《云南大学滇池学院《高等数学》课件-第2章 导数与微分》由会员分享，可在线阅读，更多相关《云南大学滇池学院《高等数学》课件-第2章 导数与微分（95页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第二章 导数与微分第二章 导数与微分2.1 导数的概念导数的概念2.2 函数的求导法则函数的求导法则2.3 隐函数及由参数方程所确定隐函数及由参数方程所确定的函数的导数的函数的导数2.4 高阶导数高阶导数2.5 函数的微分函数的微分本章小结本章小结云南大学滇池学院高等数学第二章 导数与微分2.1 导 数 的 概 念一、一、引例引例 为了说明导数的概念,我们首先讨论与导数概念的形成密切相关的两个问题:变速直 线运动的瞬时速度与曲线的切线斜率.第二章 导数与微分第二章 导数与微分1.变速直线运动的瞬时速度变速直线运动的瞬时速度 设质点做变速直线运动的位置函数为s=s(t),试确定该质点在任一给定时
2、刻t0时的 瞬时速度v(t0).根据该质点的位置函数,从时刻t0 到时刻t0+t这段时间内,质点从位置 s(t0)运动到s(t0+t),所经过的路程是s=s(t0+t)-s(t0),如图2 1所示,因而质 点在时刻t0 到时刻t0+t这段时间内的平均速度为第二章 导数与微分第二章 导数与微分引例引例2【制作圆形的餐桌玻璃】一张圆形餐桌上需要加装圆形玻璃.测量出餐桌的直 径后,工艺店的师傅就会在一块方形的玻璃上画出一个同样大的圆,然后沿着圆形的边缘 划掉多余的玻璃,最后用砂轮不断在边缘打磨.当玻璃的边缘非常光滑时,一块圆形的餐 桌玻璃就做好了.从数学的角度来讲,工艺店师傅打磨的过程就是在作圆的切
3、线的过程.由中学知识,我 们 知 道 圆 的 切 线 是 与 圆 有 唯 一 交 点 的 直 线.但 是 对 于 一 般 的 曲 线 y=f(x)来说,其在点(x0,f(x0)处的切线又是怎样定义的呢?第二章 导数与微分2.平面曲线的切线斜率平面曲线的切线斜率 设有曲线L,P 为曲线上一定点,在L 上点P 外另取一点Q,作割线PQ.当点Q 沿曲 线L 移动并趋近于点P 时,如果割线PQ 绕点P 旋转的极限位置存在,那么处于此极限位 置的直线PT 称为曲线L 在点P 处的切线,定点P 叫做切点,如图2 2所示,过切点垂直 于该切线的直线叫做曲线在该点的法线.第二章 导数与微分图2 2第二章 导数
4、与微分下面讨论如何求切线的斜率.设曲线L 是函数y=f(x)的图形,如图2 3所示,求曲 线L 在点P(x0,f(x0)处切线的斜率.图2 3第二章 导数与微分在曲线L 上点P 外另取一点Q(x0+x,f(x0+x),割线PQ 的倾斜角为,则 割线PQ 的斜率为当点Q 沿曲线L趋于点P 时,x 0,割线PQ 的倾斜角就趋于切线PT 的倾斜角.如果割线PQ 斜率的极限存在(设为k),那么此极限值k 即为曲线L 在点P 处的切线的斜 率,即第二章 导数与微分第二章 导数与微分第二章 导数与微分函数y=f(x)在x0处可导,也称函数y=f(x)在点x0处具有导数或导数存在.若令 x=x0+x,则式(
5、2 1)也可以写为如果式(2 1)或式(2 2)中的极限不存在,则称函数y=f(x)在x0 处不可导.第二章 导数与微分例例2 1 已知函数f(x)=x2,求f(3).式(2 1)或式(2 2)极限存在的充分必要条件是左、右极限存在且相等.当这两个单 侧极限存在时,我们给出如下单侧导数的定义:第二章 导数与微分第二章 导数与微分第二章 导数与微分定义定义2 3 如果函数y=f(x)在开区间(a,b)内的每一点处都可导,则称函数y=f(x)在开区间(a,b)内可导.如果函数y=f(x)在开区间(a,b)内可导,且在点a右 可导(点b左可导),则称函数y=f(x)在左闭右开区间a,b)(左开右闭区
