第五讲第五讲 函数的微分函数的微分内容提要内容提要 1.微分的概念；微分的概念；2.微分运算法则；微分运算法则；3.微分在近似计算中的应用微分在近似计算中的应用教学要求教学要求 1.1.理解微分的概念，了解微分的几何意义以及微分与可导理解微分的概念，了解微分的几何意义以及微分与可导之间的关系；之间的关系；2.2.熟悉微分的运算法则；熟悉微分的运算法则；3.3.会用微分进行近似计算会用微分进行近似计算第五节第五节 微分及其在近似计算中的应用微分及其在近似计算中的应用例例1 1 一个金属正方形薄片，一个金属正方形薄片，当当受冷热影响时，受冷热影响时，如图所示，如图所示，解解首先看一个例子首先看一个例子一、微分概念一、微分概念这个这个由两部分组成由两部分组成第一部分第一部分:xx D D02是是 xD D 的的线性函数线性函数第二部分第二部分:是比是比 xD D 高阶的无穷小高阶的无穷小所以当所以当|D Dx 很小时很小时,仅用第一部分仅用第一部分xD D 的线性函数的线性函数xx D D02作为作为 AD D的近似值的近似值,即即由此由此,我们引进我们引进微分微分概念概念可以略去可以略去定义定义可以表示可以表示与一个比与一个比 xD D高阶高阶的无穷小之和的无穷小之和则称则称函数函数)(xfy=在点在点0 x处处可微可微,称为称为记为记为即即【注注】(1)函数的微分函数的微分xAD D是是 xD D的的线性函数线性函数,它与它与高阶的无穷小高阶的无穷小（2）当）当0 A时时,若函数若函数)(xfy=在在0 x处的改变量处的改变量（A是常数）是常数）xD D为为线性函数线性函数其中其中是是的的主要部分主要部分,相差一个比相差一个比xD D函数函数在在0 x处的处的 微分微分,所所以也称微分以也称微分是是的的线性主部线性主部.可以用微分可以用微分dy作改变量作改变量 yD D的近似值的近似值,即即下面讨论函数下面讨论函数)(xf在点在点0 x处可导与可微的关系处可导与可微的关系.一方面一方面,如果函数如果函数)(xf在在0 x点可微点可微,则依定义则依定义即即)(0 xfA=（3）当）当很小时很小时,有有上式两端除以上式两端除以这说明这说明:函数函数)(xf在点在点0 x可微可微,则函数在点则函数在点0 x必可导必可导.如果如果)(xf在点在点0 x可导可导,存在存在,根据极限与无穷小的关系根据极限与无穷小的关系,按微分的定义按微分的定义,从而从而是当是当时时反之，反之，这表明这表明:函数函数)(xf在点在点可导可导,则函数在点则函数在点必可微必可微.则有则有由此可见由此可见,函数函数)(xf在点在点0 x处可导与可微是等价的处可导与可微是等价的.由上面推导可以看出由上面推导可以看出所以函数所以函数)(xf在在0 x处的微分处的微分自变量微分自变量微分所以函数所以函数)(xf在在0 x处微分处微分,又可写成又可写成这是函数微分的常见写法这是函数微分的常见写法.由由式可知，式可知，若函数若函数)(xf在某区间内每一点都可微在某区间内每一点都可微 ,则称则称)(xf是该区间内的可微函数是该区间内的可微函数,记为记为由此式由此式,可得可得这表明这表明,函数的导数函数的导数可以看作函可以看作函数的微分数的微分dy与自变量的微分与自变量的微分dx之商之商,故导数故导数也称也称微商微商.例例2 2求求函数函数在在处当处当时时的的改变量改变量和微分和微分dy的的 值值.解解)()(xfxxfy-D D+=D D)1(1)(22+-+D D+=xxx2)(2xxxD D+D D=所以所以21.0=)1.0(1.01221.01+=D D=D D=xxy而而xxD D=2xxfdyD D=)(xxD D+=)1(2所以所以2.0=1.0121.01=D D=xxdy下面给出下面给出微分的几何意义微分的几何意义:函数函数)(xfy=的图形是一曲线的图形是一曲线,当自变量当自变量x由由0 x变到变到xxD D+0时时,曲线上的对应点曲线上的对应点),(00yxM变到变到),(00yyxxPD D+D D+,从图可知从图可知xMND D=,yNPD D=过点过点M作切线作切线MT,它的倾角为它的倾角为 q q,则则NTdy=xxfD D.=)(0即即NTdy=于是于是,函数函数)(xfy=在点在点0 x处的处的微分就是曲线微分就是曲线)(xfy=在点在点),(00yxM处的切线处的切线MT,当横坐标由当横坐标由0 x变到变到xxD D+0时时,其对应的纵坐标其对应的纵坐标的改变量的改变量.二、微分的运算法则二、微分的运算法则1.1.基本初等函数的微分公式基本初等函数的微分公式2.函数和、差、积、商的微分法则函数和、差、积、商的微分法则证明。
