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1、专题四专题四 函数的图象与性质函数的图象与性质目目录录类型三类型三二次函数的图象与性质二次函数的图象与性质类型二类型二反比例函数的图象与性质反比例函数的图象与性质类型一类型一一次函数的图象与性质一次函数的图象与性质数据剖析数据剖析 题型突破题型突破3 3一次函数的图象与性质一次函数的图象与性质一一一次函数是初中函数内容的基础一次函数是初中函数内容的基础,其图象直观、形象地反映了自变量与函数的对应关其图象直观、形象地反映了自变量与函数的对应关系以及变化规律系以及变化规律,不仅从形的角度刻画了一次函数的性质不仅从形的角度刻画了一次函数的性质,同时也架起了联系一次函数同时也架起了联系一次函数与一元一
2、次方程、二元一次方程、一元一次不等式的桥梁与一元一次方程、二元一次方程、一元一次不等式的桥梁.利用一次函数的性质及变利用一次函数的性质及变量的限制条件量的限制条件,可以解决某些实际生活中的选优问题可以解决某些实际生活中的选优问题.一次函数的图象与性质在中考中一次函数的图象与性质在中考中占有重要的地位占有重要的地位,是中考热点之一是中考热点之一.返回子目录题型讲解题型讲解数据剖析数据剖析 题型突破题型突破3 3一次函数的图象与性质一次函数的图象与性质一一解决解决函数图象与性质的问题函数图象与性质的问题,关键是由一次函数的解析式确定函数图象关键是由一次函数的解析式确定函数图象,由函数图象的由函数图
3、象的位置判断解析式中位置判断解析式中k,b的符号的符号,体现了数学中非常重要的数形结合思想体现了数学中非常重要的数形结合思想.解决解决此类问题依照以下步骤此类问题依照以下步骤:(1)利用等量关系写出所求的函数关系式利用等量关系写出所求的函数关系式;(2)根据题目中的不等关系根据题目中的不等关系,求出自变量求出自变量x的取值范围的取值范围,借助一次函数的性质分析问题借助一次函数的性质分析问题.返回子目录方法点拔方法点拔解题技巧解题技巧(2020河北模拟河北模拟)小玲和弟弟小东分别从家和图书馆同时出发小玲和弟弟小东分别从家和图书馆同时出发,沿同一条路相向而行沿同一条路相向而行.小玲开始跑步中途改为
4、步行小玲开始跑步中途改为步行,到达图书馆恰好用到达图书馆恰好用30min.小东骑自行车以小东骑自行车以300m/min的的速度直接回家速度直接回家.两人离家的路程两人离家的路程y(m)与各自离开出发地的时间与各自离开出发地的时间x(min)之间的函数图象之间的函数图象如图所示如图所示.(1)家与图书馆之间的路程为家与图书馆之间的路程为m,小玲步行的速度为小玲步行的速度为m/min;(2)求小东离家的路程求小东离家的路程y关于关于x的函数解析式的函数解析式,并写出自变量的取值范围并写出自变量的取值范围;(3)求两人相遇的时间求两人相遇的时间.返回子目录例题例题14000100返回子目录【高分点拨
5、高分点拨】本题主要考查了从函数图象中获取信息、用待定系数法求一次函数解本题主要考查了从函数图象中获取信息、用待定系数法求一次函数解析式、一次函数与一元一次方程的关系析式、一次函数与一元一次方程的关系,了解上述知识点是解决问题的关键了解上述知识点是解决问题的关键.返回子目录当堂检测当堂检测140515(2)在小轿车司机驶过自然保护区入口时在小轿车司机驶过自然保护区入口时,大客车离景点入口还有多远大客车离景点入口还有多远?(3)小轿车司机到达自然保护区入口时发现本路段限速小轿车司机到达自然保护区入口时发现本路段限速80km/h,请你帮助小轿车司请你帮助小轿车司机计算折返时是否超速机计算折返时是否超
