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1、第二章 随机变量及其分布v2.1 随机变量v2.2 离散型随机变量及其分布律v2.3 随机变量的分布函数v2.4 连续型随机变量及其概率密度v2.5 随机变量函数的分布王学民概率论与数理统计2.1 随机变量v定义2.1.1 设E是随机试验，它的样本空间为=。如果对任意样本点，都有惟一确定的实数X()与之对应，则称X=X()为定义在样本空间上的随机变量。v随机变量常用大写字母X,Y,Z等表示，它们的取值常用小写字母x,y,z等表示。v常用的随机变量有离散型随机变量和连续型随机变量两种。v随机变量具有如下两个特点：(1)取值的随机性，即事先不能确定X取哪个值；(2)取值的统计规律性，即完全可以确定
2、X取某个值或X在某一个区间内取值的概率。王学民概率论与数理统计2.2 离散型随机变量及其分布律v一、分布律v二、几个常见的离散型分布王学民概率论与数理统计一、分布律v定义2.2.1 设离散型随机变量X的可能取值为x1,x2,xn,，取这些值的概率分别为p1,p2,pn,，则P(X=xk)=pk，k=1,2,称为离散型随机变量X的概率分布或分布律或分布列。v有时也用如下表格来表示X的分布律：Xx1x2xnPp1p2pn王学民概率论与数理统计v分布律具有下述两个性质：(1)pk0，k=1,2,；(2)。v例2.2.1 掷一颗均匀的骰子出现的点数X为一个离散型随机变量，其分布律为王学民概率论与数理统
3、计v例2.2.2 设某产品分为四种等级：一、二、三等品及废品，这四种等级的产品所占的比例分别为50%,25%,15%,10%，现任取一件产品，并令则离散型随机变量X的分布律为X0123P0.10.500.250.15王学民概率论与数理统计二、几个常见的离散型分布v1.二项分布v2.泊松分布v3.超几何分布v4.几何分布王学民概率论与数理统计1.二项分布v所谓贝努里(Bernoulli)试验，是指只有两个可能结果的随机试验。v我们把其中的一个感兴趣的结果称为“成功”(或称为事件A发生)，另一个则称为“失败”(或称为事件A不发生)。v如果将一贝努里试验在相同的条件下重复n次，并且各次的试验相互独立
4、(即试验结果互不影响)，则这样的系列试验称为n重贝努里试验。王学民概率论与数理统计v在每一特定的n重贝努里试验中，设每次试验成功的概率为p(p值不变)，失败的概率为q=1p，则成功次数X的分布律为：称X服从参数为n,p的二项分布，记作XB(n,p)。图2.2.1 二项分布B(n,p)的分布律王学民概率论与数理统计v例2.2.4 某种商品的不合格率为0.3，一顾客从商店买了6件这种商品，试求下列事件的概率：(1)恰有4件商品不合格；(2)不合格件数不超过一半；(3)至少有一件不合格品。v例2.2.5 某营业员根据以往的经验发现，接待一位顾客能做成一笔生意的概率是0.25。如果某天他接待了10位顾
5、客，试求以下几种情况的概率：(1)做成的生意至多三笔；(2)做成的生意至少三笔；(3)恰好做成两笔生意。王学民概率论与数理统计vn=1时的二项分布B(1,p)称为二点分布，它只含一个参数p。v在一次贝努里试验的实际应用中，我们常常将其中的一个结果对应于“1”，而将另一个结果对应于“0”，即令X的概率分布即为二点分布。王学民概率论与数理统计2.泊松分布v若随机变量X具有如下分布律：其中0是个常数，则称X服从参数为的泊松分布，记作XP()。v容易验证：(1)P(X=k)0，k=0,1,2,；(2)。王学民概率论与数理统计v在=np恒定的情况下，当n趋向无穷，同时p趋向于0时，二项分布趋向于泊松分布
