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1、研究背景研究背景o “随机游走”（random walk）是指基于过去的表现,无法预测将来的发展步骤和方向.随机游走问题最早来源于“梅茵街的醉汉”问题：一个醉汉从酒店出发,向左和向右走分别有一个概率,那么他回到家的概率是多少？这是一个有趣的概率问题,引起了我的兴趣,同时,在思考解决这个问题的基础上,我想是否也可以解决在二维坐标平面内的随机游走问题,甚至是在多维空间内的？在环上进行的随机游走问题呢？于是,我试图去解决这些问题.一维随机游走一维随机游走o定理定理1.假设在一维坐标轴 轴上一维随机游走,从原点出发,向右走的概率为 ,向右走的概率为 ,且 .o设事件 为：共走了 步,到达了点 .o运用
2、Bernoulli概型，可得：一维随机游走一维随机游走o推论推论1 1.假设一点从点 出发,在数轴 上一维随机游走,向右走的概率为 ,向左走的概率为 ,且 .o设事件 ：共走了 步,到达了点 .则.o 一维随机游走一维随机游走o推论推论2 2：从零点出发在数轴上一维随机游走,向右走的概率为 ,向左走的概率为 ,且 .o设事件 ：在 步之内（包括第 步）到达了点 ,.则o o ,其中 .二维随机游走二维随机游走o定理定理2.假设一点在二维坐标系 上进行随机游走,从原点出发,每一次沿坐标轴移动一个单位,向右走的概率为 ,向左走的概率为 ,向上走的概率为 ,向下走的概率为 ,o且o设总步数为 .设事
3、件 ：共走了 步,到达了点 （假设 ）,.o运用两次Bernoulli概型的叠加，可得：二维随机游走二维随机游走o推论推论3.一质点在二维坐标系 上进行随机游走,从点 出发,向右走的概率为 ,向左走的概率为 ,向上走的概率为 ,向下走的概率为 ,且 .o设事件 ：共走了 步,到达了点 （假设 ）,o .则：三维随机游走三维随机游走o引理引理1 一个袋子中有 个白球,个黑球,个红球（各球形状大小均无差异）.现有放回的从袋子中摸球,问：在 次摸球中恰好摸到 个白球,个黑球,（个红球）的概率是多少？o设上述事件为事件 ,可得：o为方便表示，不妨记 ，o ，（事实上 ，即为每一次摸球摸到白 球、黑球和
4、红球的概率），有 .o则上式可表示为：o 三维随机游走三维随机游走三维随机游走三维随机游走o定理定理3.假设一点在一个三维坐标空间 上进行随机游走,从原点出发,每一次沿坐标轴移动一个单位,向 轴正方向移动的概率为 ,向 轴负方向移动的概率为 ,向 轴正方向移动的概率为 ,向 轴负方向移动的概率为 ,向 轴正方向移动的概率为 ,向 轴负方向移动的概率为 ,且 ,.o设事件 ：共走了 步,到达了点 ，o（暂时假设 ）.三维随机游走三维随机游走o推论推论4：一质点在一个三维坐标空间 上随机游走,从点 出发.向 轴正方向移动的概率为 ,向 轴负方向移动的概率为 ,向 轴正方向移动的概率为 ,向 轴负方
5、向移动的概率为 ,向 轴正方向移动的概率为 ,向 轴负方向移动的概率为 ,o且 ,.o设事件 ：共走了 步,到达了点 （假设 ,o ,）,.则：维随机游走维随机游走 o 在得到了二维随机游走的结果后,由于 维可以看作是 个二维情况的简单叠加,因此我们可以以类似的方法将 几个Bernoulli概型进行叠加,从而得到维随机游走的结论.然而,由于每一次使用Bernoulli概型时,它的分布 中的 总是一个变量,所以得到的表达式是十分复杂的,也不易于计算.因此,本文中并没有给出计算.多维随机游走多维随机游走o引理引理2 2 一个袋子中有 个 球,个 球,个 球（各球形状大小均无差异）.现有放回的从袋子
6、中摸球,问：在 次摸球中恰好摸到 个 球,个 球,个 球的概率是多少？o设上述事件为事件 .o每次有 个样本点,又因为共摸球 次,所以样本点共有 .设 ,则可得多维随机游走多维随机游走o通过这个问题，多维随机游走也可以类比于三维随机游走得出结果.多维随机游走多维随机游走o猜想猜想 假设在一个 维坐标空间上随机游走,从原点出发.向 轴正方向移动的概率为 ,向 轴负方向移动的概率为 ,其中 ,o且 ,.o设事件 ：共走了 步,到达了点 ,其中 o表示在坐标轴 上的坐标（假设 ）,.o记 ,则：环形随机游走环形随机游走o定理定理4 4：在一个环上,有 个点,各点之间的距离相等,且均为一个单位长度.假设一点从某点 出发,每一次沿环上移动一个单位长度,假设向顺时针方向移动一个单位的概率为 ,向逆时针方向移动一个单位的概率为 ,且 ,.o设事件 ：走了 步后到达点 （点与点顺时针方向相距 ,逆时针方向相距 ）,.则：o o 其中 .项目的未来期望项目的未来期望o1、寻找并建立更好的模型。o2、尝试解决解决树上的随机游走问题。o3、给出三维、多维随机游走的渐进公式，方便实际运用。谢谢！谢谢！
