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1、经典控制理论经典控制理论 与与现代控制理论现代控制理论 数学模型数学模型 传递函数传递函数状态方程状态方程 分析方法分析方法 时域、根轨迹、频域时域、根轨迹、频域 研究内容研究内容 稳定性稳定性 特点特点 单单I/O外部特性外部特性单、多单、多I/O内、外特性内、外特性第七章第七章 状态空间分析状态空间分析 状态空间模型状态空间模型 状态方程求解状态方程求解 系统的可控性和可观测性系统的可控性和可观测性 线性变换与标准形线性变换与标准形 极点配置和状态观测器极点配置和状态观测器71 系统数学描述的基本类型系统数学描述的基本类型 外部描述输入外部描述输入-输出描述输出描述反映外部变量间即输入与输
2、出之间的因果反映外部变量间即输入与输出之间的因果反映外部变量间即输入与输出之间的因果反映外部变量间即输入与输出之间的因果关系关系关系关系传递函数传递函数传递函数传递函数 内部描述状态空间描述内部描述状态空间描述基于系统内部结构分析的一类数学模型，基于系统内部结构分析的一类数学模型，基于系统内部结构分析的一类数学模型，基于系统内部结构分析的一类数学模型，通常由通常由通常由通常由状态方程状态方程状态方程状态方程和和和和输出方程输出方程输出方程输出方程组成，对系统组成，对系统组成，对系统组成，对系统进行一种完全的描述，表征系统的所有动进行一种完全的描述，表征系统的所有动进行一种完全的描述，表征系统的
3、所有动进行一种完全的描述，表征系统的所有动力学特征力学特征力学特征力学特征3第七章 状态空间分析71 概念状态、状态变量概念状态、状态变量 状态状态系统在时间域中的行为或运动信息的集合系统在时间域中的行为或运动信息的集合系统在时间域中的行为或运动信息的集合系统在时间域中的行为或运动信息的集合 状态变量状态变量确定系统状态的一组独立（数目最小）的变量确定系统状态的一组独立（数目最小）的变量确定系统状态的一组独立（数目最小）的变量确定系统状态的一组独立（数目最小）的变量状态变量选取不唯一，物理上不一定可量测状态变量选取不唯一，物理上不一定可量测状态变量选取不唯一，物理上不一定可量测状态变量选取不唯
4、一，物理上不一定可量测符号符号符号符号 x x1 1(t),x(t),x2 2(t),(t),x xn n(t(t)4第七章 状态空间分析71 概念状态向量、空间概念状态向量、空间 状态向量状态向量描述系统状态的描述系统状态的描述系统状态的描述系统状态的n n个状态变量看作向量即个状态变量看作向量即个状态变量看作向量即个状态变量看作向量即 x(t)=x(t)=x x1 1(t),x(t),x2 2(t),(t),x xn n(t)(t)T T则向量则向量则向量则向量 x(t)x(t)称为称为称为称为n n维状态向量维状态向量维状态向量维状态向量给定给定给定给定 t=tt=t0 0时的初始状态向
5、量时的初始状态向量时的初始状态向量时的初始状态向量x(tx(t0 0)及及及及t t t t0 0 的输入向的输入向的输入向的输入向量量量量u(t)u(t)，则则则则t t t t0 0的状态由状态向量的状态由状态向量的状态由状态向量的状态由状态向量x(t)x(t)唯一确定唯一确定唯一确定唯一确定 状态空间状态空间以以以以n n个状态向量作为基底所组成的个状态向量作为基底所组成的个状态向量作为基底所组成的个状态向量作为基底所组成的n n维空间维空间维空间维空间5第七章 状态空间分析71 概念状态方程概念状态方程 状态方程状态方程描述系统状态变量与输入变量之间关系的一阶微描述系统状态变量与输入变
