《山西师范大学《高等数学》课件-第4章 导数的应用问题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《山西师范大学《高等数学》课件-第4章 导数的应用问题（36页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第四章 导数的应用问题洛必塔法则、函数的性质和图像山西师范大学高等数学1、认识中值定理、洛必塔法则2、基本掌握用导数研究函数的性质和绘制函数的图像的方法3、掌握利用洛必达法则求极限的方法4、了解业余数学家费马的事迹及其对数学的贡献1、拉格朗日中值定理2、洛必塔法则求极限的方法3、函数的极大值和最值教学目标教学重点教学难点：1、用导数研究函数的性质2、利用导数绘制函数的图像教学时数：8学时教学内容1联结局部与整体的纽带中值定理2计算不定式极限的一般方法洛必达法则3用导数研究函数的性质单调性、极值和 最大最小值业余数学家之王费马1 联结局部与整体的纽带中值定理 中值定理揭示了函数在某区间的整体性质
2、与该区间内部某一点的导数之间的关系，因而称为中值定理。中值定理既是用微分学解决实际问题的理论基础，又是解决微分学自身发展的一种理论性数学模型，因而也称为微分基本定理。1.1费马定理1.1.1函数的极值 设函数 在点 的某邻域内有定义,如果对于该领域内任意异于 的 值,都有:或1.1费马定理 如果函数在点处有极值且在处可导，则必有1.2拉格朗日中值定理 设函数 满足要求:(1)在闭区间a,b上连续(2)在开区间(a,b)内可导那么在开区间(a,b)内至少存在一点，使得推论 如果函数 在区间（a,b）内的导数恒为零，那么 是区间（a,b）内的常数函数。例2 求 解 例3 求 .解 例3 求 .解例
3、4 求 解例5 求解 由于所以作业题 一、必作题：习题四第一题。二、选作题：三、思考题：1、函数 在使得 的点 处是否一定取得极值？2、导数为零是否为函数是常函数的充要条件？2 计算不定式极限的一般方法洛必塔法则 本节将利用导数作工具，给出计算两个无穷小量之比或两个无穷大量之比的不定式的极限的一般方法，即洛必塔法则。定理1:如果函数 和 满足:2.1两个基本类型不定式1.1.1 型不定式那么例1 用洛必塔法则证明公式:证：例2求解：例3 求解：定理2:如果函数 和 满足:那么1.1.2 型不定式例4 求解：属于型不定式，依定理2 有例5 求解：分式为 型不定式。所以当依定理1可得化成了型不定式
4、，运用定理2得作业题：一、必作题：习题四第二题 二、选作题：习题四第三题，第四题。三、思考题：验证极限 是否存在？3用导数研究函数的性质单调性、极值和最值 我们已经学会用初等数学的方法研究一些函数的单调性和某些简单函数的极值以及函数的最大值和最小值。但是这些方法使用范围狭小，并且有些需借助某些特殊技巧，因而不具有一般性。本节将以导数为工具，介绍解决上述几个问题的既简便又具有一般性的方法。3.1函数的单调性定理：设函数 在区间（a,b）内可导，则该函数在区间（a,b）内单调增加（单调减少）的充要条件是：例1 求函数 的单调区间解：函数 的定义域是由由得驻点当当所以函数 的单调减少区间是单调增加区
5、间是 若函数 在区间（a,b）内的导数为正(或为负),即推论则该函数在区间（a,b）内单调增加（或单调减少）。（1）在点 的邻域内可导；判别法则：设函数 满足3.2函数的极值（2）那么(1)若在 左侧附近 ，在 右侧附近 ，则 为极大值；(2)若在 左侧附近 ，在 右侧附近 ，则 为极小值；(3)若在 左右两侧 同号，则 不是极值；例2 求函数：的极值点和极值解：由得驻点为极小点,极小值为不是极小值。（1）在点 存在二阶导数；设函数 满足（2）点 是驻点，即那么判别法则(1)若 ，则 为极大值；(2)若 ，则 为极小值；(3)若 ，则不能判别 是否为极值，改用判别法则例3 求函数：的极值点和极
6、值解：由根据判别法则可知，是函数的极大点，极大值为得驻点由得是函数的极小点，极小值为3.3函数的最大值和最小值定义：若函数 在其定义域 a,b 上的函数值满足：则m和M分别称为函数 的最小值和最大值。例4小学生接受新概念时接受能力函数为：问t为何值时学生学习兴趣激增或减退？何时学习兴趣最大？解：由得唯一驻点可见第13分钟时小学生兴趣最大。要用铁皮做一个容积为V的圆柱形牛奶筒，问底圆半径为何值时用料最省？例5解 设奶筒表面积为S，半径为r，高为h，所以作业：必做题：习题四5、6、7选做题：习题四8思考题：习题四9业余数学家之王费马 费马(1601-1665)是一位对我们有教益的法国数学家，出身于皮革之家，求学期间没有留下值得传诵的奇闻轶事，30岁时获得法学学士学位，毕业后担任律师。费马的社会工作非常繁忙，但他酷爱数学，利用全部业余时间，从事数学研究。费马在笛卡尔几何学发表之前，就于1629年发现了解析几何的基本原理，建立了坐标法，是解析几何的发明人之一。业余数学家之王费马 费马善于思考，特别善于猜想，但不善于动手。他有超人的直觉能力，提出了数论中的许多猜想，人们也称费马是“猜想数学家”。费马性情谦和内向，好静成癖，无意构制鸿篇巨著，更无意抛头露面，付梓刊印。
