《2022年初升高数学衔接讲义专题04二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质（教师版含解析）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年初升高数学衔接讲义专题04二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质（教师版含解析）（31页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、专题04二次函数yax2bxc的图象和性质专题综述课程要求确定二次函数的图象，主要应抓住：抛物线的开口方向、顶点位置、对称轴以及与两坐标轴的交点.解决二次函数的问题，通常利用配方法和数形结合思想求解，先画出二次函数的图象，根据题中所给的区间观察函数的单调区间，再利用函数的单调区间研究最值等问题.二次函数是初中数学的一个重要内容，是中考重点考查的内容，也是高考必考内容，同时还是一个研究函数性质的很好的载体，因此做好二次函数的初高中衔接至关重要，初中阶段对二次函数的要求，是立足于用代数方法来研究，比如配方结合顶点式，描述函数图象的某些特征(开口方向、顶点坐标、对称轴、最值)等；再比如待定系数法，通
2、过解方程组的形式来求二次函数的解析式.高中的函数立足于集合观点，对二次函数的学习要求明显提高，二次函数的研究更侧重于数形结合、分类讨论等思想方法.课程要求初中课程要求熟悉了二次函数的定义和解析式，掌握了二次函数的图象画法高中课程要求掌握二次函数在一个闭区间上的最值求法，会求二次函数的解析式，会通过图象分析性质知识精讲高中必备知识点1：二次函数图像的伸缩变换问题 函数yax2与yx2的图象之间存在怎样的关系？为了研究这一问题，我们可以先画出y2x2，yx2，y2x2的图象，通过这些函数图象与函数yx2的图象之间的关系，推导出函数yax2与yx2的图象之间所存在的关系先画出函数yx2，y2x2的图
3、象先列表：x3210123x294101492x2188202818从表中不难看出，要得到2x2的值，只要把相应的x2的值扩大两倍就可以了再描点、连线，就分别得到了函数yx2，y2x2的图象(如图21所示)，从图21我们可以得到这两个函数图象之间的关系：函数y2x2的图象可以由函数yx2的图象各点的纵坐标变为原来的两倍得到同学们也可以用类似于上面的方法画出函数yx2，y2x2的图象，并研究这两个函数图象与函数yx2的图象之间的关系通过上面的研究，我们可以得到以下结论：二次函数yax2(a0)的图象可以由yx2的图象各点的纵坐标变为原来的a倍得到在二次函数yax2(a0)高中必备知识点2：二次函
4、数图像的平移变换函数ya(xh)2k与yax2的图象之间存在怎样的关系？同样地，我们可以利用几个特殊的函数图象之间的关系来研究它们之间的关系同学们可以作出函数y2(x1)21与y2x2的图象(如图22所示)，从函数的同学我们不难发现，只要把函数y2x2的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位，就可以得到函数y2(x1)21的图象这两个函数图象之间具有“形状相同，位置不同”的特点类似地，还可以通过画函数y3x2，y3(x1)21的图象，研究它们图象之间的相互关系通过上面的研究，我们可以得到以下结论：二次函数ya(xh)2k(a0)中，a决定了二次函数图象的开口大小及方向；h决定了二次函数图象的
5、左右平移，而且“h正左移，h负右移”；k决定了二次函数图象的上下平移，而且“k正上移，k负下移”由上面的结论，我们可以得到研究二次函数yax2bxc(a0)的图象的方法：由于yax2bxca(x2)ca(x2)c ，所以，yax2bxc(a0)的图象可以看作是将函数yax2的图象作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函数yax2bxc(a0)具有下列性质：(1)当a0时，函数yax2bxc图象开口向上；顶点坐标为，对称轴为直线x；当x时，y随着x的增大而减小；当x时，y随着x的增大而增大；当x时，函数取最小值y(2)当a0时，函数yax2bxc图象开口向下；顶点坐标为，对称轴为直线x；当x时，
6、y随着x的增大而增大；当x时，y随着x的增大而减小；当x时，函数取最大值y典例剖析高中必备知识点1：二次函数图像的伸缩变换【典型例题】二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象如图所示，有下列结论：abc0；a+b+c=2；a12；b1，其中正确的结论个数是()A1个B2个C3个D4个【答案】C【解析】由图象可得，a0，b0，c0，abc0，故错误，当x=1时，y=a+b+c=2，故正确，当x=-1时，y=a-b+c0，由a+b+c=2得，a+c=2-b，则a-b+c=(a+c)-b=2-b-b1，故正确，-b2a-1，a0，得ab212，故正确，故选：C【变式训练】下列说法错误的是( )A二
