大理大学《线性代数》课件-第6章 二次型

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1、第六章第六章 二次型二次型 6.1 二次型及其标准形二次型及其标准形6.2 化二次型为标准形化二次型为标准形6.3 正定二次型正定二次型 大理大学线性代数第六章第六章 二次型二次型 6.1.1 二次型二次型定义定义6.1.1 含有n个变量x1，x2，xn的二次齐次多项式 (6.1.1)6.1 二次型及其标准形二次型及其标准形 第六章第六章 二次型二次型 取aij=aji(i，j=1，2，n)，则2aijxixj=aijxixj+ajixjxi，于是式(6.1.1)可写成(6.1.2)第六章第六章 二次型二次型 对于二次型，我们主要讨论的问题是:如何寻求可逆的线性变换使得二次型只含平方项，也就是

2、把式(6.1.3)代入式(6.1.2)，使二次型化为(6.1.3)第六章第六章 二次型二次型 例例6.1.1 (1)f(x，y)=x2+3xy+y2是一个含有2个变量的实二次型。(2)f(x，y，z)=3x2+2xy+xz-y2-4yz+5z2是一个含有3个变量的实二次型。(3)f(x1，x2，x3，x4)=x21+x22+x23-x24是一个含有4个变量的实二次型.(4)f(x1，x2，x3，x4)=x1x2+2x1x3-4x1x4+3x2x4是一个含有4个变量的实二次型。第六章第六章 二次型二次型(5)f(x，y)=x2+xy-y2+5x+1不是一个实二次型，因为它含有一次项5x及常数项1

3、。(6)f(x1，x2，x3)=x31+x1x2+x1x3不是一个实二次型，因为它含有三次项x31。(7)f(x，y)=x2+iy2(i=)不是一个实二次型，因为i是虚数，但它是一个复二次型。第六章第六章 二次型二次型 6.1.2 二次型的矩阵表示形式二次型的矩阵表示形式利用矩阵，二次型可表示为第六章第六章 二次型二次型 第六章第六章 二次型二次型 这里aij=aji(i，j=1，2，n)，记则二次型可记做 f=xTAx (6.1.4)第六章第六章 二次型二次型 例例6.1.2 用矩阵形式将二次型f=x12+3x32-2x1x2+2x1x3+4x2x3写出来。解解 令得第六章第六章 二次型二次

4、型 例如，二次型x1x2+x1x3+2x22-3x2x3的矩阵是第六章第六章 二次型二次型 反之，对称矩阵 所对应的二次型是第六章第六章 二次型二次型 例例6.1.3 写出下列实二次型相应的对称矩阵。(1)f(x，y)=x2+3xy+y2=x2+xy+y2，其矩阵为 (2)f(x，y，z)=3x2+2xy+xz-y2-4yz+5z2 =3x2+xy+xz+xy-y2-2yz +xz-2yz+5z2 第六章第六章 二次型二次型 相应的实对称矩阵为(3)f(x1，x2，x3，x4)=x21+x22+x23-x24，相应的实对称矩阵是一个对角矩阵:第六章第六章 二次型二次型 例例6.1.4 设有实对

5、称矩阵，求A对应的实二次型。解解 A是三阶阵，故有3个变量，则实二次型为第六章第六章 二次型二次型 例例6.1.5 求二次型f(x1，x2，x3)=x21-4x1x2+2x1x3-2x22+6x23的秩。解解 先求二次型的矩阵.f(x1，x2，x3)=x21-2x1x2+x1x3-2x2x1-2x22+0 x2x3+x3x1+0 x3x2+6x23 第六章第六章 二次型二次型 所以A=，对A做初等变换第六章第六章 二次型二次型 6.1.3 矩阵的合同矩阵的合同定义定义6.1.2 设A，B为两个n阶方阵，如果存在n阶非奇异矩阵C，使得CTAC=B，则称矩阵A合同于矩阵B，或A与B合同，记为A B

6、。矩阵的合同关系具有如下基本性质:(1)反身性 对任意方阵A，A A(因为ETAE=A);(2)对称性 若AB，则BA；(3)传递性 若AB，BC，则A C。第六章第六章 二次型二次型 定义定义6.1.3 关系式称为由变量x1，x2，xn到y1，y2，yn的线性变换。矩阵第六章第六章 二次型二次型 对于一般二次型f(X)=XTAX，我们的问题是:寻求可逆的线性变换X=CY将二次型化为标准形,将其代入得f(X)=XTAX=(CY)T A(CY)=YT(CTAC)Y第六章第六章 二次型二次型 定理定理6.1.1 任给可逆矩阵C，令B=CTAC，如果A为对称矩阵，则B亦为对称矩阵，且R(A)=R(B

