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1、2022 年全国统一高考数学试卷（理科）（甲卷）年全国统一高考数学试卷（理科）（甲卷）一、选择题 ： 本题共一、选择题 ： 本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1（5 分）若 z1+i，则（）A1+iB1iC +iD i2（5 分）某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识为了解讲座效果，随机抽取 10 位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这 10 位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如图：则（）A讲座前问卷答题的正确率
2、的中位数小于 70%B讲座后问卷答题的正确率的平均数大于 85%C 讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差3（5 分） 设全集 U2，1，0，1，2，3，集合 A1，2，Bx|x24x+30，则U（AB）（）A1，3B0，3C2，1D2，04（5 分）如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为 1，则该多面体的体积为（）A8B12C16D205（5 分）函数 y（3x3x）cosx 在区间，的图像大致为（）ABCD6（5 分）当 x1 时，函数 f（x）alnx+ 取得最大值2，则 f（2）（）A1BCD1
3、7（5 分）在长方体 ABCDA1B1C1D1中，已知 B1D 与平面 ABCD和平面 AA1B1B 所成的角均为 30，则（）AAB2ADBAB 与平面 AB1C1D 所成的角为 30CACCB1DB1D 与平面 BB1C1C 所成的角为 458（5 分）沈括的梦溪笔谈是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”如图，是以 O 为圆心，OA为半径的圆弧，C 是 AB 的中点，D 在上，CDAB“会圆术”给出的弧长的近似值 s 的计算公式 ： sAB+当 OA2，AOB60时，s（）ABCD9（5 分）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为 2， 侧面积分别为 S
4、甲和 S乙， 体积分别为 V甲和 V乙 若2，则（）AB2CD10（5 分） 椭圆 C：+1（ab0） 的左顶点为 A，点 P，Q均在 C 上，且关于 y 轴对称若直线 AP，AQ 的斜率之积为 ，则 C 的离心率为（）ABCD11（5 分）设函数 f（x）sin（x+）在区间（0，）恰有三个极值点、两个零点，则 的取值范围是（）A ，）B ，）C（， D（，12（5 分）已知 a，bcos ，c4sin ，则（）AcbaBbacCabcDacb二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。13（5 分） 设向量 ， 的夹角的余弦值为 ，且
5、| |1，| |3，则（2 + ） 14（5 分）若双曲线 y21（m0）的渐近线与圆 x2+y24y+30 相切，则 m 15（5 分）从正方体的 8 个顶点中任选 4 个，则这 4 个点在同一个平面的概率为 16（5 分）已知ABC 中，点 D 在边 BC 上，ADB120，AD2，CD2BD当取得最小值时，BD 三、解答题 ： 共三、解答题 ： 共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题
6、：共题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。分。17（12 分）记 Sn为数列an的前 n 项和已知+n2an+1（1）证明：an是等差数列；（2）若 a4，a7，a9成等比数列，求 Sn的最小值18（12 分）在四棱锥 PABCD 中，PD底面 ABCD，CDAB，ADDCCB1，AB2，DP（1）证明：BDPA；（2）求 PD 与平面 PAB 所成的角的正弦值19（12 分）甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得 10 分，负方得 0 分，没有平局三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为 0.5，0.4，0.8
7、，各项目的比赛结果相互独立（1）求甲学校获得冠军的概率；（2）用 X 表示乙学校的总得分，求 X 的分布列与期望20（12 分）设抛物线 C：y22px（p0）的焦点为 F，点 D（p，0），过 F 的直线交 C 于 M，N 两点当直线 MD 垂直于 x 轴时，|MF|3（1）求 C 的方程；（2） 设直线 MD，ND 与 C 的另一个交点分别为 A，B，记直线 MN，AB 的倾斜角分别为 ，当 取得最大值时，求直线 AB的方程21（12 分）已知函数 f（x）lnx+xa（1）若 f（x）0，求 a 的取值范围；（2）证明：若 f（x）有两个零点 x1，x2，则 x1x21（二） 选考题：共
8、（二） 选考题：共 10 分。请考生在第分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如题中任选一题作答。如果多做， 则按所做的第一题计分。果多做， 则按所做的第一题计分。 选修选修 4-4： 坐标系与参数方程： 坐标系与参数方程（10分）分）22（10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为（t 为参数），曲线 C2的参数方程为（s 为参数）（1）写出 C1的普通方程；（2） 以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系， 曲线 C3的极坐标方程为 2cossin0，求 C3与 C1交点的直角坐标，及C3与 C2交点的直角坐标选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（10
