《微积分》教学课件05定积分及其应用

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1、 第五章定积分及其应用（1）理解定积分的定义和几何意义.（2）理解定积分的基本性质，并能熟练地运用这些性质.（3）熟练使用微积分基本公式计算定积分.（4）熟练掌握定积分的换元积分法和分部积分法.（5）了解反常积分及其敛散性的概念.（6）掌握定积分在几何问题中的应用.第五章 定积分及其应用学习目标目录Contents第一节 定积分的定义及几何意义第二节 定积分的性质第三节 微积分基本定理第四节 定积分的换元积分法 与分部积分法第五节 广义积分第六节 定积分的应用01定积分的定义及几何意义在初等数学中，我们已经学会求矩形、三角形、梯形等以直线为边的图形的面积.但在实际应用中，往往需要求以曲线为边的

2、图形（曲边形）的面积.设y=f(x)是区间a,b上非负、连续的函数.在直角坐标系中，由曲线y=f(x)、直线x=a，x=b和y=0所围成的平面图形称为曲边梯形，如图51所示.第一节 定积分的定义及几何意义一、定积分定义的引入图5-1第一节 定积分的定义及几何意义一、定积分定义的引入任何一个曲边形总可以划分成多个曲边梯形来考虑，因此，求曲边形的面积就转化为求曲边梯形的面积.那么，如何求曲边梯形的面积呢？显然，这个问题的难点在于曲边y=f(x).如果f(x)恒为常数，那么曲边梯形便成了矩形，其面积可按矩形面积公式求得.而曲边梯形在底边上各点的高f(x)在区间a,b上是变化的，故它的面积不能直接按矩

3、形的面积公式来计算.然而，由于f(x)在区间a,b上是连续变化的，那么在很小一段区间上，f(x)的变化也很小，第一节 定积分的定义及几何意义一、定积分定义的引入因此，当把x局限于很小的子区间x内时，则可用以x为底，x上任取一点的函数值f()为高的小矩形的面积来近似代替以x为底的小曲边梯形的面积.不妨把a,b分割成n个长度很小的小区间，对应的n个小矩形面积之和就是原曲边梯形面积的近似值，a,b被分割得越细，这种近似表示的精确度就越高.因此，把a,b无限细分下去，使每个小区间的长度都趋于零，这时所有小矩形面积之和的极限就是所求曲边梯形面积的精确值，如图5-2所示.图5-2（1）分割.在区间a,b上

4、任意插入若干个分点：a=x0 x1x2xn1xn=b把区间a,b分成n个小区间x0,x1,x1,x2,xn1,xn，每个小区间的长度记为 xi=xixi1(i=1,2,n).过每个分点xi作平行于y轴的直线段,把曲边梯形分成n个小曲边梯形，第i个小曲边梯形的面积记作Ai(i=1,2,n).（2）近似代替.在每个小区间xi1,xi上任取一点i，则小曲边梯形的面积Ai可用以xi1,xi为底、f(i)为高的小矩形面积f(i)xi来近似代替，即 Aif(i)xi(i=1,2,n)第一节 定积分的定义及几何意义一、定积分定义的引入（3）求和.把n个小矩形的面积加起来，就得出所求曲边梯形面积A的近似值，即

5、 （4）取极限.为了确保分割是无限细密的，使所有小区间的长度都趋于零，我们记小区间长度的最大值为=maxx1,x2,xn，如果当0时，和式 f(i)xi的极限存在，则此极限值就是曲边梯形的面积A，即 第一节 定积分的定义及几何意义一、定积分定义的引入2.变速直线运动的路程设某物体做直线运动，已知速度v=v(t)是时间间隔T1,T2上t的连续函数，且v(t)0，求物体在这段时间内所经过的路程s.若物体做匀速直线运动，则有下列公式：路程=速度时间而现在物体做的是变速直线运动，速度随时间t而变化，因此求变速直线运动的路程就不能直接应用上面的公式.然而，由于v(t)是t的连续函数，在很短一段时间内，其

