大理大学《线性代数》课件-第2章 矩阵及其运算

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1、第二章第二章 矩阵及其运算矩阵及其运算 2.1 矩阵的概念矩阵的概念2.2 矩阵的运算矩阵的运算2.3 可逆矩阵可逆矩阵2.4 矩阵的分块矩阵的分块2.5 矩阵的初等变换矩阵的初等变换2.6 矩阵的秩矩阵的秩大理大学线性代数第二章第二章 矩阵及其运算矩阵及其运算 2.1.1 矩阵的定义矩阵的定义 线性方程组是经济研究和经济管理中常见的一类数学模型，第一章仅对未知量和方程个数相同的线性方程组进行了讨论，而未知量和方程个数不相同时的线性方程组，可设为2.1 矩矩 阵阵 的的 概概 念念(2.1.1)第二章第二章 矩阵及其运算矩阵及其运算 它的解还没有讨论，不过可以明显地感觉到其解完全取决于未知量前

2、面的系数及常数项，取决于由这些数构成的一个矩形表，即(2.1.2)第二章第二章 矩阵及其运算矩阵及其运算 例例2.1.1 设有线性方程组未知量前面的系数及常数项构成一个矩形表，即第二章第二章 矩阵及其运算矩阵及其运算 例例2.1.2 某企业生产4种产品，各种产品的季度产值(万元)分别如表2.1所示.第二章第二章 矩阵及其运算矩阵及其运算 表表2.1 4种产品的季度产值种产品的季度产值 第二章第二章 矩阵及其运算矩阵及其运算 定义定义2.1.1 由mn个数aij(i=1，2，m；j=1，2，n)按一定次序排列成的m行n列的矩形数表(2.1.3)第二章第二章 矩阵及其运算矩阵及其运算 2.1.2

3、几种特殊矩阵几种特殊矩阵1行矩阵和列矩阵行矩阵和列矩阵当m=1时，A=(a11，a12，a1n)称做行矩阵(在第四章中也称行向量)。当n=1时，A称做列矩阵(在第四章中也称列向量)。第二章第二章 矩阵及其运算矩阵及其运算 2.零矩阵零矩阵元素都是零的矩阵称为零矩阵，记做O。注意不同型的零矩阵是不同的。如 与是不同的零矩阵。第二章第二章 矩阵及其运算矩阵及其运算 3.方阵方阵m=n的矩阵(又称n阶方阵)记做A。4.三角矩阵三角矩阵如果n阶方阵A=(aij)中的元素满足条件 aij=0 (ij)(i，j=1，2，n)即A的主对角线以下的元素都为零，则称A为上三角矩阵.类似地，当ij时，aij=0，

4、称为下三角矩阵.如第二章第二章 矩阵及其运算矩阵及其运算 5对角矩阵对角矩阵 主对角线以外的所有元素都为0的方阵称为对角矩阵。第二章第二章 矩阵及其运算矩阵及其运算 6.单位矩阵单位矩阵主对角线上元素都为1的对角矩阵称为n阶单位矩阵，记做En或E.7.对称矩阵对称矩阵设A为n阶方阵，如果满足 aij=aji (i，j=1，2，n)则称A为对称矩阵。第二章第二章 矩阵及其运算矩阵及其运算 8.反对称矩阵反对称矩阵设A为n阶方阵，如果满足 aij=-aji(i，j=1，2，n)则称A为反对称矩阵。显然反对称矩阵的主对角线元都是零.例如与第二章第二章 矩阵及其运算矩阵及其运算 例例2.1.3 四个城

5、市间单向航线如图2.1所示.若令第二章第二章 矩阵及其运算矩阵及其运算 图 2.1 第二章第二章 矩阵及其运算矩阵及其运算 则图2.1可用矩阵表示为 A=第二章第二章 矩阵及其运算矩阵及其运算 例例2.1.4 n个变量x1，x2，x3，xn与m个变量y1，y2，y3，ym之间的关系式(2.1.4)第二章第二章 矩阵及其运算矩阵及其运算 如线性变换 对应n阶方阵第二章第二章 矩阵及其运算矩阵及其运算 例如，矩阵所对应的线性变换可看做xoy平面上把点p(x，y)变为点p1(x，0)的变换(如图2.2所示)，由于点p1(x，0)是点p(x，y)在x轴上的投影(也就是向量 (x，0)是向量 (x，y)