7、)。证证 A为对称矩阵，即有AT=A，于是BT=(CTACT=CTATC=CT AC=B即B为对称矩阵。第六章第六章 二次型二次型 例例6.1.6 设二次型f(x1，x2，x3)=2x1x2-4x1x3+10 x2x3，且(6.1.5)解解 因f(x1，x2，x3)相对应的矩阵第六章第六章 二次型二次型 而式(6.1.5)所决定的变换矩阵第六章第六章 二次型二次型 若二次型f(x1，x2，xn)经可逆线性变换x=Cy化为只含平方项的形式b1y21+b2y22+bny2n则称之为二次型f(x1，x2，xn)的标准形。要使二次型f经可逆变换x=Cy变成标准形，即要使6.2 化二次型为标准形化二次型

8、为标准形 第六章第六章 二次型二次型 6.2.1 用配方法化二次型为标准形用配方法化二次型为标准形定理定理6.2.1 任一二次型都可以通过可逆线性变换化为标准形.即对任一实对称矩阵A，一定存在非奇异矩阵C，使B=CTAC为对角矩阵。定理6.2.1说明任一实对称矩阵都与一个对角矩阵合同。例例6.2.1 将f(x1，x2，x3)=x21+2x1x2+2x1x3+2x22+4x2x3+x23化为标准形。第六章第六章 二次型二次型 解解 因标准形是平方项的代数和，可利用配方法解之.f(x1，x2，x3)=x21+2x1x2+2x1x3+2x22+4x2x3+x23 =x21+2x1(x2+x3)+(x

9、2+x3)2-(x2+x3)2+2x22+4x2x3 +x23=(x1+x2+x3)2+x22+2x2x3 =(x1+x2+x3)2+(x2+x3)2-x23 (6.2.1)第六章第六章 二次型二次型 令即第六章第六章 二次型二次型 其线性变换矩阵的行列式|C|=，代入式(6.2.1)得二次型的标准形 该二次型的矩阵为 ，而原二次型的矩阵为 ，线性替换的矩阵为易验证 是对角矩阵，且第六章第六章 二次型二次型 拉格朗日配方法的步骤:(1)若二次型中含有xi的平方项，则先把含有xi的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量进行同样的过程直到所有变量都配成平方项为止，经过可逆线性变换，就得到标准形；(2

10、)若二次型中不含有平方项，但是aij0(ij)，则先做可逆变换 (k=1，2，n且ki，j)化二次型为含有平方项的二次型，然后再按(1)中方法配方。第六章第六章 二次型二次型 例例6.2.2 化 二次型f=x21+2x22+5x23+2x1x2+2x1x3+6x2x3为标准形，并求所用的变换矩阵。解解 第六章第六章 二次型二次型 令 第六章第六章 二次型二次型 所以 。所用变换矩阵为 即第六章第六章 二次型二次型 例例6.2.3 化二次型 成标准形，并求所用的变换矩阵。解解 由于所给二次型中无平方项，所以令第六章第六章 二次型二次型 代入原二次型得 ，再配方得令 即 第六章第六章 二次型二次型

11、 代入原二次型得标准形所用变换矩阵为第六章第六章 二次型二次型 例例6.2.4 用配方法将下列二次型化为标准形:f(x1，x2，x3，x4)=2x1x2-x1x3+x1x4-x2x3+x2x4-2x3x4 解解 因缺少了x2i(i=1，2，3，4)的项，无法配方。但可做如下变换(6.2.2)第六章第六章 二次型二次型 代入原二次型得关于yi的二次型这时y2i项的系数不为零，故可以进行配方第六章第六章 二次型二次型 令(6.2.3)第六章第六章 二次型二次型 故标准形为 .为求变换阵C，从式(6.2.3)解出第六章第六章 二次型二次型 代入式(6.2.2)，得于是 ，所用线性变换为x=Cz。第六