6、速度的变化也不大，可近似看作匀速的情形.因此，若把时间间隔T1,T2划分为许多个小时间段，在每个小时间段内，以匀速运动代替变速运动，则可以计算出在每个小时间段内路程的近似值；然后把所有这些近似值加起来，就得到整个路程的近似值；最后，在时间间隔无限变小的过程中求出近似值的极限，从而得到整个路程的精确值.具体步骤如下：第一节 定积分的定义及几何意义一、定积分定义的引入（1）分割.在时间间隔T1,T2上任意插入n1个分点：T1=t0t1t2tn1tn=T2这样，将T1,T2分成n个小时间段区间t0,t1,t1,t2,tn1,tn，每个小区间的长度记为ti=titi1(i=1,2,n).设物体在第i个

7、时间间隔ti1,ti内所走过的路程为si.（2）近似.在每个小时间段ti1,ti上任取一个时刻i，则以物体在时刻i的速度v(i)去近似代替变化的速度v(t)，就可得到物体在短时间段ti1,ti内经过的路程si的近似值，即 siv(i)ti(i=1,2,n)第一节 定积分的定义及几何意义一、定积分定义的引入（3）求和.将这些近似值加起来，就得到变速直线运动总路程的近似值，即（4）取极限.为使分割充分细密，取=maxt1,t2,tn，当0时，和式 v(i)ti的极限就是变速直线运动路程的精确值，即第一节 定积分的定义及几何意义一、定积分定义的引入第一节 定积分的定义及几何意义二、定积分的定义从上面

8、两个例子我们可以看到，尽管两个问题的实际背景完全不同，但分析问题和解决问题的方法是相同的，都是经过分割、近似、求和、取极限的步骤，最后归结为求同一结构和式的极限.还有许多实际问题的解决也可归结于求这类和式的极限.因此，我们有必要在抽象的形式下研究它，这样就引出了定积分的定义.定义5-1 设函数f(x)在闭区间a,b上有界，在a,b中任意插入若干个分点：a=x0 x1x2xn1xn=b把a,b分割成n个小区间x0,x1,x1,x2,xn1,xn，各个小区间的长度依次为 x1=x1x0,x2=x2x1,xn=xnxn1在每个小区间xi1,xi上任取一点ixi1ixi作函数值f(i)与小区间长度xi

9、的乘积f(i)xi(i=1,2,n)，并作和式第一节 定积分的定义及几何意义二、定积分的定义记=maxx1,x2,xn，如果不论对a,b怎样划分，也不论在小区间xi1,xi上怎样选取点i，只要当0时，和Sn总趋于确定的极限I，我们就称这个极限值I为函数f(x)在区间a,b上的定积分，记为其中，f(x)叫作被积函数；f(x)dx叫作被积表达式；x叫作积分变量；a,b叫作积分区间，a叫作积分下限，b叫作积分上限；“”是积分号.和式Sn=f(i)xi通常称为函数f(x)的积分和.第一节 定积分的定义及几何意义二、定积分的定义对于定积分的定义，需要做以下几点说明：（1）定积分 是一种特定的和式极限，其

10、极限值与区间a,b的分法及i的取法无关.（2）定积分 表示一个数值，只取决于被积函数f(x)和积分区间a,b，与积分变量用什么字符表示无关，即有第一节 定积分的定义及几何意义二、定积分的定义（3）若 存在，则称f(x)在区间a,b上可积.否则，称f(x)在区间a,b上不可积.（4）在定积分 的定义中，下限a必须小于上限b.但为了以后讨论和应用的方便，认为定积分的下限也可以大于或等于上限，并规定：第一节 定积分的定义及几何意义二、定积分的定义给出了定积分的定义后，自然会考虑这样的问题：函数f(x)在区间a,b上满足怎样的条件，使其在区间a,b上一定可积？这个问题比较复杂，我们只给出如下结论：定理

11、5-1 若函数f(x)在区间a,b上连续，则f(x)在区间a,b上可积.定理5-2 若函数f(x)在区间a,b上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在区间a,b上可积.以上两个条件都是充分条件，但不是必要条件.第一节 定积分的定义及几何意义二、定积分的定义对于区间a,b上的连续函数f(x)，其定积分的几何意义如下：（1）如果在a,b上f(x)0，则定积分 表示由曲线y=f(x)与直线x=a，x=b及x轴围成的曲边梯形的面积A（图5-3），即（2）如果在a,b上f(x)0，则定积分 表示由曲线y=f(x)与直线x=a，x=b及 x轴围成的曲边梯形的面积的负值（图5-4），即第一节 定积分的定义及