6、量之间关系的一阶微描述系统状态变量与输入变量之间关系的一阶微描述系统状态变量与输入变量之间关系的一阶微分方程组（连续）或一阶差分方程组（离散）分方程组（连续）或一阶差分方程组（离散）分方程组（连续）或一阶差分方程组（离散）分方程组（连续）或一阶差分方程组（离散）一般形式一般形式 状态方程表征了系统由输入所引起的内部状态方程表征了系统由输入所引起的内部状态变化状态变化 状态空间法状态空间法用一组一阶微分方程来描述系统的动态特性用一组一阶微分方程来描述系统的动态特性用一组一阶微分方程来描述系统的动态特性用一组一阶微分方程来描述系统的动态特性6第七章 状态空间分析71 概念状态方程概念状态方程 例题
7、例题1：二阶微分方程化成一阶微分方程表：二阶微分方程化成一阶微分方程表示示7第七章 状态空间分析71 概念状态方程概念状态方程 例题例题2：n 阶微分方程化成一阶阶微分方程化成一阶n维向量微分维向量微分方程表示方程表示8第七章 状态空间分析71 概念状态方程概念状态方程 例题例题3：求状态方程：求状态方程9第七章 状态空间分析71 输出方程输出方程 输出方程输出方程描述系统输出变量与系统状态变量和输入变量描述系统输出变量与系统状态变量和输入变量描述系统输出变量与系统状态变量和输入变量描述系统输出变量与系统状态变量和输入变量之间的函数关系的代数方程之间的函数关系的代数方程之间的函数关系的代数方程
8、之间的函数关系的代数方程 一般形式一般形式 输出方程表征了系统内部状态变化和输输出方程表征了系统内部状态变化和输入所引起的系统输出变化动态特性入所引起的系统输出变化动态特性10第七章 状态空间分析71 多输入多输出的输出方程多输入多输出的输出方程11第七章 状态空间分析71多输入多输出的状态方程多输入多输出的状态方程12第七章 状态空间分析71 传递矩阵传递矩阵 多变量系统与传递矩阵多变量系统与传递矩阵13第七章 状态空间分析71 传递矩阵传递矩阵 状态、输出方程与传递矩阵状态、输出方程与传递矩阵14第七章 状态空间分析71 传递矩阵传递矩阵 例题例题4：单入单出系统：单入单出系统15第七章
9、状态空间分析71 传递矩阵传递矩阵 例题例题4：单入单出系统：单入单出系统16第七章 状态空间分析71 闭环系统的传递矩阵闭环系统的传递矩阵 多入多出反馈系统多入多出反馈系统17第七章 状态空间分析71 状态方程与传递函数关系状态方程与传递函数关系 传递函数传递函数 状态空间法状态空间法18第七章 状态空间分析71 状态方程与传递函数关系状态方程与传递函数关系 传递函数传递函数 状态空间法状态空间法19第七章 状态空间分析71 状态方程与传递函数关系状态方程与传递函数关系 例题例题5：传递函数：传递函数 状态空间法状态空间法20第七章 状态空间分析72 状态状态方程求解方程求解 频域法频域法状
10、态方程求解状态方程求解状态方程求解状态方程求解输出方程求解输出方程求解输出方程求解输出方程求解状态转移矩阵状态转移矩阵状态转移矩阵状态转移矩阵 时域法时域法状态方程求解状态方程求解状态方程求解状态方程求解输出方程求解输出方程求解输出方程求解输出方程求解 传递矩阵传递矩阵传递矩阵传递矩阵21第七章 状态空间分析72 频域法频域法求解求解状态状态方程方程 状态方程求解状态方程求解状态方程求解状态方程求解状态转移矩阵状态转移矩阵状态转移矩阵状态转移矩阵例例1p185-18622第七章 状态空间分析72 频域法频域法求解求解状态状态方程方程 输出方程求解输出方程求解传递函数矩阵传递函数矩阵例例2p18
11、6-18723第七章 状态空间分析72 时域法时域法求解求解状态状态方程方程 状态方程求解状态方程求解矩阵指数矩阵指数如何求解如何求解例例3p19024第七章 状态空间分析72 时域法时域法求解求解状态状态方程方程 输出方程求解输出方程求解例例4p187，例，例5p19325第七章 状态空间分析73 可控性和可观测性可控性和可观测性稳定性稳定性利用状态方程的矩阵利用状态方程的矩阵利用状态方程的矩阵利用状态方程的矩阵A A的特征方程的特征方程的特征方程的特征方程|sIsIA|A|0 0 判判判判断系统的稳定性断系统的稳定性断系统的稳定性断系统的稳定性可控性可控性描述系统描述系统描述系统描述系统输
