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1、机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 4.3 4.3 洛朗展式及孤立奇点洛朗展式及孤立奇点二、洛朗级数的概念三、解析函数的洛朗展开式一、问题的引入四、解析函数的孤立奇点五、整函数和亚纯函数1机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 一、问题的引入一、问题的引入问题问题:负幂项部分负幂项部分正幂项部分正幂项部分主要部分主要部分解析部分解析部分同时收敛同时收敛收敛收敛2机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 收敛半径收敛半径收敛域收敛域收敛半径收敛半径收敛域收敛域两收敛域无公共部分两收敛域无公共部分,两收敛域有公共部分两收敛域有公共部分R
2、3机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 结论结论:.常见的特殊圆环域常见的特殊圆环域:.4机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 二、洛朗级数的概念二、洛朗级数的概念定理定理C为圆环域内绕为圆环域内绕 的任一正向简单闭曲线的任一正向简单闭曲线.为洛朗系数为洛朗系数.5机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 证证对于第一个积分对于第一个积分:R.z.6机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 对于第二个积分对于第二个积分:7机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 其中其中8机动机动 目录目录 上页
3、上页 下页下页 返回返回 结束结束 下面证明下面证明9机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 则则10机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 如果如果C为在圆环域内绕为在圆环域内绕 的任何一条正向简单的任何一条正向简单闭曲线闭曲线.则则可用一个式子表示为可用一个式子表示为:证毕证毕11机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 说明说明:函数函数在圆环域内的在圆环域内的洛朗展开式洛朗展开式在圆环域内的在圆环域内的洛朗洛朗(Laurent)级数级数.1)2)某一圆环域内的解析函数展开为含有正、负某一圆环域内的解析函数展开为含有正、负幂项的级
4、数是唯一的，幂项的级数是唯一的，这就是这就是 f(z)的洛朗级数的洛朗级数.定理给出了将圆环域内解析的函数展为洛朗级数定理给出了将圆环域内解析的函数展为洛朗级数的一般方法的一般方法.12机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 三、解析函数的洛朗展开式三、解析函数的洛朗展开式常用方法常用方法:1.直接法直接法 2.间接法间接法 1.直接展开法直接展开法利用定理公式计算系数利用定理公式计算系数然后写出然后写出缺点缺点:计算往往很麻烦计算往往很麻烦.13机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 根据正、负幂项组成的级数的唯一性根据正、负幂项组成的级数的唯一性,可
5、可用代数运算、代换、求导和积分等方法去展开用代数运算、代换、求导和积分等方法去展开.优点优点:简捷简捷,快速快速.2.间接展开法间接展开法14机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例1 1解解由定理知由定理知:其中其中15机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 故由柯西定理知故由柯西定理知:由高阶导数公式知由高阶导数公式知:16机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 另解另解17机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例2 2 把把 f(z)在这些区域内展开成洛朗级数在这些区域内展开成洛朗级数.解解z的圆环域
6、包括的圆环域包括18机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 oxy119机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 12oxy由由且仍有且仍有20机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2oxy由由此时此时21机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 仍有仍有22机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 说明说明:1.函数函数在以在以为中心的圆环域内的洛朗级为中心的圆环域内的洛朗级数中尽管含有数中尽管含有的负幂项的负幂项,而且而且又是这些又是这些项的奇点项的奇点,但是但是可能是函数可能是函数的奇点的奇点
7、,也可能也可能的奇点的奇点.不是不是23机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2.给定了函数给定了函数与复平面内的一点与复平面内的一点以后以后,函数在各个不同的圆环域中有不同的洛朗展开函数在各个不同的圆环域中有不同的洛朗展开式式(包括泰勒展开式作为它的特例包括泰勒展开式作为它的特例).回答：不矛盾回答：不矛盾.朗展开式是唯一的朗展开式是唯一的)问题：这与洛朗展开式的唯一性是否相矛盾问题：这与洛朗展开式的唯一性是否相矛盾?(唯一性唯一性:指函数在某一个给定的圆环域内的洛指函数在某一个给定的圆环域内的洛24机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例3 3
8、解解 25机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例4 将函数将函数在在内展成洛朗展式内展成洛朗展式.解解26机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例5 5内的洛朗展开式内的洛朗展开式.解解 27机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 28机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 29机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 四、解析函数的孤立奇点四、解析函数的孤立奇点定义定义 如果函数如果函数在在 不解析不解析,但但在在的某一去心邻域的某一去心邻域内处处解析内处处解析,则则称称为为的的孤立奇