6、间(a,b)上 可导.如果函数y=f(x)在开区间(a,b)内可导,且在点a右可导,在点b左可导,则称函 数y=f(x)在闭区间a,b上可导.第二章 导数与微分第二章 导数与微分显然,函数y=f(x)在点x0 处的导数f(x0),就是导函数f(x)在点x=x0 处的函数 值,即有时为了清晰表明对哪个自变量求导,也可在导数右下角写出该自变量.例如,yx 和 fu表示函数y 和f 分别对x 和u 求导(分别以x 和u 为自变量)第二章 导数与微分有了导数的概念,前面两个实际问题可以重述为:(1)变速直线运动在时刻t0 的瞬时速度就是位置函数s=s(t)在t0 处的导数s(t0),即这就是导数的物理
7、意义.第二章 导数与微分(2)函数y=f(x)在点x0 处的导数 f(x0),在几何上表示曲线y=f(x)在点(x0,f(x0)处切线的斜率,即这就是导数的几何意义.第二章 导数与微分曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0)处的切线方程为当切线不平行于x 轴(f(x0)0)时,法线方程为当切线平行于x 轴(f(x0)=0)时,切线方程可简化为y=f(x0),此时法线方程为 x=x0.第二章 导数与微分三、三、求导举例求导举例 根据导数的定义,求某个函数y=f(x)的导数y,可以分为以下三个步骤:第二章 导数与微分例例2 3 求函数f(x)=C(C 为常数)的导数.解解 在x 处给自变量一个增量
8、 x,相应地,函数值的增量为也就是说,常数的导数等于零.第二章 导数与微分类似地,结合中学知识以及导数的定义,我们可得到下列公式:特别地,当a=e时,有第二章 导数与微分第二章 导数与微分四、四、函数的可导性与连续性的关系函数的可导性与连续性的关系 定理定理2 2 如果函数f(x)在点x 处可导,那么函数y=f(x)在点x 处必连续.反之,函数在某点连续,在该点却不一定可导.例如,函数y=|x|在x=0处连续,但 它在x=0处却不可导(见例2 2).第二章 导数与微分第二章 导数与微分图2 4第二章 导数与微分2.2 函数的求导法则函数的求导法则一、一、函数和、函数和、差、差、积、积、商的求导
9、法则商的求导法则 定理定理2 3 如果函数u=u(x)和v=v(x)都在点x 处可导,那么它们的和、差、积、商(分母为0的点除外)也都在点x 处可导,且有第二章 导数与微分特别地,有式(2 9)、式(2 10)可以推广到有限个可导函数的情形.例如,设u=u(x),v=v(x),w=w(x)均可导,则有第二章 导数与微分第二章 导数与微分第二章 导数与微分第二章 导数与微分二、二、反函数的求导法则反函数的求导法则 定理定理2 4 如果函数x=f(y)在区间Iy 内单调、可导且fy(y)0,则其反函数 y=f-1(x)在对应的区间Ix=x x=f(y),y Iy 内也可导,且即反函数的导数等于直接
10、函数导数的倒数.第二章 导数与微分第二章 导数与微分第二章 导数与微分三、三、复合函数的求导法则复合函数的求导法则 定定 理理2 5 若函数u=(x)在点x 处可导,而函数y=f(u)在对应的点u处可导,则 复合函数y=f(x)在点x 处也可导,且有也可写为即复合函数的导数等于函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数.第二章 导数与微分例例2 12 求下列函数的导数:第二章 导数与微分对于复合函数的求导,关键在于弄清函数的复合关系.当复合函数的分解比较熟练后,就不必再写出中间变量,而由复合函数求导法则直接写出求导结果.其实对于多层复合的 函数求导,可由外往里逐层求导.在对每层函数求导时,
11、该层函数符号内的式子可当做一 个字母看待.第二章 导数与微分第二章 导数与微分例例2 14【半径的变化率问题】设气体以100cm3/s的常速注入球状的气球.假定气体 的压力不变,那么当半径为10cm 时,气球半径增加的速率是多少?解解 设在t时刻气球的体积与半径分别为V 和r,显然有所以通过中间变量r 将V 化为关于时间t的函数,这是一个复合函数,即第二章 导数与微分第二章 导数与微分四、四、基本初等函数的求导公式基本初等函数的求导公式第二章 导数与微分2.3 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数第二章 导数与微分有些函数的表示方式却不是这样的,如方程x+y