6、速?(4)若大客车一直以出发时的速度行驶若大客车一直以出发时的速度行驶,中途不再停车中途不再停车,那么小轿车折返后到达自然那么小轿车折返后到达自然保护区入口保护区入口,需等待需等待分钟分钟,大客车才能到达景点入口大客车才能到达景点入口.10返回子目录返回子目录数据剖析数据剖析 题型突破题型突破3 3反比例函数的图象和性质反比例函数的图象和性质二二纵观近几年的全国各地中考压轴题纵观近几年的全国各地中考压轴题,考查反比例函数考查反比例函数k的几何意义、与几何的综合、的几何意义、与几何的综合、与相似的结合经常出现与相似的结合经常出现,一是考查反比例函数中的坐标乘积不变性和面积不变性一是考查反比例函数
7、中的坐标乘积不变性和面积不变性,二是二是考查反比例函数与一次函数的联系考查反比例函数与一次函数的联系,试题综合性强试题综合性强,不断推陈出新不断推陈出新.返回子目录题型讲解题型讲解数据剖析数据剖析 题型突破题型突破3 3反比例函数的图象和性质反比例函数的图象和性质二二解答解答这类题时这类题时,常常要利用函数的基本性质及其意义常常要利用函数的基本性质及其意义.另外另外,一般用待定系数法求函数一般用待定系数法求函数的解析式的解析式;在同一个坐标系中在同一个坐标系中,利用函数的图象与性质比较一次函数与反比例函数的大利用函数的图象与性质比较一次函数与反比例函数的大小小;利用函数与方程组及不等式的关系解
8、决综合问题等利用函数与方程组及不等式的关系解决综合问题等.所以同学们要熟练掌握一次函所以同学们要熟练掌握一次函数和反比例函数的性质并会运用其解决某些实际问题数和反比例函数的性质并会运用其解决某些实际问题,领会函数解析式与函数图象之领会函数解析式与函数图象之间的联系间的联系,体会数形结合及转化的思想方法体会数形结合及转化的思想方法.返回子目录方法点拔方法点拔数据剖析数据剖析 题型突破题型突破3 3反比例反比例函数的图象与性质函数的图象与性质二二解决此类问题一般从三个方向出发解决此类问题一般从三个方向出发:(1)借助图象的增减性完成比较大小和取值范围类问题的求解借助图象的增减性完成比较大小和取值范
9、围类问题的求解.(2)借助借助“k”的意义解决面积类问题的求解的意义解决面积类问题的求解.(3)借助图象的对称性和交点坐标借助图象的对称性和交点坐标,完成综合类的问题完成综合类的问题.返回子目录解题技巧解题技巧返回子目录例题例题2返回子目录分析：分析：利用利用A,B的坐标求出反比例函数解析式、的坐标求出反比例函数解析式、ABC的的面积面积,即可得出关于即可得出关于n的方程的方程,最后代入反比例函数和一次函数的解析式最后代入反比例函数和一次函数的解析式,即可求出即可求出答案答案;(2)由图可知由图可知,点点B的横坐标到原点的取值范围及点的横坐标到原点的取值范围及点A的横坐标向右的取值范围即的横坐
10、标向右的取值范围即为所求为所求;(3)根据反函数的图象和性质根据反函数的图象和性质,当点当点P在第一象限时在第一象限时,p0;当点当点P在第三象限时在第三象限时,p-2.【高分点拨高分点拨】本题考查了一次函数的反比例函数的交点问题本题考查了一次函数的反比例函数的交点问题,用用待定系数法求出一次函数和反比例函数的解析式待定系数法求出一次函数和反比例函数的解析式,一次函数和反一次函数和反比例函数的图象和性质比例函数的图象和性质,三角形的面积等知识点三角形的面积等知识点,主要考查学生运主要考查学生运用性质进行计算的能力用性质进行计算的能力,题目比较好题目比较好,有一定的难度有一定的难度,运用了数形结
11、运用了数形结合的思想合的思想.返回子目录当堂检测当堂检测24.75返回子目录返回子目录二次函数二次函数是一个重要的函数模型是一个重要的函数模型,重点考查分类讨论重点考查分类讨论,数形结合数形结合,函数与方程函数与方程,转化与转化与化归等数学思想化归等数学思想.每年中考必考每年中考必考,难度适中难度适中,主要考查二次函数的图象与性质主要考查二次函数的图象与性质,以及二以及二次函数与一次函数的关系及应用次函数与一次函数的关系及应用.二次函数性质和图象特征的应用的三个着手点二次函数性质和图象特征的应用的三个着手点:对称性、等面积、取值范围对称性、等面积、取值范围,有利于数学教师的课堂教学有针对性地开
