微 积 分（上册）第四章 微分中值定理和导数的应用微分中值定理第一节洛必达法则第二节泰勒公式第三节函数的单调性的判定法第四节函数的极值与最值第五节第四章 微分中值定理和导数的应用曲线的凹凸性与拐点第六节函数图形的描绘第七节曲率第八节导数在经济中的应用第九节微分中值定理微分中值定理第 一节第一节 微分中值定理微分中值定理给出了函数及其导数之间的联系，是导数应用的基础.微分中值定理包括罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理与柯西(Cauchy)中值定理，它们在微分学理论中占有重要地位.一、罗尔定理如图4-1所示，函数y=f(x)(xa，b)是一条连续的曲线弧，除端点外处处有不垂直于x轴的切线，且两个端点的纵坐标相等，可以发现在曲线弧的最高点或最低点处，曲线有水平的切线.如果用数学语言把这个几何现象描述出来，就可得到下面的罗尔中值定理(简称罗尔定理).图图 4-1 4-1一、罗尔定理定理定理1 1(1)在闭区间a，b上连续；(2)在开区间(a，b)内可导；(3)在闭区间a，b端点的函数值相等，即f(a)=f(b)；那么在(a，b)内至少有一点(a，b)，使得函数f(x)在该点的导数等于零，即f()=0.值得注意的是，罗尔定理要求f(x)应同时满足三个条件，若函数f(x)满足定理的三个条件，则曲线y=f(x)在开区间(a，b)内，至少有一条水平切线；若函数f(x)不能同时满足定理的三个条件，则曲线y=f(x)在开区间(a，b)内，可能就没有水平切线.一、罗尔定理例如,函数f(x)=|x|，x-1，1,函数在点x=0处不可导,不满足定理中可导的条件,如图4-2所示,显然,曲线没有水平切线.图图 4-2 4-2一、罗尔定理又如函数g(x)=x，x0，2,因为g(0)=0，g(2)=2,如图4-3所示,两个端点处函数值不相等,显然,曲线也没有水平切线.由于罗尔定理的结论相当于确定方程f(x)=0在(a，b)内有根，故常常利用罗尔定理来证明方程的根的存在性.图图 4-3 4-3一、罗尔定理【例例1 1】一、罗尔定理罗尔定理表明，若连接曲线两端的弦是水平的，则曲线上必有一点，该点的切线也是水平的.如果将曲线转一个角度，这时弦与切线的水平性虽被破坏了，但它们相互平行的性质仍保持，进而得到下面的定理.二、拉格朗日中值定理在罗尔定理中，由于f(a)=f(b)，使得弦AB平行于x轴，因此点C处的切线实际上平行于弦AB(见图4-4).现在如果取消f(a)=f(b)这个条件，那么弦AB不平行于x轴，此时，曲线弧AB上是否存在一个点C，使曲线在C处的切线平行于弦AB呢？以下介绍的拉格朗日中值定理回答了这个问题.图图 4-4 4-4二、拉格朗日中值定理定理定理2 2(拉格朗日中值定理)若函数y=f(x)满足：(1)在闭区间a,b上连续.(2)在开区间(a,b)内可导.则在(a,b)内至少存在一点,使得(4-1)或(4-2)二、拉格朗日中值定理由图4-4可见，为弦AB的斜率，而f()为曲线在点C处切线的斜率.拉格朗日中值定理的几何意义：在满足定理条件的情况下，曲线y=f(x)上至少有一点C，使曲线在点C处的切线平行于弦AB.由图4-4亦可看出，罗尔定理是拉格朗日中值定理在f(a)=f(b)时的特殊情形.通过这种特殊关系，还可进一步联想到利用罗尔定理来证明拉格朗日中值定理.事实上，因为弦AB方程为二、拉格朗日中值定理而曲线y=f(x)与弦AB在区间端点a,b处相交，故若用曲线方程y=f(x)与弦AB方程的差做成一个新函数，则这个新函数在端点a,b处的函数值相等.由此即可证明拉格朗日中值定理.二、拉格朗日中值定理证构造辅助函数容易验证F(x)满足罗尔定理的条件，从而在(a,b)内至少存在一点，使得F()=0，即由此得即二、拉格朗日中值定理式(4-1)和式(4-2)均称为拉格朗日中值公式.式(4-2)的左端f(b)f(a)ba表示函数在闭区间a,b上整体变化的平均变化率，右端f()表示开区间(a,b)内某点处函数的局部变化率.