线性时不变系统课件

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1、第第2章章 线性时不变系统线性时不变系统Linear Time-Invariant Systems LTI系统的框图结构表示。系统的框图结构表示。本章主要内容：本章主要内容：信号的时域分解信号的时域分解用用 表示离散时间信号；表示离散时间信号；用用 表示连续时间信号。表示连续时间信号。LTI系统的时域分析系统的时域分析卷积积分与卷积和。卷积积分与卷积和。LTI系统的微分方程及差分方程表示。系统的微分方程及差分方程表示。奇异函数。奇异函数。2.0 引言引言 (Introduction)基本思想：基本思想：如果能把任意输入信号分解成基本信号如果能把任意输入信号分解成基本信号的线性组合，那么只要得到

2、了的线性组合，那么只要得到了LTI系统对基本信号系统对基本信号的响应，就可以利用系统的线性特性，将系统对任的响应，就可以利用系统的线性特性，将系统对任意输入信号产生的响应表示成系统对基本信号的响意输入信号产生的响应表示成系统对基本信号的响应的线性组合。应的线性组合。由于由于LTI系统满足齐次性和可加性，并且具系统满足齐次性和可加性，并且具有时不变性的特点，因而为建立信号与系统分析有时不变性的特点，因而为建立信号与系统分析的理论与方法奠定了基础。的理论与方法奠定了基础。问题的实质：问题的实质：1.研究信号的分解：即以什么样的信号作为构成任研究信号的分解：即以什么样的信号作为构成任意信号的基本信号

3、单元，如何用基本信号单元的线意信号的基本信号单元，如何用基本信号单元的线性组合来构成任意信号；性组合来构成任意信号；2.如何得到如何得到LTI系统对基本单元信号的响应。系统对基本单元信号的响应。作为基本单元的信号应满足以下要求：作为基本单元的信号应满足以下要求：1.本身尽可能简单，并且用它的线性组合能够表示本身尽可能简单，并且用它的线性组合能够表示（构成）尽可能广泛的其它信号；（构成）尽可能广泛的其它信号；2.LTI系统对这种信号的响应易于求得。系统对这种信号的响应易于求得。如果解决了信号分解的问题，即：若有如果解决了信号分解的问题，即：若有则则 将信号分解可以在时域进行，也可以在频域或变将信

4、号分解可以在时域进行，也可以在频域或变换域进行，相应地就产生了对换域进行，相应地就产生了对LTI系统的时域分析法、系统的时域分析法、频域分析法和变换域分析法。频域分析法和变换域分析法。分析方法分析方法：离散时间信号中离散时间信号中,最简单的是最简单的是 ,可以由它的线可以由它的线性组合构成性组合构成 ，即：，即：2.1 离散时间离散时间LTI系统：卷积和系统：卷积和一一.用单位脉冲表示离散时间信号用单位脉冲表示离散时间信号 对任何离散时间信号对任何离散时间信号 ,如果每次从其中取出一如果每次从其中取出一个点，就可以将信号拆开来，每次取出的一个点都可个点，就可以将信号拆开来，每次取出的一个点都可

5、以表示为不同加权、不同位置的单位脉冲。以表示为不同加权、不同位置的单位脉冲。（Discrete-Time LTI Systems:The Convolution Sum）二二.卷积和卷积和（Convolution sum）于是有于是有：表明：表明：任何信号任何信号 都可以被分解成移位加权的单都可以被分解成移位加权的单位脉冲信号的线性组合。位脉冲信号的线性组合。如果一个线性系统对如果一个线性系统对 的响应是的响应是 ，由线性特性就有系统对任何输入由线性特性就有系统对任何输入 的响应为：的响应为：若系统具有时不变性，即若系统具有时不变性，即：若若 ，则则因此，只要得到了因此，只要得到了LTI系统对

6、系统对 的响应的响应单位脉冲响应单位脉冲响应(impulse response)，就可以得到就可以得到LTI系统对任何输入信号系统对任何输入信号 的响应：的响应：这表明：这表明：一个一个LTI系统可以完全由它的单位脉冲系统可以完全由它的单位脉冲响应来表征。这种求得系统响应的运算关系称为响应来表征。这种求得系统响应的运算关系称为卷卷积和（积和（The convolution sum）。三三.卷积和的计算卷积和的计算计算方法计算方法：有图解法、列表法、解析法（包括数值解法）。有图解法、列表法、解析法（包括数值解法）。运算过程运算过程：将一个信号将一个信号 不动不动，另一个信号经反转后成另一个信号经

