第12章 一次函数1．函数的概念：在某一变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量．在一些变化过程中，还有一种量，它的取值始终保持不变，我们称之为常量．在某一变化过程中，有两个量，如和，对于的每一个值，都有惟一的值与之对应，其中是自变量，是因变量，此时称是的函数．注意：（1）“有唯一值与对应”是指在自变量的取值范围内，每取一个确定值，都唯一的值与之相对应，否则不是的函数．（2）判断两个变量是否有函数关系,不仅要有关系式，还要满足上述确定的对应关系．取不同的值，的取值可以相同．例如:函数中，时，；时，．（3）函数不是数，它是指在一个变化过程中两个变量之间的关系，函数本质就是变量间的对应关系．例题1：下列各图给出了变量y与x之间的函数是：【 】例题2：若等腰三角形周长为30，一腰长为a，底边长为L，则L关于a的函数解析式为 .例题3：下列各式中，与成正比例关系的是 （填关系式的序号），成一次函数关系的是 .（1） ； （2） ； （3） ；（4） ； （5） ； （6） .2．数学上表示函数关系的方法通常有三种：（1）解析法：用数学式子表示函数的方法叫做解析法．如：，．（2）列表法：通过列表表示函数的方法．（3）图象法：用图象直观、形象地表示一个函数的方法．例题4：已知y－1与x＋2成正比例，且当x＝1时，y＝－5,求y与x之间的函数关系式；若点 （－2，a）在这个函数的图象上，求出a的值.3．关于函数的关系式(解析式)的理解：（1）函数关系式是等式．例如就是一个函数关系式．（2）函数关系式中指明了那个是自变量，哪个是函数． 通常等式右边代数式中的变量是自变量，等式左边的一个字母表示函数． 例如：中是自变量，是的函数．（3）函数关系式在书写时有顺序性． 例如：是表示是的函数，若写成就表示是的函数． （4） 求与的函数关系时，必须是只用变量的代数式表示，得到的等式右边只含 的代数式．4．自变量的取值范围：（1）整式型：一切实数（2）根式型：当根指数为偶数时，被开方数为非负数．（3）分式型：分母不为（4）复合型：不等式组（5）应用型：实际有意义即可例题5：函数中的自变量x的取值范围是【 】A、x≥－2 B、x≠1 C、x＞－2且x≠1 D、x≥－2且x≠1例题6：函数中的自变量x的取值范围为_________________.例题7：函数中的自变量x的取值范围为_________________.5．函数图象：函数的图象是由平面直角坐标系中的一系列点组成的．6．函数图象的位置决定两个函数的大小关系：例题8：直线l1：y＝k1x＋b与直线l2：y＝k2x＋c在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式k1x＋b＜k2x＋c的解集为【 】A、x＞1 B、x＜1 C、x＞－2 D、x＜－2例题9：如图，直线与轴交于点，关于的不等式的解集是【 】A． B． C． D．7．描点法画函数图象的步骤：（1）列表； （2）描点； （3）连线．8．函数解析式与函数图象的关系：（1）满足函数解析式的有序实数对为坐标的点一定在函数图象上；（2）函数图象上点的坐标满足函数解析式．9．验证一个点是否在图象上方法：代入、求值、比较、判断例题10：下列各点中，在反比例函数y＝图象上的是【 】A．（－2，3） B．（2，－3） C．（1，6） D．（－1，6）10．一次函数及其性质知识点一：一次函数的定义一般地，形如（，是常数，）的函数，叫做一次函数，当时，即，这是正比例函数．⑴一次函数的解析式的形式是，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式．⑵当，时，仍是一次函数．⑶当，时，它不是一次函数．⑷正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数．知识点二：一次函数的图象及其画法⑴一次函数（，，为常数）的图象是一条直线．⑵由于两点确定一条直线，所以在平面直角坐标系内画一次函数的图象时，只要先描出两个点，再连成直线即可．①如果这个函数是正比例函数，通常取，两点；②如果这个函数是一般的一次函数（），通常取，，即直线与两坐标轴的交点．⑶由函数图象的意义知，满足函数关系式的点在其对应的图象上，这个图象就是一条直线，反之，直线上的点的坐标满足，也就是说，直线与是一一对应的，所以通常把一次函数的图象叫做直线：，有时直接称为直线．知识点三：一次函数的性质⑴当时，一次函数的图象从左到右上升，随的增大而增大；⑵当时，一次函数的图象从左到右下降，随的增大而减小．知识点四：一次函数的图象、性质与、的符号一次函数，符号图象性质随的增大而增大随的增大而减小字母k，b的作用：k决定函数趋势，b决定直线与y轴交点位置，也称为截距.倾斜度：|k|越大，越接近y轴；|k|越小，越接近x轴.