于是，拉格朗日中值公式反映了可导函数在a,b上的整体平均变化率与在(a,b)内某点处函数的局部变化率的关系.若从力学角度看，式(4-2)表示整体上的平均速度等于某一内点处的瞬时速度.因此，拉格朗日中值定理是联结局部与整体的纽带.拉格朗日中值公式对于ba也成立.注注二、拉格朗日中值定理设x，x+x(a,b)，在以x，x+x为端点的区间上应用式(4-1)，则有f(x+x)f(x)=f(x+x)x(01),即y=f(x0+x)x(01).(4-3)式(4-3)精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在该区间内某点处的导数之间的关系，这个公式又称为有限增量公式.拉格朗日中值定理在微分学中占有重要地位，也称这个定理为微分中值定理.已知常数的导数等于零；但反过来，导数为零的函数是否为常数呢？回答是肯定的，现在就用拉格朗日中值定理来证明其正确性.二、拉格朗日中值定理v推论推论1 1 如果函数f(x)在区间I上的导数恒为零，那么f(x)在区间I上是一个常数.证在区间I上任取两点x1，x2(x1x2)，在区间x1,x2上应用拉格朗日中值定理，由式(4-1)得f(x1)f(x2)=f()(x1x2)(x10)、指数函数ex均为当x+时的无穷大，但这三个函数增大的“速度”不一样，幂函数增大的“速度”比对数函数快得多，而指数函数增大的“速度”又比幂函数快得多(从上两例可以看出).注注三、其他类型的未定式【例例1414】三、其他类型的未定式【例例1515】三、其他类型的未定式【例例1717】【例例1616】三、其他类型的未定式v分分析析这是“1”型未定式，可以利用重要极限来解，也可转化为“e0”，即“0”型未定式用洛必达法则来解.三、其他类型的未定式解法1利用重要极限来解(过程中用到洛必达法则).三、其他类型的未定式解法2利用洛必达法则来解.三、其他类型的未定式(1)对比两种解法发现洛必达法则简单些.洛必达法则是求未定式的一种简便有效的法则，在使用时，可以与其他求极限的方法综合使用，这样能达到事半功倍的效果.例如，能化简的首先要尽可能化简，可以应用等价无穷小替代或重要极限时，应尽可能应用，这样可以使运算简捷.注注三、其他类型的未定式(2)使用洛必达法则有严格的条件限制，但有时条件满足时该法则却未必有效，例如，这样循环往复，永远也得不出结果，此时法则失效，可见法则不是万能的.此题用普通变形却能简单求出结果：三、其他类型的未定式【例例1818】三、其他类型的未定式【例例1919】泰泰 勒勒 公公 式式第 三 节第三节 泰 勒 公 式不论在近似计算或理论分析中，人们希望能用一些简单的函数来近似一个比较复杂的函数，这将会带来很大的方便.一般来说，最简单的是多项式，因为多项式是关于变量加、减、乘的运算，因此，多项式经常被用来近似地表达函数，这种近似表达在数学上常称为逼近.由微分概念知,fx在点x0可导，则有f(x)=f(x0)+f(x0)(xx0)+o(xx0),即在点x0附近，用一次多项式f(x0)+f(x0)(xx0)逼近函数f(x)时，其误差为(xx0)的高阶无穷小.然而在很多场合，取一次多项式逼近是不够的，往往需要用二次或高于二次的多项式去逼近，要求误差为o(xx0)n，其中n为多项式的次数，并且能具体估算出误差大小.第三节 泰 勒 公 式于是有这样的问题：设函数f(x)在含有x0的开区间(a,b)内具有直到n+1阶的导数，问是否存在个n次多项式函数pn(x)=a0+a1(xx0)+a2(xx0)2+an(xx0)n，(4-4)使得f(x)=pn(x)+o(xx0)n，并给出误差估计的具体表达式.第三节 泰 勒 公 式先逐次求pn(x)在点x0处的各阶导数，得而a0=pn(x0).由此可见，多项式pn(x)的各项系数由其在点x0的函数值及各阶导数值所唯一确定.