12、入量（控制量）对系统状态变量的输入量（控制量）对系统状态变量的输入量（控制量）对系统状态变量的输入量（控制量）对系统状态变量的控制能力控制能力控制能力控制能力可观测性可观测性描述系统描述系统描述系统描述系统输出量（观测量）确定系统状态的能输出量（观测量）确定系统状态的能输出量（观测量）确定系统状态的能输出量（观测量）确定系统状态的能力力力力26第七章 状态空间分析73 稳定性稳定性定义定义对于有限的初始状态对于有限的初始状态x(0)存在一个与有存在一个与有关的正数关的正数A，满足满足则则系统稳定系统稳定27第七章 状态空间分析73 状态空间的状态空间的稳定性稳定性利用状态方程中的矩阵利用状态方
13、程中的矩阵A的特征方程，的特征方程，应用劳斯判据判定系统的稳定性应用劳斯判据判定系统的稳定性28第七章 状态空间分析73 可控性可控性定义完全可控定义完全可控存在控制量存在控制量 初始状态初始状态 另一个状态另一个状态性质性质系统输入（控制量）对系统状态变量系统输入（控制量）对系统状态变量的控制能力的控制能力29第七章 状态空间分析73 可控性条件可控性条件可控性阵满秩可控性阵满秩30第七章 状态空间分析73 系统系统可控性求解步骤可控性求解步骤求状态方程求状态方程可控性阵可控性阵 A B可控性阵是否满秩可控性阵是否满秩 rank例题例题 p19931第七章 状态空间分析73 可观测性可观测性
14、定义定义性质性质 输出量确定系统状态的能力输出量确定系统状态的能力 已知控制量已知控制量已知控制量已知控制量 输出量输出量输出量输出量 初始状态初始状态初始状态初始状态32第七章 状态空间分析73 可观测条件可观测条件可观测性阵满秩可观测性阵满秩33第七章 状态空间分析73 系统可系统可观测性求解步骤观测性求解步骤求状态方程求状态方程可观测性阵可观测性阵 A C可观测性阵是否满秩可观测性阵是否满秩 rank例题例题 p20234第七章 状态空间分析74 线性变换和标准形线性变换和标准形 线性变换线性变换不同的状态变量描述系统的状态不同的状态变量描述系统的状态不同的状态变量描述系统的状态不同的状
15、态变量描述系统的状态线性变换后，系统的线性变换后，系统的线性变换后，系统的线性变换后，系统的特性值不变特性值不变特性值不变特性值不变可控性与可观测性不变可控性与可观测性不变可控性与可观测性不变可控性与可观测性不变输入输出关系相同输入输出关系相同输入输出关系相同输入输出关系相同 标准形标准形选取一个变换矩阵选取一个变换矩阵选取一个变换矩阵选取一个变换矩阵P P，使系统描述方程简单化使系统描述方程简单化使系统描述方程简单化使系统描述方程简单化 若当标准形若当标准形若当标准形若当标准形分析系统解的瞬态特性分析系统解的瞬态特性分析系统解的瞬态特性分析系统解的瞬态特性 同伴标准形同伴标准形同伴标准形同伴
16、标准形配置极点、观测器配置极点、观测器配置极点、观测器配置极点、观测器35第七章 状态空间分析74 线性变换线性变换定义定义系统的状态可以由不同的状态变量来描述系统的状态可以由不同的状态变量来描述系统的状态可以由不同的状态变量来描述系统的状态可以由不同的状态变量来描述36第七章 状态空间分析74 线性变换例题线性变换例题 系统的状态方程为系统的状态方程为系统的状态方程为系统的状态方程为求以求以求以求以 1 1 2 2为状态变为状态变为状态变为状态变量的系统状态方程。量的系统状态方程。量的系统状态方程。量的系统状态方程。37第七章 状态空间分析74 线性变换特征值不变线性变换特征值不变A的特征值的特征值(s),(s)极点极点特征值不变特征值不变线线 性性 变变 换换 后后，极极 点点 数数线线 性性 变变 换换 后后，极极 点点 数数 s(s)(s)系统稳定性不会因线性变换而改变系统稳定性不会因线性变换而改变 可控性与可观测性不变可控性与可观测性不变可控性与可观测性不变可控性与可观测性不变 输入输出关系相同输入输出关系相同输入输出关系相同输入输出关系相同38第七章 状态空间分析74 标准