图象的平移：b＞0时，将直线y＝kx的图象向上平移b个单位，对应解析式为：y＝kx＋b；b＜0时，将直线y＝kx的图象向下平移个单位，对应解析式为：y＝kx－b.口诀：“上＋下－”将直线y＝kx的图象向左平移m个单位，对应解析式为：y＝k（x＋m）；将直线y＝kx的图象向右平移m个单位，对应解析式为：y＝k（x－m）.口诀：“左＋右－”知识点五：用待定系数法求一次函数的解析式⑴定义：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定系数法．⑵用待定系数法求函数解析式的一般步骤：①根据已知条件写出含有待定系数的解析式；②将的几对值，或图象上的几个点的坐标代入上述的解析式中，得到以待定系数为未知数的方程或方程组；③解方程（组），得到待定系数的值；④将求出的待定系数代回所求的函数解析式中，得到所求的函数解析式．例题11：一次函数的图象只经过第一、二、三象限，则【 】A． B． C． D．例题12：如果一次函数的图象经过第一象限，且与轴负半轴相交，那么【 】A．， B．， C．， D．，例题13：已知一次函数的图象过点（3，5）与（－4，－9），求该函数的解析式.例题14 填空：（1）将的图象向 平移 个单位可以得到的图象；（2）将的图象向 平移 个单位可以得到的图象；（3）将的图象向 平移 个单位可以得到的图象；（4）的图象是由的图象向 平移 个单位可以得到的.例题15：已知一次函数，试说明：不论k为何值，这条直线总要经过一个定点，并求出这个定点.例题16：已知一次函数y＝ax＋4与y＝bx－2的图象在x轴上相交于同一点,则的值是【 】A、4 B、－2 C、 D、－ 例题17： 已知点A（ 2，）和点B（-2，b）在函数的图象上，试比较与b的大小.例题18：已知一次函数，函数值y随自变量x的值增大而减小.（1） 求m的取值范围；（2） 在平面直角坐标系xOy中，这个函数的图象与y轴的交点M位于y轴的正半轴还是负半轴？11. 一次函数与一元一次方程和一元一次不等式的关系：（1）一次函数与一元一次方程的关系：直线与x轴交点的横坐标，就是一元一次方程的解.求直线与x轴交点时，可令，得到方程，解方程得，直线交x轴于，就是直线与x轴交点的横坐标.（2）一次函数与一元一次不等式的关系：由于任何一个一元一次不等式都可化简为的形式，而可以看作自变量为x的一次函数，于是有以下结论： ⑴一般地，一元一次不等式的解集，就是使一次函数的函数值大于0（或小于0）时自变量x的取值范围. ⑵ 从图象上看，的解集是直线位于x轴上方的部分对应的自变量x的取值范围；的解集是直线位于x轴下方的部分对应的自变量x的取值范围.例题19：填空（1）直线与轴的交点的横坐标是方程 的根. （2）直线上位于轴上方的点，它们的横坐标的取值范围是 ，直线上位于轴下方的点，它们的横坐标的取值范围是 . （3）已知函数，当 时，；当 时，.例题20：已知函数.（1）当取何值时，函数值？（2）当取何值时，函数值？（3）在平面直角坐标系中，在直线上且位于轴下方的所有点，它们的横坐标的取值范围是什么？例题21：如图，点在直线上，它的横坐标为，根据图中提供的信息回答下列问题：（1）直线截距为 .（2）点P的坐标是 ，直线上所有位于点P朝上一侧的点的横坐标的取值范围是 ，这些点的纵坐标的取值范围是 .（3）如果直线的表达式为，那么关于的不等式的解集是 ，的解集是 .12. 二元一次方程与一次函数的关系 任何一个一次函数都可以化成以自变量x和函数y为未知数的二元一次方程形式，于是有下面结论：⑴一次函数图象上任意一点的坐标都是二元一次方程的一组解.⑵以二元一次方程的解为坐标的点都在一次函数的图象上.⑶对于同一个数学模型，若将若将其中的x,y看做变量，则它表示一个一次函数，若将其中的x,y看作未知数，则它就是一个二元一次方程，二者本质相同.13. 二元一次方程组与一次函数的关系 两条直线，的交点坐标就是关于x,y的方程组的解.提示：通常我们可以用解方程组的方法求两直线的交点坐标，也可以通过画图象，利用两直线的交点坐标得出方程组的解.拓展：二元一次方程组解的三种情况：对于二元一次方程组（1）若，则方程组有唯一一组解；（2）若，则方程组无解；（3）若，则方程组有无数组解.例题22：如图，直线的解析表达式为，且与轴交于点，直线经过点，直线，交于点．（1）求点的坐标；（2）求直线的解析表达式；（3）求的面积；l1l2xyDO3BCA（4，0）（4）在直线上存在异于点的另一点，使得与的面积相等，请直接写出点的坐标．14．直线（）与（）的位置关系（1）两直线平行且（2）两直线相交（3）两直线重合且（4）两直线垂直例题23：已知一次函数y=2x+5，另一条直线与之垂直，且过点（4，3），求该该直线的函数解析式.例题24：已知一次函数，另一条直线与之平行，且与坐标轴所围成的三角形面积为8，求此一次函数解析式.例题25：已知一次函数，根据下列条件确定的取值范围：（1）函数的图象经过第二、三、四象限.（2）函数值随的值增大而增大.（。