分数的裂项与巧算一、“裂差”型运算b - a 1 1= -(分子是两数之差，分母是两数之积)aba b11111++++（1）1´ 2 2´3 3´ 4 4´5 5´ 61 1 1 1111+ + + + + +（2）（3）（4）（5）2 6 12 20 30 4233333++++1´ 2 2´3 3´ 4 4´5 5´ 64444+++ +1´3 3´5 5´ 71989´199111111++++5´ 7 7´9 9´11 11´13 13´15二、“裂和”型运算：a + b 1 1= +(分子是两数之和，分母是两数之积)aba b1 7 9 11 13 15 171+ - + - + - +（1）3 12 20 30 42 56 725 7 9 11 13 15 17 191- + - + - + - +（2）6 12 20 30 42 56 72 90 三、“2 倍”型运算1 1 1 111（1） ＋ ＋ ＋＋＋2 4 8 16 32 64（2）1+2+4+8+16+32+64+1281 1 1 1+ + +111+ + +3 6 12 24 48 96 192（3）参考答案一、“裂差”型运算b - a 1 1= -(分子是两数之差，分母是两数之积)aba b11111++++（1）1´ 2 2´3 3´ 4 4´5 5´ 61 1 1 1 1 1 1 1 1= 1- + - + - + - + -2 2 3 3 4 4 5 5 61= 1-65=61 1 1 11+ + + +11+ +2 6 12 20 30 42（2）111111= 1++++++1´ 2 2´3 3´ 4 4´5 5´ 6 6´ 71 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1= 1+1- + - + - + - + - + -2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 71= 1+1-76= 1733333++++（3）1´ 2 2´3 3´ 4 4´5 5´ 6 11111æçèö÷ø=++++´31´ 2 2´3 3´ 4 4´5 5´ 61 1 1 1 1 1 1 1 1æö= 1- + - + - + - + - ´3çè÷2 2 3 3 4 4 5 5 6ø1æö= 1- ´3ç÷6èø5= ´365=24444L+ +++（4）1´3 3´5 5´ 71989´19912222æçèöL+ +2=++´1989´1991÷1´3 3´5 5´ 7ø1 1 1 1 111æö= 1- + - + - + +L-´2ç÷3 3 5 5 71989 1991øè1æö÷ø= 1-´ 2ç1991è1990199139801991==´ 211111++++（5）5´ 7 7´9 9´11 11´13 13´15222221æçèö=++++´÷5´ 7 7´9 9´11 11´13 13´15 2ø1 1 1 1 1 1 1 1 1 1= - + - + - + - + -1æö´÷ç5 7 7 9 9 11 11 13 13 15 2èø1 11æö= -´÷ç5 15 2èø2 1= ´15 21=15二、“裂和”型运算： a + b 1 1= +a b(分子是两数之和，分母是两数之积)ab4 7 9 11 13 15 17- + - + - +（1）3 12 20 30 42 56 7247911131517=-+-+-+1´3 3´ 4 4´5 5´ 6 6´ 7 7´8 8´91 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1æöæöæö= 1+ - + + + - + + + - + + +ç÷ç÷ç÷3 3 44 5 5 6 6 7 7 8 8 9è ø è øèø1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1= 1+ - - + + - - + + - - + -3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 91= 1-98=95 7 9 11 13 15 17 191- + - + - + - +（2）6 12 20 30 42 56 72 905791113151719= 1-+-+-+-+2´3 3´ 4 4´5 5´ 6 6´ 7 7´8 8´9 9´101 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1æöæöæöæö= 1- + + + - + + + - + + + - + + +ç÷ç÷ç÷ç÷2 3 3 4 4 5 5 6 6 77 8 8 9 9 10è øèøèøèø1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1= 1- - + + - - + + - - + + - - + +2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 101 1= 1- +2 1035=三、“2 倍”型运算：最大×2－最小1 1 1 111（3） ＋ ＋ ＋＋＋2 4 8 16 32 641 1 1 1 1 1 1 1 111= 1- + - + - + - + - + -2 2 4 4 8 8 16 16 32 32 641= 1-6463=64（4）1+2+4+8+16+32+64+128=128×2-1=255 1 1 1 1111+ + + + + +（3）3 6 12 24 48 96 19211= ´ 2 -3192128 1-==192 192127192a + b 1 1= +a b(分子是两数之和，分母是两数之积)ab4 7 9 11 13 15 17- + - + - +（1）3 12 20 30 42 56 7247911131517=-+-+-+1´3 3´ 4 4´5 5´ 6 6´ 7 7´8 8´91 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1æöæöæö= 1+ - + + + - + + + - + + +ç÷ç÷ç÷3 3 44 5 5 6 6 7 7 8 8 9è ø è øèø1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1= 1+ - - + + - - + + - - + -3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 91= 1-98=95 7 9 11 13 15 17 191- + - + - + - +（2）6 12 20 30 42 56 72 905791113151719= 1-+-+-+-+2´3 3´ 4 4´5 5´ 6 6´ 7 7´8 8´9 9´101 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1æöæöæöæö= 1- + + + - + + + - + + + - + + +ç÷ç÷ç÷ç÷2 3 3 4 4 5 5 6 6 77 8 8 9 9 10è øèøèøèø1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1= 1- - + + - - + + - - + + - - + +2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 101 1= 1- +2 1035=三、“2 倍”型运算：最大×2－最小1 1 1 111（3） ＋ ＋ ＋＋＋2 4 8 16 32 641 1 1 1 1 1 1 1 111= 1- + - + - + - + - + -2 2 4 4 8 8 16 16 32 32 641= 1-6463=64（4）1+2+4+8+16+32+64+128=128×2-1=255 1 1 1 1111+ + + + + +（3）3 6 12 24 48 96 19211= ´ 2 -3192128 1-==192 192127192。
