专题27 向量法求空间角一、单选题 1．在正方体中，，，，分别为，，，的中点，则异面直线与所成角的大小是（ ）A． B． C． D．2．在长方体中，，，设交于点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）A． B． C． D．3．如图在棱长为2的正方体中，点是的中点，那么异面直线和所成的角的余弦值等于（ ）A． B． C． D．4．如图，已知点、、G、分别是正方体中棱、、、的中点，记二面角的平面角为，直线与平面所成角为，直线与直线所成角为，则（ ）A． B． C． D．5．如图，在正四面体中，，记平面与平面､平面､平面，所成的锐二面角分别为､､，则（ ）A． B． C． D．6．如图，在长方体中，，，是的中点，则直线与所成角的余弦值为（ ）A． B． C． D．7．已知两条异面直线的方向向量分别是，1，，，2，，则这两条异面直线所成的角满足（ ）A． B． C． D．二、解答题8．如图，四边形中，是等腰直角三角形，，是边长为2的正三角形，以为折痕，将向上折叠到的位置，使点在平面内的射影在上，再将向下折叠到的位置，使平面平面，形成几何体.（1）点在上，若平面，求点的位置；（2）求二面角的余弦值.9．如图所示，在四棱锥中，，，，底面，为的中点.（1）求证：平面；（2）在侧面内找一点，使平面；（3）求直线与平面所成角的正弦.10．如图所示，四棱锥中，侧面是边长为的正三角形且与底面垂直，底面是的菱形，为的中点.（1）求与底面所成角的大小；（2）求证：平面；（3）求二面角的余弦值.11．如图，三棱柱中，平面平面，和都是正三角形，是的中点．（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值．12．如图，在四棱锥中，底面中，，侧面平面，且，点在棱上，且．（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值13．如图，在底面为菱形的四棱锥中，，．（1）证明：；（2）若，点段上，且，求二面角的余弦值．14．如图，在四棱锥中，底面，底面是边长为2的正方形，，，分别是，的中点．（1）求证：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值；（3）在上是否存在一点，使得与所成角为？若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由．15．已知如图①，在菱形中，且，为的中点，将沿折起使，得到如图②所示的四棱锥.（1）求证：平面平面；（2）若为的中点，求二面角的余弦值.16．如图，E为矩形边的中点，沿将向上翻折至，使得二面角为60°，且，.（1）证明：平面；（2）求直线与平面夹角的正弦值.17．如图，长方体中，，，若在上存在点，使得平面.（1）求的长；（2）求平面与平面夹角的余弦值.18．如图，三棱柱的侧面是边长为的正方形，面面，，，是的中点.（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离； （3）段上是否存在一点，使二面角为，若存在，求的长；若不存在，说明理由.19．如图，在直三棱柱中，，（1）求证：；（2）求直线和所成角的大小； （3）求直线和平面所成角的大小.20．如图，已知三棱锥中，平面，，M、E分别为、的中点，N为的中点．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求直线和平面所成角的正弦值．21．如图，三棱柱中，底面是边长为的等边三角形，侧面为菱形，且平面平面，，为棱的中点．（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值．22．在如图所示的几何体中，四边形为正方形，平面，，，.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）在棱上是否存在一点，使得二面角的大小为？如果存在，确定点的位置；如果不存在，说明理由.23．在四棱锥中，四边形ABCD为正方形，平面平面ABCD，为等腰直角三角形，，AB=2.（1）求证：平面平面PAC；（2）设E为CD的中点，求二面角C-PB-E的余弦值.24．已知长方体中，，，E为的中点.（1）证明平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.25．如图，四边形为菱形，，四边形为矩形，平面平面，点在上，.（1）证明：平面；（2）若与平面所成角为60°，求二面角的余弦值.26．如图，在边长为8的菱形中，，将沿折起，使点到达的位置，且二面角为60°.（1）求证：；（2）若点E为中点，求直线BE与平面所成角的正弦值.27．如图，在直三棱柱中，，，，点是的中点.（1）求证：平面⊥平面；（2）求平面与平面所成的锐二面角（是指不超过的角）的余弦值.28．中，，，E，F分别是边，上的点，且，于H，，将沿折起，点A到达，此时满足面面．（1）若，求直线与面所成角大小；（2）若E，F分别为，中点，求锐二面角的余弦值；（3）在（2）的条件下，求点B到面的距离．29．如图，在梯形中，，，平面，四边形为矩形，点为线段的中点，且，.（1）求证：平面平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.30．如图，四棱锥的底面为正方形，侧面底面．为等腰直角三角形，且．，分别为底边和侧棱的中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值．专题27 向量法求空间角一、单选题 1．在正方体中，，，，分别为，，，的中点，则异面直线与所成角的大小是（ ）A． B． C． D．【答案】C【分析】以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，写出，，，的坐标，然后可得和的坐标，然后可算出答案.【详解】以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则，，，，则，．设异面直线与所成的角为，则，所以，故选：C2．在长方体中，，，设交于点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，再利用向量法求异面直线成角即可。