6、。通常当n20,p0.05时，有如下的近似公式：v近似的效果可以从表2.2.1中有所认识。图2.2.2 泊松分布P()的分布律王学民概率论与数理统计k 二项分布 泊松分布n=10p=0.1n=20p=0.05n=40p=0.025n=100p=0.01=1(=np)00.3490.3580.3630.3660.36810.3850.3770.3720.3700.36820.1940.1890.1860.1850.18430.0570.0600.0600.0610.06140.0110.0130.0140.0150.015表2.2.1 二项分布的泊松分布近似王学民概率论与数理统计v例2.2.6
7、已知某厂有5%的产品有缺陷。随机抽选50件，试分别求出缺陷产品数属于以下各种情况的概率：(1)至多2件；(2)至少1件；(3)恰好3件；(4)在1件和5件之间(包括1件和5件)。解 设产品缺陷数为X，则XB(50,0.05)。由于n=50很大，p=0.05很小，故可以认为X近似服从参数为=500.05=2.5的泊松分布。查(累积)泊松分布表得如下结果：(1)P(X2)=0.5438；(2)P(X1)=1P(X=0)=10.0821=0.9179；(3)P(X=3)=P(X3)P(X2)=0.75760.5438=0.2138；(4)P(1X5)=P(X5)P(X=0)=0.95800.0821
8、=0.8759。王学民概率论与数理统计v例2.2.7 某商店每月销售某种商品的件数服从参数为4.6的泊松分布，试问在月初应购进多少此种商品，才能保证不脱销的概率至少为0.99。解 设该商店当月的顾客需求数为X件，月初的进货为a件，则当Xa时就不会脱销，按题意要求P(Xa)0.99查泊松分布表得：P(X9)=0.9805，P(X10)=0.9922故在月初应进10件此种商品，才能以99%以上的把握保证当月不脱销。王学民概率论与数理统计3.超几何分布v设一批产品共N件，其中有M件为不合格品，从中任意取出n(NM)件，其中不合格品数X的分布律为：该概率分布称为超几何分布。它含有三个参数M,N和n，记
9、作H(M,N,n)。王学民概率论与数理统计v例2.2.8 某人计划从由新上市公司发行的10只股票中选择4只，但是他并不知道这10只股票中有3只将使购买者获厚利,而其余7只则将使购买者亏损。试求：(1)该购买者能选中的获厚利股票数目X的概率分布；(2)至少能选中一只能获厚利股票的概率。v通常当n/N5%时，超几何分布可用二项分布近似，即其中p=M/N为产品的不合格品率，q=1p。王学民概率论与数理统计4.几何分布v如果将贝努里试验独立地重复进行，直至“成功”出现为止，则所需的试验次数X具有如下分布律：P(X=k)=pqk1，k=1,2,其中p为一次贝努里试验中“成功”出现的概率，q=1p，称X服
10、从参数为p的几何分布，记作XG(p)。v例2.2.9 一名制造商在某个电子系统使用电保险丝，保险丝大批量购进后就连续不断地测试，直至观察到第一个次品时为止。假定每批保险丝含5%次品，试求：(1)需测试次数X的概率分布；(2)测试次数不超过5次的概率。王学民概率论与数理统计2.3 随机变量的分布函数v定义2.3.1 设X是一个随机变量，对任何实数x，令F(x)=P(Xx)，x则称F(x)为随机变量X的累积概率分布函数，简称分布函数。王学民概率论与数理统计分布函数的性质v(1)0F(x)1，x；v(2)F(x)是x的非降函数，即若x1x2，则有F(x1)F(x2)v(3)；v(4)F(x+0)=F
11、(x)，即F(x)在每一点x处都是右连续的。王学民概率论与数理统计v离散型随机变量X的分布函数为v例2.3.1 在例2.2.1中，随机变量X的分布函数为王学民概率论与数理统计图2.3.1 X的分布函数曲线王学民概率论与数理统计v例2.3.2 设随机变量X的分布函数为试求：(1)常数a,b,c,d的值；(2)X落在区间(2,3内的概率。王学民概率论与数理统计2.4 连续型随机变量及其概率密度v一、概率密度函数v二、几个常见的连续型分布王学民概率论与数理统计一、概率密度函数图2.4.1 女大学生身高的频率直方图王学民概率论与数理统计v定义2.4.1 设随机变量X的分布函数为F(x)，如果存在非负函