12、3-1=0可确定一个函数.当变量x 在(-,+)内取值时,变量y有唯一确定的值和它对应,因而y是x 的函数.这样由方 程确定的函数称为隐函数.一般地,如果变量x 和y满足方程F(x,y)=0,在一定条件下,当x 在某范围内任意 取一确定值时,F(x,y)=0总可以相应地确定唯一一个变量y的值,那么方程F(x,y)=0便确定了y 是x 的函数y=y(x),这种函数称为隐函数.第二章 导数与微分第二章 导数与微分例例2 15 求由单位圆方程x2+y2=1所确定的隐函数y=y(x)的导数yx.解 方程两边同时对x 求导,得第二章 导数与微分例例2 16 求下列方程所确定的隐函数的导数:解解(1)方程
13、两边同时对x 求导,由于y 是x 的函数,y3 是x 的复合函数,按复合函 数的求导法则,可得第二章 导数与微分(2)方程两边同时对x 求导,由于y 是x 的函数,得第二章 导数与微分第二章 导数与微分从以上例题可以看出,求隐函数的导数时,只需将方程两边同时对自变量x 求导,遇 到y 就看成x 的函数,遇到y 的函数就看成是x 的复合函数,然后从求导数后所得的关系 式中解出yx,即得到所求的隐函数的导数.第二章 导数与微分二、二、对数求导法对数求导法 在实际求导中,有时会遇到给定的函数虽为显函数,但直接求导数会很复杂的问题.对于这样的函数,可先对等式两边取对数(一般取以e为底的自然对数),把显
14、函数化为隐 函数的形式,再利用隐函数求导法进行求导,这种求导的方法称为对数求导法.这一特殊 的求导法适用于求幂指函数y=u(x)v(x)或由多个因子的积、商、幂构成的函数的求导.第二章 导数与微分第二章 导数与微分三、三、参数方程所确定的函数的导数参数方程所确定的函数的导数 一般地,由形如的方程所确定的y 与x 之间的函数关系,称为由参数方程所确定的函数.第二章 导数与微分对由参数方程所确定的函数求导,通常并不需要由参数方程消去参数t,化为y与x 之 间的直接函数关系后再求导.下面给出由参数方程所确定的函数的求导公式,即第二章 导数与微分第二章 导数与微分2.4 高高 阶阶 导导 数数我们知道
15、,变速直线运动的速度v 是位置函数s=s(t)对时间t的导数,即而加速度a 又是速度v 对时间t的变化率,即速度v 对时间t的导数第二章 导数与微分第二章 导数与微分第二章 导数与微分类似地,二阶导数的导数叫做三阶导数,三阶导数的导数叫做四阶导数 一般地,若函数y=f(x)的n-1阶导数仍可导,则函数y=f(x)的n-1阶导数的导数叫做y=f(x)的n 阶导数.函数y=f(x)的三阶、四阶、,n 阶导数分别记作第二章 导数与微分函数y=f(x)具有n阶导数,常称函数 f(x)为n阶可导.如果函数 f(x)在点x 处具 有n阶导数,那么 f(x)在点x 的某一邻域内必定具有一切低于n阶的导数.二
16、阶及二阶以 上的导数统称为高阶导数.由此可见,求高阶导数就是多次连续地求导数,所以仍可应用前面学过的求导方法来 求高阶导数.第二章 导数与微分第二章 导数与微分例例2 22【刹车测试】某一汽车厂在测试汽车的刹车性能时发现,刹车后汽车行驶的 路程s(单位:m)与时间t(单位:s)满足s=19.2t-0.4t3.假设汽车作直线运动,求汽车在t=3s时的速度和加速度.第二章 导数与微分第二章 导数与微分第二章 导数与微分第二章 导数与微分第二章 导数与微分2.5 函函 数数 的的 微微 分分一、一、微分的概念微分的概念 引例引例【薄片面积的增量】如图2 5所示,一块正方形金属薄片受温度变化的影响,其 边长由x0 变为x0+x,问该薄片的面积A 改变了多少?第二章 导数与微分若用x 表示该薄片的边长,A 表示面积,则A 是x 的函数A=x2.薄片受温度变化的 影响时面积的改变量,可以看作是当自变量x 在x0 取得增量x 时,函数值A=x2 相应的 增量 A,即第二章 导数与微分第二章 导数与微分图2 5第二章 导数与微分定义定义2 4 设函数y=f(x)在某区间内有定义,且x0 及x0+x 在