6、在x轴上的投影向量)，因此这是一个投影变换。第二章第二章 矩阵及其运算矩阵及其运算 2.2.1 矩阵的加法与减法矩阵的加法与减法定义定义2.2.1 设有两个mn矩阵A=(aij)，B=(bij)，那么矩阵A与B的和记做A+B，并规定2.2 矩矩 阵阵 的的 运运 算算 A+B=第二章第二章 矩阵及其运算矩阵及其运算 图2.2第二章第二章 矩阵及其运算矩阵及其运算 例例2.2.1 设A=求A+B。解解 B=A+B=第二章第二章 矩阵及其运算矩阵及其运算 2.2.2 数与矩阵相乘数与矩阵相乘 定义定义2.2.2 设矩阵A=(aij)mn，为任意实数，则数与矩阵A的乘积(aij)，记做A或A，并规定

7、第二章第二章 矩阵及其运算矩阵及其运算 例例2.2.2 已知A=B=，求A-2B。解解 A-2B=第二章第二章 矩阵及其运算矩阵及其运算 例例2.2.3 已知A=，B=且A+2X=B，求X。第二章第二章 矩阵及其运算矩阵及其运算 解解 第二章第二章 矩阵及其运算矩阵及其运算 2.2.3 矩阵的乘法矩阵的乘法 设有两个线性运算，即由变量x1，x2，x3到变量y1，y2的一个线性运算，以及由变量t1，t2到变量x1，x2，x3的一个线性运算，分别为(2.2.1)(2.2.2)第二章第二章 矩阵及其运算矩阵及其运算 若想求出从t1，t2到y1，y2的线性变换，可将式(2.2.2)代入式(2.2.1)

8、，便得(2.2.3)第二章第二章 矩阵及其运算矩阵及其运算 我们把线性变换(2.2.3)叫做线性运算式(2.2.1)与式(2.2.2)的乘积，相应地把式(2.2.3)所对应的矩阵定义为式(2.2.1)与式(2.2.2)所对应的矩阵的乘积，即第二章第二章 矩阵及其运算矩阵及其运算 定义定义2.2.3 设有矩阵A=(aij)ml，B=(bij)ln，则矩阵C称为矩阵A与矩阵B的乘积，记做C=AB，其中C=(cij)mn满足(2.2.4)求AB。第二章第二章 矩阵及其运算矩阵及其运算 解解 AB=第二章第二章 矩阵及其运算矩阵及其运算 例例2.2.5 求矩阵的乘积AB与BA。第二章第二章 矩阵及其运

9、算矩阵及其运算 解解 由定义，可得AB=BA=第二章第二章 矩阵及其运算矩阵及其运算 定义定义2.2.4 设A是n阶方阵，k为正整数，则称为A的k次幂。例例2.2.6 证明第二章第二章 矩阵及其运算矩阵及其运算 证证 用数学归纳法.当n=1时，等式显然成立.设n=k时成立，即设第二章第二章 矩阵及其运算矩阵及其运算 要证n=k+1时成立.此时有第二章第二章 矩阵及其运算矩阵及其运算 例例2.2.7 设f(x)=3x2-4x+1，矩阵A=求矩阵多项式f(A)。第二章第二章 矩阵及其运算矩阵及其运算 解解 因为A2所以第二章第二章 矩阵及其运算矩阵及其运算 2.2.4 矩阵的转置矩阵的转置定义定义

10、2.2.5 已知mn矩阵A=(aij)mn，将A的行列依次互换，得到一个nm矩阵，称为矩阵A的转置矩阵，记做AT或A.即第二章第二章 矩阵及其运算矩阵及其运算 例例2.2.8 已知求(AB)T。A=B=第二章第二章 矩阵及其运算矩阵及其运算 解解 解法一:因为所以AB=(AB)T第二章第二章 矩阵及其运算矩阵及其运算 解法二解法二:(AB)T=BTAT第二章第二章 矩阵及其运算矩阵及其运算 例例2.2.9 设A与B是两个n阶反对称矩阵，证明:当且仅当AB=-BA时，AB是反对称矩阵。证证 因为A与B是反对称矩阵，所以 A-AT，B=-BT若AB=-BA，则 (AB)T=BTAT=BA=-AB所

11、以AB是反对称矩阵。第二章第二章 矩阵及其运算矩阵及其运算 反之，若AB反对称，即 (ABT=-AB则 AB=-(ABT=-BTAT=-(-B)(-A)=-BA证毕。第二章第二章 矩阵及其运算矩阵及其运算 例例2.2.10 设列矩阵X=(x1，x2，xn)T 满足XTX=1，E为n阶单位矩阵，H=E-2XXT，证明H是对称矩阵，且HHT=E。证明前请注意:XTX=x21+x22+x2n是一阶方阵，也就是一个数，而XXT是n阶方阵。证证 HT=(E-2XXT)T=ET-2(XXT)T=E-2XXT=H第二章第二章 矩阵及其运算矩阵及其运算 所以H是对称矩阵。第二章第二章 矩阵及其运算矩阵及其运算