9、点孤立奇点.例例是函数是函数的孤立奇点的孤立奇点.注意注意:孤立奇点一定是奇点孤立奇点一定是奇点,但奇点不一定是孤但奇点不一定是孤立奇点立奇点.30机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例1 1 指出函数指出函数在点在点的奇点特性的奇点特性.解解即在即在的不论怎样小的去心邻域内的不论怎样小的去心邻域内,的奇点存在的奇点存在,函数的奇点为函数的奇点为总有总有不是孤立奇点不是孤立奇点.所以所以31机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 孤立奇点的分类孤立奇点的分类依据依据在其孤立奇点在其孤立奇点的去心邻域的去心邻域内的洛朗级数的情况分为三类内的洛朗级数的
10、情况分为三类:1可去奇点可去奇点1可去奇点可去奇点;2极点极点;3本性奇点本性奇点.如果洛朗级数中如果洛朗级数中不含不含 的负幂项的负幂项,那末孤立奇点那末孤立奇点 称为称为 的的可去奇点可去奇点.1)定义定义32机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2)2)可去奇点的判定可去奇点的判定(1)(1)由定义判断由定义判断:的洛朗级数无负的洛朗级数无负在在如果如果幂项则幂项则为为的可去奇点的可去奇点.(2)(2)判断极限判断极限若极限存在且为有限值若极限存在且为有限值,则则为为的可去奇点的可去奇点.33机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 定理定理 设函
11、数设函数 f(z)在在 0|z z0|(0 +)内解析，内解析，则则 z0为为 f(z)的可去奇点的充分必要条件是的可去奇点的充分必要条件是存在且有限存在且有限.(4.16)证证 必要性必要性设设 z0为为f(z)的可去奇点，的可去奇点，从而在从而在0|z z0|内有内有因为上式右端幂级数的和函数因为上式右端幂级数的和函数g(z)在在|z z0|内解析，内解析，特别在特别在 z=z0 处连续，处连续，当当 z z0 时，时，记记f(z)=g(z),则则34机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 充分性充分性 设在设在0|z z0|内内 f(z)的洛朗展式为的洛朗展式为则存在
12、正数则存在正数 M 和和 ()使得使得0|z z0|时，时，|f(z)|M.所以所以令令 0得得c-n=0,(n=1,2,),z0 是是f(z)的可去奇点的可去奇点.35机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例2 为为的哪种孤立奇点的哪种孤立奇点.解解 所以所以为为的可去奇点的可去奇点.无负幂项无负幂项另解另解 的可去奇点的可去奇点.为为36机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2.极点极点 且且级极点级极点.那末孤立奇点那末孤立奇点称为函数称为函数的的1)定义定义 如果洛朗级数中如果洛朗级数中只有有限多个只有有限多个的的负幂项负幂项,37机动机动
13、 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2)极点的判定方法极点的判定方法的负幂项为有的负幂项为有的洛朗展开式中含有的洛朗展开式中含有限项限项.在点在点 的某去心邻域内的某去心邻域内其中其中 在在 的邻域内解析的邻域内解析,且且 (1)由定义判别由定义判别(2)由定义的等价形式判别由定义的等价形式判别(3)利用极限利用极限判断判断.38机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 定理定理4.17 设函数设函数 f(z)在在 0|z z0|内解析内解析,则则z0为为 f(z)的的 m 级极点的充分必要条件是级极点的充分必要条件是 f(z)在在 0|z z0|内可表示为内
14、可表示为的形式，其中的形式，其中 (z)在在z0解析，且解析，且 (z0)0.证证必要性必要性设设f(z)在在0|z z0|内解析内解析,z0为为f(z)的的m级极点，级极点，那么在那么在0|z z0|内，内，f(z)有洛朗展式有洛朗展式39机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 这里这里c-m 0.于是于是其中其中 (z)是在是在 z0附近附近 的幂级数，收敛半径仍为的幂级数，收敛半径仍为.故在故在 z0 解析，且解析，且 (z0)0.充分性充分性设设把把 (z)在在z=z0 的邻域内展开成幂级数，则的邻域内展开成幂级数，则40机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回
15、返回 结束结束 于是于是 z0为为f(z)的的 m 级极点级极点.定理定理4.18 z=z0为函数为函数f(z)的的 m 级极点的充分必要级极点的充分必要条件是条件是 在在 z0 解析且以解析且以z0为为m 级零点级零点.定理定理4.19 设设 z0 为函数为函数f(z)的孤立奇点，的孤立奇点，则则 z0为为 f(z)的极点的充分必要条件是的极点的充分必要条件是41机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 课堂练习课堂练习求求的奇点的奇点,如果是极点如果是极点,指出它的指出它的级数级数.答案答案42机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 本性奇点本性奇点3
16、.如果洛朗级数中如果洛朗级数中含有无穷多个含有无穷多个那末孤立奇点那末孤立奇点称为称为的本性奇点的本性奇点.的负幂项的负幂项,例如，例如，含有无穷多个含有无穷多个z的负幂项的负幂项 特点特点:在本性奇点的邻域内在本性奇点的邻域内不存在且不不存在且不为为43机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例3z=0 是是的孤立奇点的孤立奇点.这三个函数在这三个函数在 z=0的去心邻域的洛朗展式分别为的去心邻域的洛朗展式分别为所以所以 z=0 分别为分别为的可去奇点，的可去奇点，一级极点和本性奇点一级极点和本性奇点.44机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例4 函数函数有些什么奇点有些什么奇点,如果是极点如果是极点,指出指出它的级它的级.解解 函数的奇点是使函数的奇点是使的点的点,这些奇点是这些奇点是是孤立奇点是孤立奇点.的一级极点的一级极点.即即45机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 解解 解析且解析且所以所以不是二级极点不是二级极点,而是一级极点而是一级极点.例例5 问问是是的二级极点吗的二级极点吗?注意注意:不能以函数的