9、 分）分）23已知 a，b，c 均为正数，且 a2+b2+4c23，证明：（1）a+b+2c3；（2）若 b2c，则 + 32022 年全国统一高考数学试卷（理科）（甲卷）年全国统一高考数学试卷（理科）（甲卷）参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、选择题 ： 本题共一、选择题 ： 本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1（5 分）若 z1+i，则（）A1+iB1iC +iD i【分析】由已知求得，代入，则答案可求【解答】解：z1+i，4，则故选：C【点评】
10、本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题2（5 分）某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识为了解讲座效果，随机抽取 10 位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这 10 位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如图：则（）A讲座前问卷答题的正确率的中位数小于 70%B讲座后问卷答题的正确率的平均数大于 85%C 讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差【分析】对于 A，求出讲座前问卷答题的正确率的中位数进行判断；对于 B，求出讲座后问卷答题的正确率的平均数进行判断；对于C，由图
11、形知讲座前问卷答题的正确率相对分散，讲座后问卷答题的正确率相对集中，进行判断；对于 D，求出讲座后问卷答题的正确率的极差和讲座前正确率的极差，由此判断 D【解答】解：对于 A，讲座前问卷答题的正确率从小到大为：60%，60%，65%，65%，70%，75%，80%，85%，90%，95%，讲座前问卷答题的正确率的中位数为：（70%+75%） /272.5%，故 A 错误；对于 B，讲座后问卷答题的正确率的平均数为：（80%+85%+85%+85%+85%+90%+90%+95%+100%+100%）89.5%85%，故 B 正确；对于 C，由图形知讲座前问卷答题的正确率相对分散，讲座后问卷答题
12、的正确率相对集中，讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差，故 C 错误；对于 D，讲座后问卷答题的正确率的极差为：100%80%20%，讲座前正确率的极差为：95%60%35%，讲座后问卷答题的正确率的极差小于讲座前正确率的极差，故D 错误故选：B【点评】 本题考查命题真假的判断，考查散点图、中位数、平均数、标准差、极差等基础知识，考查运算求解能力，是基础题3（5 分） 设全集 U2，1，0，1，2，3，集合 A1，2，Bx|x24x+30，则U（AB）（）A1，3B0，3C2，1D2，0【分析】求解一元二次方程化简 B，再由并集与补集运算得答案【解答】解：Bx|x24x+30
13、1，3，A1，2，AB1，1，2，3，又 U2，1，0，1，2，3，U（AB）2，0故选：D【点评】本题考查交、并、补集的混合运算，是基础题4（5 分）如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为 1，则该多面体的体积为（）A8B12C16D20【分析】由多面体的三视图得该多面体是一正四棱柱 ABCDA1B1C1D1， 四棱柱的底面是直角梯形 ABCD， AB4， AD2， AA12，AA1平面 ABCD，由此能求出该多面体的体积【解答】解：由多面体的三视图得该多面体是一正四棱柱 ABCDA1B1C1D1，四棱柱的底面是直角梯形 ABCD，如图，AB4，AD2，AA12，AA
14、1平面 ABCD，该多面体的体积为：V12故选：B【点评】 本题考查多面体的体积的求法，考查多面体的三视图等基础知识，考查运算求解能力，是中档题5（5 分）函数 y（3x3x）cosx 在区间，的图像大致为（）ABCD【分析】 判断函数的奇偶性，结合函数的特殊值判断点的位置，推出选项即可【解答】解：f（x）（3x3x）cosx，可知 f（x）（3x3x）cos（x）（3x3x）cosxf（x），函数是奇函数，排除 BD；当 x1 时，f（1）（331）cos10，排除 C故选：A【点评】 本题考查函数的奇偶性以及函数的图象的判断，是中档题6（5 分）当 x1 时，函数 f（x）alnx+ 取得
15、最大值2，则 f（2）（）A1BCD1【分析】由已知求得 b，再由题意可得 f（1）0 求得 a，得到函数解析式，求其导函数，即可求得 f（2）【解答】解：由题意 f（1）b2，则 f（x）alnx ，则 f（x），当 x1 时函数取得最值，可得 x1 也是函数的一个极值点，f（1）a+20，即 a2f（x），易得函数在（0，1）上单调递增，在（1，+）上单调递减，故 x1 处，函数取得极大值，也是最大值，则 f（2）故选：B【点评】 本题考查导数的应用，考查导数最值与极值的关系，考查运算求解能力，是中档题7（5 分）在长方体 ABCDA1B1C1D1中，已知 B1D 与平面 ABCD和平面
16、AA1B1B 所成的角均为 30，则（）AAB2ADBAB 与平面 AB1C1D 所成的角为 30CACCB1DB1D 与平面 BB1C1C 所成的角为 45【分析】不妨令 AA11，可根据直线与平面所成角的定义，确定长方体的各棱长，即可求解【解答】解：如图所示，连接 AB1，BD，不妨令 AA11，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，AD面 AA1B1B，BB1面 ABCD，所以B1DB 和DB1A 分别为 B1D 与平面 ABCD 和平面 AA1B1B所成的角，即B1DBDB1A30，所以在 RtBDB1中，BB1AA11，在 RtADB1中，DB12，所以 AB，故选项 A，C 错误，由图易知，AB 在平面 AB1C1D 上的射影在 AB1上，所以B1AB 为 AB 与平面 AB1C1D 所成的角，在 RtABB1中，故选项 B 错误，如图，连接 B1C，则 B1D 在平面 BB1C1C 上的射影为 B1C，所以DB1C 为 B1D 与平面 BB1C1C 所成的角，在 RtDB1C 中，DC，所以DB1C45，所以选项 D 正确，故选：D【点评】本题考查了直线与平面所成角，属于