12、 2.2.5 方阵的行列式方阵的行列式 定义定义2.2.6 由n阶方阵A的元素所构成的n阶行列式(各元素的位置不变)，称为方阵A的行列式，记做|A|或detA，即第二章第二章 矩阵及其运算矩阵及其运算 在此我们仅证明(3).设A=(aij)，B=(bij).记2n阶行列式第二章第二章 矩阵及其运算矩阵及其运算 例例2.2.11 设A为三阶矩阵，|A|=-2，求|2A|。解解 由于A为三阶矩阵，则|2A|=23|A|=8(-2)=-16。例例2.2.12 设n阶方阵A=(aij)mn，行列式|A|的各个元素的代数余子式Aij所构成的如下矩阵(2.2.6)第二章第二章 矩阵及其运算矩阵及其运算 证

13、证 设A=(aij)，记AA*=(bij)，则bij=ai1Aj1+ai2Aj2+ainAjn=|A|ij故 AA*=(|A|ij)=|A|(ij)=|A|E类似有 第二章第二章 矩阵及其运算矩阵及其运算 定义定义2.3.1 设A为n阶方阵，如果存在一个n阶方阵B，使 AB=BA=E (2.3.1)定义定义2.3.2 若n阶方阵A的行列式|(A|)0，则称A是非奇异矩阵(或非退化矩阵)，否则称A为奇异矩阵(或退化矩阵)。定理定理2.3.1 n阶方阵A可|(A|)0，即A是非奇异矩阵，且当A可逆时 (2.3.2)2.3 可可 逆逆 矩矩 阵阵 第二章第二章 矩阵及其运算矩阵及其运算 例例2.3.

14、1 如果A=其中ai0(i=1，2，n)。验证A-1第二章第二章 矩阵及其运算矩阵及其运算 证证 因为第二章第二章 矩阵及其运算矩阵及其运算 A-1=所以第二章第二章 矩阵及其运算矩阵及其运算 例例2.3.2 判断下列矩阵是否可逆，若可逆，求其逆矩阵:A=第二章第二章 矩阵及其运算矩阵及其运算 解解 求得|A|=20，所以A可逆，又因为 A11=2，A21=6，A31=-4 A12=-3，A22=-6，A32=5 A13=2，A23=2，A33=-2第二章第二章 矩阵及其运算矩阵及其运算 得 所以 A第二章第二章 矩阵及其运算矩阵及其运算 例例2.3.3 证明矩阵A=无逆矩阵。证证 假定A有逆

15、矩阵B=(bij)22使AB=BA=E2，则=E2第二章第二章 矩阵及其运算矩阵及其运算 例例2.3.4 设求矩阵X使其满足ABCAXB=C第二章第二章 矩阵及其运算矩阵及其运算 例例2.3.5 若方阵A满足A2-3A-4E=O，证明A和A-2E都可逆，并求A-1，(A-2E-1。证证 由A2-3A-4E=O得A(A-3E)=4E，即第二章第二章 矩阵及其运算矩阵及其运算 例例2.3.6 设P=，AP=P ，求An。解解 而第二章第二章 矩阵及其运算矩阵及其运算 故 An=第二章第二章 矩阵及其运算矩阵及其运算 在矩阵的运算中，如果行数和列数较大的矩阵，可以考虑将它们进行分块，将大矩阵的运算转

16、化成小矩阵的运算。所谓矩阵的分块，就是用若干条纵线和横线把一个矩阵A分成多个小矩阵，每个小矩阵称为A的子块，以子块作为元素，这种形式上的矩阵称为分块矩阵.对于一个矩阵，可以给出多种分块的方法。2.4 矩矩 阵阵 的的 分分 块块 第二章第二章 矩阵及其运算矩阵及其运算 例如将34矩阵A分法(1)可记为 第二章第二章 矩阵及其运算矩阵及其运算 其中 A11A12A21A22第二章第二章 矩阵及其运算矩阵及其运算(1)设A、B均为mn矩阵，将A、B按同样的方式分块，即得分块矩阵第二章第二章 矩阵及其运算矩阵及其运算 其中Aij与Bij的行数相同、列数相同，则(2.4.1)第二章第二章 矩阵及其运算矩阵及其运算 (2)设A=，k为常数，那么(2.4.2)第二章第二章 矩阵及其运算矩阵及其运算 (3)设A为mn矩阵，B为nm矩阵，分块成其中Ai1，Ai2，Ait的列数分别等于B1j，B2j，Btj的行数，那么第二章第二章 矩阵及其运算矩阵及其运算(4)设A=，则(2.4.4)第二章第二章 矩阵及其运算矩阵及其运算(5)设A为n阶矩阵，若A的分块矩阵只有在主对角线上有非零子块，其余子块都为零矩阵