12、几何意义二、定积分的定义第一节 定积分的定义及几何意义二、定积分的定义图5-3图5-4第一节 定积分的定义及几何意义二、定积分的定义图5-5（3）如果在a,b上f(x)既取正值又取负值，则定积分 表示由曲线y=f(x)与直线x=a，x=b及x轴围成的平面图形面积的代数和（图5-5），即例5-1用定义计算定积分 解因为f(x)=x2是0,1上的连续函数，所以它是可积的.由于积分值与区间的划分方式及i的取法无关，所以在用定义求定积分时，可用最便于求和及求极限的方式来划分区间及取i.现为了计算方便，把0,1分为n等份，在xi1,xi上取i=xi=in(i=1,2,n)，于是得到积分和为第一节 定积分

13、的定义及几何意义二、定积分的定义故02定积分的性质第二节 定积分的性质为了进一步讨论定积分的理论与计算，本节我们要介绍定积分的一些性质.在以下的讨论中，我们假定各性质中所列出的定积分都是存在的.性质5-1 两个函数代数和的定积分等于它们定积分的代数和.即证明 由定积分的定义及极限的运算法则，有 性质5-1可推广到任意有限多个函数的代数和的情况.类似地，可以证明性质5-2和性质5-3.性质5-2被积函数的常数因子可以提到积分号外，即性质5-3若在区间a,b上，有f(x)1，则性质5-4如果将积分区间分成两部分，则在整个区间上的定积分等于这两个区间上的定积分之和.即若ac0.解 令x=asin t

14、，0t ，则dx=acos tdt.当x=0时，t=0；当x=a时，t=.于是该题也可由定积分的几何意义得到积分值例5-13 计算 解 设t=cos x，则dt=sin xdx.当x=0时，t=1，当x=时，t=0.于是第四节 定积分的换元积分法与分部积分法一、定积分的换元积分法于是第四节 定积分的换元积分法与分部积分法一、定积分的换元积分法第四节 定积分的换元积分法与分部积分法一、定积分的换元积分法例5-16 设f(x)在a,a上连续（a0），证明：证明 （1）由定积分对积分区间的可加性，有第四节 定积分的换元积分法与分部积分法一、定积分的换元积分法故有（2）若f(x)为偶函数，则f(x)+

15、f(x)=2f(x)，从而（3）若f(x)为奇函数，则f(x)+f(x)=0，故 第四节 定积分的换元积分法与分部积分法一、定积分的换元积分法第四节 定积分的换元积分法与分部积分法二、定积分的分部积分法定积分的分部积分法与不定积分的分部积分法有类似的公式.设函数u=u(x)，v=v(x)在区间a,b上具有连续导数u(x)和v(x)，则有 这就是定积分的分部积分公式.该公式表明原函数已经积出的部分uv可以先用上、下限代入，而不必等到整个原函数全部求出后再代入上、下限.第四节 定积分的换元积分法与分部积分法二、定积分的分部积分法第四节 定积分的换元积分法与分部积分法二、定积分的分部积分法第四节 定

16、积分的换元积分法与分部积分法二、定积分的分部积分法第四节 定积分的换元积分法与分部积分法二、定积分的分部积分法从而有第四节 定积分的换元积分法与分部积分法二、定积分的分部积分法利用这个递推公式，可得注意到每次应用该公式时，In用下标减少2的In2来表示，因此根据n的奇偶性，递推过程可以直到I1或I0时为止.显然I0=，I1=1，于是最后得到05广 义 积 分第五节 广 义 积 分在前面，我们讨论的定积分都是积分区间为有限区间，并且被积函数在该区间上为有界函数.但在理论研究和实际应用中，经常会遇到积分区间无限或被积函数无界的积分，这就不属于前面所讲的定积分了.因此就需要将定积分的概念加以拓展，得到本节要讲的广义积分，也称为反常积分.第五节 广 义 积 分定义5-2 设函数f(x)在区间a,+)上连续，任取ba，如果极限 存在，则称此极限值为函数f(x)在无穷区间a,+)上的广义积分，并记作 即此时也称广义积分 f(x)dx收敛；如果上述极限不存在，则称广义积分 f(x)dx发散，此时记号 f(x)dx不再表示数值.一、无穷区间上的广义积分类似地，设函数f(x)在区间(,b上连续，任取a1