第三节 泰 勒 公 式为此考虑这样一种情形：设pn(x)和f(x)在点x0有相同的函数值和直到n阶导数的各阶导数，即pn(x0)=f(x0)，p(k)n(x0)=f(k)(x0)(k=1,2,n),因此，将所求系数a0,a1,a2,an代入式(4-4)，有(4-5)下面的定理表明，多项式(4-5)就是要寻找的n次多项式.第三节 泰 勒 公 式定理定理7 7(泰勒中值定理)若函数f(x)在含有x0的某个开区间(a,b)内具有直到n+1阶的导数，则对任一x(a,b)，有(4-6)(4-7)第三节 泰 勒 公 式证由Rn(x)=f(x)pn(x)，根据题意，只需证明式(4-7)成立.从题设条件知，Rn(x)在(a,b)内具有直到n+1阶的导数，且第三节 泰 勒 公 式按此方法继续做下去，经过n+1次后，可得多项式(4-5)称为函数f(x)按(xx0)的幂展开的n次近似多项式，公式(4-6)称为f(x)按(xx0)的幂展开的带有拉格朗日余项的n阶泰勒公式，Rn(x)的表达式(4-7)称为拉格朗日型余项.第三节 泰 勒 公 式当n=0时，泰勒公式变成拉格朗日中值公式f(x)=f(x0)+f()(xx0)(在x0与x之间)，因此，泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广.如果对于固定的n，当x(a,b)时，f(n+1)(x)M，则(4-8)故当xx0时，误差|Rn(x)|是比(xx0)n高阶的无穷小，即Rn(x)=o(xx0)n.(4-9)这样，前面提出的问题就得到解决.第三节 泰 勒 公 式在不需要余项的精确表达式时，n阶泰勒公式也可写成Rn(x)的表达式(4-9)称为皮亚诺型余项,公式(4-10)称为f(x)按(xx0)的幂展开的带有皮亚诺型余项的n阶泰勒公式.(4-10)第三节 泰 勒 公 式在泰勒公式(4-6)中，取x0=0，则在0与x之间，因此，可令=x(00，则函数y=f(x)在a,b上单调增加.(2)若在(a,b)内f(x)0，则函数y=f(x)在a,b上单调减少.证任取两点x1,x2(a,b)，设x1x2，由拉格朗日中值定理知，存在(x10，则f()0，所以f(x2)f(x1),即y=f(x)在a,b上单调增加.第四节 函数的单调性的判定法(2)若在(a,b)内，f(x)0，则f()0，所以f(x2)0与fx0换成fx0与fx0(等号只在个别点处成立)，定理8的结论仍成立.注注第四节 函数的单调性的判定法【例例2424】第四节 函数的单调性的判定法根据本节定理不难验证，函数y=x2及y=x在(,0内单调减少，在0,+)内单调增加.分别考察这两个函数在单调区间分界点处的导数，可以发现，y=x2在点x=0处的导数为零，y=x点x=0处不可导(即导数不存在).一般地，函数y=fx在单调区间的分界点处，要么导数等于0，要么导数不存在.由此，可按下述步骤来讨论函数fx的单调性：(1)求出函数的定义域.(2)求出函数的单调区间的所有可能的分界点，即函数的驻点和fx不存在的点.(3)用分界点将定义域分成若干小区间.(4)判断在各小区间内fx的符号，然后确定函数在每个小区间中的单调性.第四节 函数的单调性的判定法【例例2525】第四节 函数的单调性的判定法【例例2626】第四节 函数的单调性的判定法【例例2727】第四节 函数的单调性的判定法【例例2828】函数的极值与最值函数的极值与最值第 五 节第五节 函数的极值与最值理论和生产实践中很多问题都可归结为求某一函数(通常称为目标函数)的最大值和最小值问题，如在一定条件下，怎样使“产品最多”“用料最省”“成本最低”“效率最高”等.要解决这些问题，需先讨论函数的极值.本节主要介绍函数的极值和最值的求法.一、函数的极值及其求法定义定义1 1设函数f(x)在点x0的某邻域内有定义，若对该邻域内任一点x(xx0)，恒有f(x)f(x0),则称f(x)在点x0处取得极大值(或极小值)，而x0称为函数f(x)的极大值点(或极小值点).极大值与极小值统称为函数的极值，极大值点与极小值点统称为函数的极值点.一、函数的极值及其求法(1)函数的极值是局部概念，极值不。