12、章第六章 二次型二次型 6.2.2 用初等变换化二次型为标准形用初等变换化二次型为标准形设有可逆线性变换为X=CY，它把二次型XTAX化为标准形YTBY，则CTAC=B.由于对任何方阵都存在非奇异矩阵C，使CTAC为对角阵，因为C是可逆的，可表示成一系列初等矩阵的乘积，设为C=P1P2Ps，所以 CT=PTsPT2PT1于是 (6.2.4)第六章第六章 二次型二次型 式(6.2.4)表示对实对称矩阵A施行初等列变换的同时也施行相应的行变换，即可将A化为对角阵，又因为 C=P1P2Ps=EP1P2Ps (6.2.5)式(6.2.5)表示单位阵在相同的初等列变换下就化为C。由此可见，对2nn矩阵

13、施以相应于右乘P1P2Ps的初等列变换，再施以相应于左乘PT1PT2 PTs的初等行变换，则矩阵A变为对角矩阵B，而单位矩阵E就变为所要求的可逆矩阵C。第六章第六章 二次型二次型 例例6.2.5 求一可逆线性变换将化为标准形。解解 二次型对应的矩阵为 ，利用初等变换，有第六章第六章 二次型二次型 因此，C=，|C|=10。第六章第六章 二次型二次型 令 代入原二次型可得标准形为z21+z22-z23。第六章第六章 二次型二次型 例例6.2.6 求一可逆线性变换化2x1x2+2x1x3-4x2x3为标准形。解解 此二次型对应的矩阵为第六章第六章 二次型二次型 做初等变换第六章第六章 二次型二次型

14、 第六章第六章 二次型二次型 第六章第六章 二次型二次型 所以，令 第六章第六章 二次型二次型 6.2.3 用正交变换化二次型为标准形用正交变换化二次型为标准形定理定理6.2.2 任给二次型，总有正交变换X=PY，使f化为标准形其中1，2，n是f的矩阵A=(aij)的特征值。第六章第六章 二次型二次型 例例6.2.7 求正交变换x=Py，化二次型为标准形。解解(1)写出二次型的矩阵形式 (2)实对称矩阵第六章第六章 二次型二次型 由例5.4.1知，其特征值为1=-1，2=2，3=5，且存在正交矩阵使得第六章第六章 二次型二次型 (3)于是，所给二次型f经正交变换化为标准形第六章第六章 二次型二

15、次型 例例6.2.8 将二次型 通过正交变换x=Py，化成标准形。解解(1)写出二次型矩阵:(2)求其特征值。由第六章第六章 二次型二次型(3)求特征向量将1=9代入(E-A)x=0，得基础解系1=(1/2，1，1)T。将2=3=18代入(E-A)x=0，得基础解系2=(-2，1，0)T，3=(-2，0，1)T.(4)将特征向量正交化 取1=1，2=2，3=3-，得正交向量组:1=(，1，1)T，2=(-2，1，0)T，3=(，1)T第六章第六章 二次型二次型 将其单位化得第六章第六章 二次型二次型 做正交矩阵 (5)故所求正交变换为 第六章第六章 二次型二次型 例例6.2.9 求正交变换x=

16、Py，化二次型 f=2x1x2+2x1x3-2x1x4-2x2x3+2x2x4+2x3x4为标准形。解解 二次型的矩阵为第六章第六章 二次型二次型 它的特征多项式为第六章第六章 二次型二次型 于是A的特征值为1=-3，2=3=4=1。第六章第六章 二次型二次型 当1=-3时，解方程(A+3E)x=0，由第六章第六章 二次型二次型 得基础解系单位化即得 第六章第六章 二次型二次型 当2=3=4=1，解方程(A-E)x=0，由可得正交的基础解系第六章第六章 二次型二次型 单位化即得于是正交变换为 第六章第六章 二次型二次型 且有 一般地，任何二次型都可以用上面的方法找到可逆变换，把二次型化成标准形，且标准形中含有的项数就是二次型的秩。第六章第六章 二次型二次型 例例6.2.10 秩为2。(1)求c；(2)用正交变换化f(x1，x2，x3)为标准形；(3)f(x1，x2，x3)=1表示哪类二次曲面？解解(1)f的矩阵为 (显见R(A)2)第六章第六章 二次型二次型 (2)第六章第六章 二次型二次型 1=0，2=4，3=9的特征向量依次为它们两两正交，单位化后得下面正交矩阵第六章第六章 二次型