7、反转后成为为 ,再随参变量再随参变量 移位。在每个移位。在每个 值的情况值的情况下，将下，将 与与 对应点相乘，再把乘积的对应点相乘，再把乘积的各点值累加各点值累加，即即得到得到 时刻的时刻的 。例例1：.例例2：时时，时时，时时，时时，时，时，通过图形帮助确定反转移位信号的区间表示，对通过图形帮助确定反转移位信号的区间表示，对于确定卷积和计算的区段及各区段求和的上下限是于确定卷积和计算的区段及各区段求和的上下限是很有用的。很有用的。例例3.列表法列表法分析卷积和的过程，可以发现有如下特点：分析卷积和的过程，可以发现有如下特点：与与 的的所有各点都要遍乘一次；所有各点都要遍乘一次；在遍乘后，各

8、点相加时，根据在遍乘后，各点相加时，根据 ，参与相加的各点都具有参与相加的各点都具有 与与 的宗量之和的宗量之和为为 的特点。的特点。优点：优点：缺点缺点：计算非常简单。计算非常简单。只适用于两个有限长序列的卷积和；只适用于两个有限长序列的卷积和；一般情况下，无法写出一般情况下，无法写出 的封闭表达式。的封闭表达式。卷积和：对位相乘法卷积和：对位相乘法卷和计算有解析法、图解法和变换法解析法、图解法和变换法 对位乘加法：当两个序列都是有限长序列时都是有限长序列时，可使用“对位乘加法”计算卷和。此方法实际上是用对位排列运算巧妙地取代翻转平移运算。该方法首先把两序列的样本值右端对齐地排两序列的样本值

9、右端对齐地排列，然后把逐个样本值对应相乘但不要进位把逐个样本值对应相乘但不要进位，最后把同同一列上的乘积值对位求和一列上的乘积值对位求和，就得到所需卷和。卷积和：对位相乘法卷积和：对位相乘法计算 ，其中对位相乘法需注意的问题v 卷积后的序列起止点起止点需注意v上题中两个序列的起始点不同，卷积后起点为1，不是0。对位相乘法需注意的问题v参与卷积运算的序列中间有若干信号值为中间有若干信号值为零零，需补零处理对位相乘法需注意的问题v此外，对有限长序列的卷积运算v可通过z变换求解v或者将序列表示为两个有限个样值序列移位加权和形式，直接用卷积的性质求解直接利用有限长序列求解卷积v 卷积后的序列起止点起止

10、点需注意利用z变换求解v 与离散时间信号分解的思想相一致，连续时间与离散时间信号分解的思想相一致，连续时间信号应该可以分解成一系列移位加权的单位冲激信信号应该可以分解成一系列移位加权的单位冲激信号的线性组合。至少单位阶跃与单位冲激之间有这号的线性组合。至少单位阶跃与单位冲激之间有这种关系：种关系：对一般信号对一般信号 ，可以将其分成很多，可以将其分成很多 宽度的区宽度的区段，用一个阶梯信号段，用一个阶梯信号 近似表示近似表示 。当。当 时时，有有（Continuous-Time LTI Systems:The convolution integral）一一.用冲激信号表示连续时间信号用冲激信号

11、表示连续时间信号2.2 连续时间连续时间LTI系统：卷积积分系统：卷积积分引用引用 ，即：，即：则有则有：当当 时，时，第第 个矩形可表示为：个矩形可表示为：这些矩形叠加起来就成为阶梯形信号这些矩形叠加起来就成为阶梯形信号 ，即：即：表明：表明：任何连续时间信号任何连续时间信号 都可以被分解成移位都可以被分解成移位加权的单位冲激信号的线性组合。加权的单位冲激信号的线性组合。于是：于是：二二.卷积积分卷积积分（The convolution integral）与离散时间系统的分析类似，如果一个线性系统与离散时间系统的分析类似，如果一个线性系统对对 的响应为的响应为 ，则该系统对，则该系统对 的响