证明只对只对3复合函数微分法则复合函数微分法则当当 u为为自变量时自变量时,则函数则函数的微分为的微分为当当u为为中间变量时中间变量时,设设)(xuj j=则复合函数则复合函数的微分为的微分为所以上式也可写成所以上式也可写成不论不论 u是自变量还是中是自变量还是中间变量间变量的微分的形式总是的微分的形式总是:这个性质称为这个性质称为一阶微分形式的不变性一阶微分形式的不变性.(1)对于函数对于函数(2)对于函数对于函数例例3 求求xycos=的微分的微分dy解解 方法一方法一 利用微分的定义利用微分的定义dxxxsin21-=方法二方法二利用微分形式的不变性来求利用微分形式的不变性来求,把把x看作看作中间变量中间变量 u,则则例例5 设设bxeyaxsin-=,求求dy解解应用积的微分法则应用积的微分法则,得得dy)(sinbxdeax-+sinbxdeax-=dxebxbbxaax-+-=)cossin(在求复合函数的导数时，可以不写出中间变量，在求复合函数的导数时，可以不写出中间变量，在求复合函数的微分时，也可以不写出中间变量，在求复合函数的微分时，也可以不写出中间变量，下面我们用这种方法来求函数的微分下面我们用这种方法来求函数的微分.例例4解解例例6 在括号内填入适当的函数在括号内填入适当的函数 使下列等式成立使下列等式成立（1）)(112ddxx=+（2）)(ddxax=dx)(=（3）xdedx)4()()(4=解（解（1 1）回顾回顾导数导数二、微分的运算法则二、微分的运算法则1.1.基本初等函数的微分公式基本初等函数的微分公式2.函数和、差、积、商的微分法则函数和、差、积、商的微分法则3复合函数微分法则复合函数微分法则（微分形式的不变性微分形式的不变性.）一、微分的概念一、微分的概念三三、微分在近似计算中的应用微分在近似计算中的应用当当0)(0 xf,有有yD D的近似计算公式的近似计算公式例例7 一个边长为一个边长为cm10的立方体的立方体,受热后边长伸长受热后边长伸长cm001.0,问问该立方体该立方体的体积大约的体积大约增加多少增加多少？解解设立方体设立方体 的体积为的体积为则由近似计算公式则由近似计算公式,得得且且很小时很小时,公式公式（1）则上式可化为则上式可化为:公式公式（2）若取若取则有则有公式公式（3）注意：注意：注意：注意：例例8 求求05.1arctan的近似值的近似值解解 设设函数函数xxfarctan)(=,代入近似公式代入近似公式得得)05.1(f即即05.1arctan8104.0=求求o29sin的近似值的近似值解解 设函数设函数xxfsin)(=,4849.0 即即 29sino练习练习公式公式（3）应用公式应用公式（3)可得到以下几个常用的近似公式可得到以下几个常用的近似公式（这里假设这里假设|x很小）很小）（1）xn+1（n为正整数）为正整数）（2）xsin（x为弧度）为弧度）（3）xtanx （4）xex+1x（5）x+)1ln(（x为弧度）为弧度）注意：注意：证证(2):证明证明:代入公式代入公式（3）得）得例例9 求求365 的近似值的近似值解解365可得可得对对证明证明.（1）xn+1（n为正整数）为正整数）根据根据公式公式（3）练习练习xex+1解解解解解解解解（x为弧度）为弧度）精确度差！精确度差！法一法一法二法二微分在近似计算中的应用小结微分在近似计算中的应用小结注意：注意：（这里假设这里假设|x很小）很小）（1）xn+1（n为正整数）为正整数）（2）xsin（x为弧度）为弧度）（3）xtanx x（5）x+)1ln(（4）。