就是脉冲传递函数。13脉冲传递函数方块图如图：G
6、(s)G(s)R(s)R*(s)s1s1C(s)C*(s)R(s)R*(s)G(z)G(z)C(s)s2s214(2)脉冲传递函数的意义对于线性定常离散系统，如果输入为单位序列：则系统输出称为单位脉冲响应序列：当输入脉冲序列沿时间轴后移 k 个采样周期，成为 时，输出单位脉冲响应也相应后移 k 个采样周期，成为 。15线性定常离散系统中，如果输入采样信号为：则系统的输出响应序列为：16若令加权序列的 z z 变换则由z z 变换的卷积定理：脉冲传递函数的含义：系统脉冲传递函数G(z)G(z)，等于系统加权序列 K(nT)K(nT)的 z z 变换。17如果描述线性定常离散系统的差分方程为在零初
7、始条件下，对上式进行 z z 变换,可得18例:c(nT)=r(n-k)T,求G(z)解：两边取 z 变换：C(z)=z-kR(z)所以G(z)=z-k 它代表离散系统中有k个延迟环节，它把输 入序列延迟k个采样周期后输出。3、脉冲函数的求法(1)由定义求；(2)求连续部分的传递函数：G(s)g(t)g*(t)zg*(t)G(z)，G(z)=zG*(s)=G*(s)|s=(1/T)lnz19例:已知求脉冲传递函数解：204、开环脉冲传递函数(1)采样拉氏变换的两个重要性质：a.周期性：b.如果采样函数的拉氏变换 E E*(s)(s)与连续函数的拉氏变换 G(s)G(s)相乘后，再离散化，则 E
8、 E*(s)(s)可以从离散信号中提出来：21证明：令令22证明：由23 (2)有串联环节时的开环系统脉冲传递函数 求串联环节的脉冲传递函数与求连续函数串联环节不完全相同，即使组成离散系统的环节完全相同，但由于采样开关的数目和位置不同，G(z)也会截然不同。如果离散系统由二个串联环节组成，由于其采样开关的位置和数目不同，其G(z)不完全相同。241）串联环节之间有采样开关 G1(s)G2(s)G(z)G1(z)G2(z)r(t)d*(t)r*(t)d(t)C(t)C*(t)D(z)=G1(z)R(z)结论：环节间有采样开关的几个环节串联时，其脉冲传递函数G(z)为各环节脉冲传递函数之积。C(z
9、)=G2(z)D(z)=G1(z)G2(z)R(z)所以 G(z)=C(z)/R(z)=G1(z)G2(z)R(z)D(z)C(z)25由传函定义：G(z)=C(z)/R(z)=zG1(s)G2(s)=G1G2(z)结论：中间没有采样开关的几个环节串联时，其脉冲传递函数为各环节传递函数相乘后积的z变换 G1(z)G2(z)G1G2(z)2)两个串联环节间无采样开关G1(s)G2(s)r(t)r*(t)C(t)C*(t)G(z)R(z)C(z)26例:设 G1(s)=1/s,G2(s)=a/(s+a)求上述两种情况下的G(z)。解：a:b:可见 G1(z)G2(z)G1G2(z),但二者不同之处
10、只表现在零点上，极点却是一样的，这是离散系统的特有现象。27(3)有零阶保持器的开环系统脉冲传递函数(1-e-Ts)/s G(s)r(t)r*(t)C(t)G(z)28例:设离散系统如图所示，已知Gh(s)为零阶保持器，Gp(s)=1/s(s+1)，求系统的脉冲传递函数G(z)。解：Gh(z)Gp(s)r(t)r*(t)c(t)C(z)R(z)29上图没有零阶保持器时，可见有无零阶保持器系统的脉冲传递函数，二者的极点完全相同，只是零点不同。即零阶保持器不影响离散系统脉冲传递函数的极点。这是离散系统的一个特点。30(4)输入端无采样的情况 G1(s)G2(s)d(t)r(t)d*(t)sC(t)G(z)因为输入信号不是独立的，故不能写出系统的脉冲传递函数，只能写出输出信号的z变换形式。315、闭环系统脉冲传递函数 G(s)H(s)r(t)e*(t)e(t)C(t)C*(t)b(t)b*(t)32误差脉冲传递函数：闭环离散系统脉冲传递函数：33例:求下面系统的闭环脉冲传递函数。解:G1(s)G2(s)H(s)r(t)e(t)e*(t)e1(t)C(t)e1*(t)3435例:求图示系统的输出z变换C(z)解：所以 G(s)H(s)r(t)e(t)c(t)c*(t)b(t)3637383940