12、展有利于数学教师的课堂教学有针对性地开展.解答解答此类问题需要掌握二次函数的概念、图象和性质此类问题需要掌握二次函数的概念、图象和性质,画出草图观察分析画出草图观察分析,将函数将函数的平移、最值、增减性等贯穿在草图中的平移、最值、增减性等贯穿在草图中,此类问题就会迎刃而解此类问题就会迎刃而解.返回子目录题型讲解题型讲解方法点拨方法点拨解决解决这类问题一般遵循这样的方法这类问题一般遵循这样的方法:(1)求二次函数的图象与求二次函数的图象与x轴的交点坐标轴的交点坐标,需将二次函数转化为一元二次方程需将二次函数转化为一元二次方程;(2)求二次函数的最大求二次函数的最大(小小)值需要利用配方法将二次函
13、数由一般式转化为顶值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式点式;(3)根据图象的位置判断二次函数根据图象的位置判断二次函数y=ax2+bx+c中中a,b,c的符号的符号,或由二次函数或由二次函数中中a,b,c的符号判断图象的位置的符号判断图象的位置,要数形结合要数形结合;解题技巧解题技巧(4)二次函数的图象关于对称轴对称二次函数的图象关于对称轴对称,可利用这一性质可利用这一性质,求和图象上的已知点求和图象上的已知点关于对称轴对称的点的坐标关于对称轴对称的点的坐标,或已知函数图象与或已知函数图象与x轴的一个交点坐标轴的一个交点坐标,可由可由对称性求出另一个交点坐标对称性求出另一个交点坐标;
14、(5)与二次函数有关的还有二次三项式与二次函数有关的还有二次三项式,二次三项式二次三项式ax2+bx+ca0本身就是本身就是含有字母含有字母x的二次函数的二次函数.返回子目录例题例题3返回子目录分析分析：(1)根据二次函数顶点式可以知道根据二次函数顶点式可以知道M(b,4b+1),即即x=b,y=4b+1,消去消去b,得得y=4x+1;(2)由题意知由题意知B(0,5),二次函数过点二次函数过点B,代入解析式可求得代入解析式可求得b的值的值,求得点求得点A的坐标的坐标,再利用再利用函数图象比较大小函数图象比较大小;(3)先通过点先通过点M在在AOB内得到内得到b的取值范围的取值范围,也就是抛物
15、线的对称轴也就是抛物线的对称轴,再根据抛物线再根据抛物线的对称性和增减性确定的对称性和增减性确定y1,y2大小关系大小关系.解析解析：(1)点点M的坐标是的坐标是(b,4b+1),把把x=b代入代入y=4x+1,得得y=4b+1,点点M在直线在直线y=4x+1上上.(2)如图如图3,直线直线y=mx+5与与y轴交于点轴交于点B,点点B的坐标为的坐标为(0,5).又又B(0,5)在抛物线上在抛物线上,5=-(0-b)2+4b+1,解得解得b=2,二次函数的表达式为二次函数的表达式为y=-(x-2)2+9,当当y=0时时,得得x1=5,x2=-1.A(5,0),观察图象可得观察图象可得,当当mx+
16、5-(x-b)2+4b+1时时,x的取值范围为的取值范围为x5.返回子目录返回子目录返回子目录已知二次函数已知二次函数y=ax2-2x+3经过点经过点A(-3,0).(1)求该函数的解析式求该函数的解析式;(2)如图如图,点点P是抛物线上在第二象限内的一个动点是抛物线上在第二象限内的一个动点,且点且点P的横坐标为的横坐标为t,连接连接AC,PA,PC.求求ACP的面积的面积S关于关于t的函数关系式的函数关系式;求求ACP的面积的最大值的面积的最大值,并求出此时点并求出此时点P的坐标的坐标.返回子目录当堂检测当堂检测3返回子目录返回子目录返回子目录专题四专题四 高效测评高效测评2.(2021石家庄模拟石家庄模拟)如图如图,正方形正方形ABCD的边长为的边长为2cm,E,F,G,H分别分别从从A,B,C,D向向B,C,D,A同时以同时以0.5cm/s的速度移动的速度移动,设运动时间为设运动时间为t(s).(1)求证求证:HAEEBF;(2)设四边形设四边形EFGH的面积为的面积为S(cm2),求求S与与t的函数关系式的函数关系式,并写出自变并写出自变量量t的取值范围的取值范围;(3)画出画