12、应可的响应可表示为：表示为：表明表明:LTI系统可以完全由它的系统可以完全由它的单位冲激响应单位冲激响应 来来表征。这种求得系统响应的运算关系称为表征。这种求得系统响应的运算关系称为卷积积分卷积积分（The convolution integral）。若系统是时不变的，即：若若系统是时不变的，即：若 ，则有，则有:于是系统对任意输入于是系统对任意输入 的响应的响应可表示为：可表示为：三三.卷积积分的计算卷积积分的计算 卷积积分的计算与卷积和很类似，也有图解法、卷积积分的计算与卷积和很类似，也有图解法、解析法和数值解法。解析法和数值解法。运算过程的实质也是：参与卷积的两个信号中，运算过程的实质也

13、是：参与卷积的两个信号中，一个不动，另一个反转后随参变量一个不动，另一个反转后随参变量 移动。对每一移动。对每一个个 的值，将的值，将 和和 对应相乘，再计算相对应相乘，再计算相乘后曲线所包围的面积。乘后曲线所包围的面积。通过图形帮助确定积分区间和积分上下限是很有通过图形帮助确定积分区间和积分上下限是很有用的。用的。例例1:例例2:当当 时，时，当当 时，时，当当 时，时，当当 时，时，当当 时，时，例题：信号与系统信号与系统例：例：计算解：信号与系统例：例：计算解：v因果信号与一个有限长信号卷积，可利因果信号与一个有限长信号卷积，可利用解析法直接计算用解析法直接计算信号与系统例题：例题：计算

14、注意此处的处理方式信号与系统简化方法v利用卷积性质：举例v已知某线性时不变系统的单位冲激响应和激励信号分别为：，则系统的零状态响应为？信号与系统信号与系统卷积计算的图解法卷积计算的图解法卷积计算的运算步骤卷积计算的运算步骤：v变量更换：把信号的时间变量 更换成 ，得 和 ；v翻转：把信号 翻转成 ；v平移：把翻转后的信号 右移 成 ；v加权积分：把信号 用 加权后，对时间变量 进行积分，得 。2.3 线性时不变系统的性质线性时不变系统的性质（Properties of Linear Time-Invariant Systems）一一.卷积积分与卷积和的性质卷积积分与卷积和的性质1.交换律：交换

15、律：结论：结论：一个单位冲激响应是一个单位冲激响应是h(t)的的LTI系统对输入信系统对输入信号号x(t)所产生的响应，与一个单位冲激响应是所产生的响应，与一个单位冲激响应是x(t)的的LTI系统对输入信号系统对输入信号h(t)所产生的响应相同。所产生的响应相同。2.分配律：分配律：结论：结论：两个两个LTI系统并联，其总的单位脉冲系统并联，其总的单位脉冲(冲激冲激)响响应等于各子系统单位脉冲应等于各子系统单位脉冲(冲激冲激)响应之和。响应之和。3.结合律结合律:两个两个LTI系统级联时，系统总的单位冲激系统级联时，系统总的单位冲激(脉冲脉冲)响响应等于各子系统单位冲激应等于各子系统单位冲激(

16、脉冲脉冲)响应的卷积。响应的卷积。由于卷积运算满足交换律，因此，系统级联的先后由于卷积运算满足交换律，因此，系统级联的先后次序可以调换。次序可以调换。结论：结论：产生以上结论的前提条件：产生以上结论的前提条件：系统必须是系统必须是LTI系统；系统；所有涉及到的卷积运算必须收敛。所有涉及到的卷积运算必须收敛。如如：平方平方乘乘2乘乘2平方平方若交换级联次序，即成为：若交换级联次序，即成为：又如：若又如：若 ，虽然系统，虽然系统都是都是LTI系统。当系统。当 时，如果交时，如果交换级联次序，则由于换级联次序，则由于 不收敛，因而也是不收敛，因而也是不允许的。不允许的。显然与原来是不等价的。因为系统不是显然与原来是不等价的。因为系统不是LTI系统。系统。4.卷积运算还有如下性质：卷积运算还有如下性质：若若 ，则，则卷积积分满足微分、积分及时移特性：卷积积分满足微分、积分及时移特性：若若 ，则，则 若若 ，则，则卷积和满足差分、求和及时移特性：卷积和满足差分、求和及时移特性：若若 ，则，则恰当地利用卷积的性质可以简化卷积的计算：恰当地利用卷积的性质可以简化卷积的计算：将将 微分一次有微分一次有