详解】以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，因为，，所以，，，，，，则.故选：D【点睛】本题主要考查向量法求异面直线成角，属于简单题3．如图在棱长为2的正方体中，点是的中点，那么异面直线和所成的角的余弦值等于（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】建立空间直角坐标系，利用坐标表示向量，利用向量求出异面直线和所成角的余弦值．【详解】建立空间直角坐标系，如图所示；，0，，，0，，，0，，，2，，，0，；，0，，，2，，，，；所以，；所以异面直线和所成角的余弦值为．故选：A【点睛】方法点睛：求异面直线所成的角常用的两种方法：方法一：（几何法）找（观察）作（平移法）证（定义）指求（解三角形）；方法二：（向量法）利用向量里异面直线所成的角的公式求解.4．如图，已知点、、G、分别是正方体中棱、、、的中点，记二面角的平面角为，直线与平面所成角为，直线与直线所成角为，则（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出线面角、二面角、异面直角所成角，即可比较；【详解】解：如图建立空间直角坐标系，令正方体的棱长为，则，，，，，，，，显然面的法向量为，设面的法向量为，则，即，令则、，所以所以，，所以，因为，即，所以故选：D5．如图，在正四面体中，，记平面与平面､平面､平面，所成的锐二面角分别为､､，则（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】过A作平面，取的中点M，连接，交于点O，以O为原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用坐标向量法先求，再根据余弦函数单调性比较大小即可.【详解】解：(空间向量法)因为，所以E､F分别为､的中点，G为上靠近A的三等分点，取的中点M，连接，过A作平面，交于点O，在平面中过O作，交于N，设正四面体的棱长为2，则，，，以O为原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，，，，，，，，，，，，，设平面的一个法向量为，则，即，不妨令，则，同理可计算出平面､平面､平面的一个法向量分别为，，，则可得，，，所以，又在上递减，所以，故选：A.6．如图，在长方体中，，，是的中点，则直线与所成角的余弦值为（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】以为原点，为轴为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线与所成角的余弦值．【详解】在长方体中，，，为的中点，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，，2，，，0，，，2，，，，0，，，0，，，，，，0，，设异面直线与所成角为，则．异面直线与所成角的余弦值为．故选：．【点睛】求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解.7．已知两条异面直线的方向向量分别是，1，，，2，，则这两条异面直线所成的角满足（ ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知两条异面直线的方向向量的坐标，然后利用数量积求夹角公式，即可求得答案.【详解】两条异面直线的方向向量分别是，1，，，2，，，，，又两条异面直线所成的角为，，.故选：.二、解答题8．如图，四边形中，是等腰直角三角形，，是边长为2的正三角形，以为折痕，将向上折叠到的位置，使点在平面内的射影在上，再将向下折叠到的位置，使平面平面，形成几何体.（1）点在上，若平面，求点的位置；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）为的中点；（2）.【分析】（1）设点在平面内的射影为，连接，，取的中点，易得平面.取的中点，连接，由平面平面，得到平面，又平面，则，则平面，然后由面面平行的判定定理证明.（2）连接，以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，分别求得平面的一个法向量为和平面的一个法向量为，由求解.【详解】（1）如图，设点在平面内的射影为，连接，，∵，∴，∴在中，为的中点.取的中点，连接，，则，又平面，平面，∴平面.取的中点，连接，则易知，又平面平面，平面平面，∴平面，又平面，∴，又平面，平面，∴平面.又，∴平面平面.又平面，∴平面，此时为的中点.（2）连接，由（1）可知，，两两垂直，以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，从而，，.设平面的一个法向量为，则即得，取，则，.设平面的一个法向量为，则即得，取，则，，从而.易知二面角为钝二面角，所以二面角的余弦值为.【点睛】关键点点睛：（1）在求解与图形的翻折有关的问题时，关键是弄清翻折前后哪些量变了，哪些量没变，哪些位置关系变了，哪些位置关系没变；（2）利用向量法求二面角的关键是建立合适的空间直角坐标系及准确求出相关平面的法向量.9．如图所示，在四棱锥中，，，，底面，为的中点.（1）求证：平面；（2）在侧面内找一点，使平面；（3）求直线与平面所成角的正弦.【答案】（1）证明见解析；（2。