7、次函数y=2x2中，当x=0时，y有最大值是0B二次函数y=4x2中，当x0时，y随x的增大而增大C在三条抛物线y=2x2，y=0.5x2，y=x2中，y=2x2的图象开口最大，y=x2的图象开口最小D不论a是正数还是负数，抛物线y=ax2(a0)的顶点一定是坐标原点【答案】C【解析】A、a=-20，抛物线开口向下，当x=0时，y有最大值是0，故该选项正确；B、二次函数y=4x2中，当x0时，y随x的增大而增大，故该选正确；C、因为|2|-1|-0.5|，所以，y=2x2的图象开口最小，y=-0.5x2的图象开口最大，故该选错误；D、不论a是正数还是负数，抛物线y=ax2(a0)的顶点一定是坐
8、标原点，故该选正确故选C【能力提升】抛物线y=13x2，y=3x2，y=x2，y=2x2的图象开口最大的是()Ay=13x2 By=3x2 Cy=x2 Dy=2x2【答案】A【解析】二次函数中|a|的值越小，则函数图象的开口也越大，又13|-1|2|-3|，抛物线y=13x2，y=3x2，y=x2，y=2x2的图象开口最大的是y=13x2，故选A高中必备知识点2：二次函数图像的平移变换【典型例题】如图，已知抛物线C1：yx2+4，将抛物线C1沿x轴翻折，得到抛物线C2(1)求出抛物线C2的函数表达式；(2)现将抛物线C1向左平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为M，与x轴的交点从左到右
9、依次为A，B；将抛物线C2向右也平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为N，与x轴交点从左到右依次为D，E在平移过程中，是否存在以点A，N，E，M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由【答案】(1)yx24(2)当m3时，以点A，N，E，M为顶点的四边形是矩形【解析】(1)抛物线C1的顶点为(0，4)，沿x轴翻折后顶点的坐标为(04)，抛物线C2的函数表达式为yx24；(2)存在连接AN，NE，EM，MA，依题意可得：M(m，4)，N(m，4)，M，N关于原点O对称OMON，原C1、C2抛物线与x轴的两个交点分别(2，0)，(2，0)，A(2m，0)，
10、E(2+m，0)，A，E关于原点O对称，OAOE四边形ANEM为平行四边形，AM222+4220，ME2(2+m+m)2+424m2+8m+20，AE2(2+m+2+m)24m2+16m+16，若AM2+ME2AE2，20+4m2+8m+204m2+16m+16，解得m3，此时AME是直角三角形，且AME90，当m3时，以点A，N，E，M为顶点的四边形是矩形【变式训练】如图，抛物线M1:y=x2-4与x轴的负半轴相交于点A，将抛物线M1平移得到抛物线M2:y=ax2+bx+c，M1与M2相交于点B，直线AB交M2于点C(8，m)，且AB=BC.(1)求点A，B，C的坐标；(2)写出一种将抛物线
11、M1平移到抛物线M2的方法；(3)在y轴上找点P，使得BP+CP的值最小，求点P的坐标.【答案】(1)A(-2，0)，B(3，5)，C(8，10)；(2)先将M1向右平移5个单位，再向上平移5个单位得到M2；(3)P(0，7011 ).【解析】(1)M1：y=x2-4与x轴的负半轴相交于点A，A(-2，0)，AB=BC，C(8，m)，B3,m2，设AB直线解析式为y=kx+b0=-2k+bm2=3k+b k=m10b=m5 y=m10x+m5，y=x2-4与y=m10x+m5相交于点A和B，x2-m10x+m5-4=0 x1+x2=m10=1 m=10，B(3，5)，C(8，10)；(2)抛物
12、线M1平移得到抛物线M2，a=1，B(3，5)，C(8，10)在抛物线y=x2+bx+c上，5=9+3b+c10=64+8b+c b=-10c=26 y=x2-10+26=(x-5)2+1，由M1平移得到抛物线M2先向右平移5个单位长度，再向上平移5个单位长度；(3)作点B关于y轴的对称点B，连接CB与y轴的交点即为P，B(-3，5)，设直线BC的直线解析式为y=mx+n，5=-3k+b10=8k+b k=511b=7011 y=511x+7011 P0,7011.【能力提升】已知抛物线yx2+bx+c经过点B(1，0)和点C(2，3)(1)求此抛物线的函数表达式；(2)如果此抛物线上下平移后
13、过点(2，1)，试确定平移的方向和平移的距离【答案】(1)yx2+2x+3；(2)将抛物线向上平移4个单位【解析】(1)把B(1，0)和点C(2，3)代入yx2+bx+c得-1-b+c=0-4+2b+c=3，解得b=2c=3，所以抛物线解析式为yx2+2x+3；(2)把x2代入yx2+2x+3得y44+35，点(2，5)向上平移4个单位得到点(2，1)，所以需将抛物线向上平移4个单位对点精练1点在抛物线上，若，关于a，b的数量关系，下列描述正确的是( )ABCD无法确定【答案】A解：在上，故选A2若a、b是关于x的方程x22tx+t22t+40的两实根，则(a+2)(b+2)的最小值为()A7B10C14D16【答案】D解：方程x22tx+t22t+40有实数根，(2t)241(t22t+4)0，t2.a、b是关于x的方程x22tx+t22t+40的两实根，a+b2t，abt22t+4，(a+2)(b+2)ab+2a+2b+4ab+2(a+b)+4t22t+4+4t+4t2+2t+8(t+1)2+7.10，t2，当t2时，(a+2)(b+2)的值随t的增大而增大，当t2时，(a+2)(b+2)取得最小值，最小值(2+1)2+716.故选：D.3如图，在平面直角坐标系中，有一系列的抛物线(为正整数)，