12、数f(x)，使得对任意实数x，有则称X为连续型随机变量，同时称f(x)为X的概率密度函数，简称密度函数或概率密度。v概率密度函数f(x)具有下述两个性质：(1)f(x)0；(2)；(3)；(4)若f(x)在点x处连续，则 。王学民概率论与数理统计v连续型的分布函数F(x)是一个连续函数，并可由此推知，对任一实数c，有P(X=c)=0。v对任意的实数a,b(ab)，有v例2.4.1 设某种元件的寿命X(单位：千小时)具有密度函数(1)确定常数k；(2)求寿命超过1(千小时)的概率。王学民概率论与数理统计v例2.4.3 设随机变量X的密度函数为试求X的分布函数F(x)，并画出f(x)及F(x)的图
13、形。图2.4.2 X的密度曲线 图2.4.3 X的分布函数曲线王学民概率论与数理统计二、几个常见的连续型分布v1.均匀分布v2.正态分布v3.指数分布王学民概率论与数理统计1.均匀分布v如果连续型随机变量X具有如下的概率密度函数则称X服从a,b上的均匀分布，记作XUa,b。X的分布函数为王学民概率论与数理统计图2.4.4 均匀分布Ua,b的密度曲线 图2.4.5 均匀分布Ua,b的分布函数曲线 王学民概率论与数理统计v均匀分布具有下述意义的等可能性。若XUa,b，则X落在a,b内任一子区间c,d上的概率：只与区间c,d的长度有关，而与它的位置无关。v例2.4.4 假定某线路的公共汽车每隔10分
14、钟到某车站一次，那么乘客来到该车站候车的时间X就服从0,10上的均匀分布，由此可计算出他等候的时间不超过l(0l10)分钟的概率为v例2.4.5 在数值计算中，设由于四舍五入引起的误差为随机变量X，如果小数点后面第三位按四舍五入处理，试求：(1)X的密度函数和分布函数；(2)P(0.002X0为常数，则称X服从参数为,2的正态分布，且称X为正态变量，记作XN(,2)。v正态分布最早是由法国数学家德莫弗(De Moivre，16671754)于1733年提出的。德国数学家高斯(C.F.Gauss，17771855)在研究误差理论时曾用它来刻画误差，因此有时也称为高斯分布。王学民概率论与数理统计图
15、2.4.6 正态分布的密度曲线图2.4.7 不同的正态密度曲线王学民概率论与数理统计图2.4.8 不同参数2的正态分布密度曲线王学民概率论与数理统计v正态分布的分布函数为图2.4.9 正态分布的分布函数曲线王学民概率论与数理统计v=0,=1的正态分布，称为标准正态分布。其密度函数和分布函数分别为：图2.4.10 (x)值王学民概率论与数理统计图2.4.11 (x)=1(x)图2.4.12 (b)(a)王学民概率论与数理统计v若XN(,2)，则 服从标准正态分布，即UN(0,1)。于是，v例2.4.7 已知某种蔬菜的单棵重量服从正态分布，为140克，为12.2克。今随机抽出一棵，试问其重量不小于
16、130克的概率是多少？标准化变换王学民概率论与数理统计v例2.4.8 设XN(,2)，试求X落在区间(k,+k)内的概率，其中k=1,2,3,4。解 对k=1,2,3,4分别得 P(|X|)=2(1)1=0.6826 P(|X|2)=2(2)1=0.9545 P(|X|3)=2(3)1=0.9973P(|X|4)=2(4)1=0.99994王学民概率论与数理统计v例2.4.9 在某年举行的高等教育大专文凭认定考试中，已知某科的考生成绩XN(,2)，及格率为40%,80分以上的占5%，试确定参数和。v设XN(0,1)，对于给定的正数，00为常数，则称X服从参数为的指数分布，记为XE()。X的分布函数为王学民概率论与数理统计图2.4.14 指数分布E()的密度曲线图2.4.15 指数分布E()的分布函数曲线王学民概率论与数理统计v指数分布常用来描述完成一项任务所花费的时间。例如，某些电子元器件的寿命、电话的通话时间、排队等候服务的时间、到达一洗车处的两辆车间隔时间等都常假定服从指数分布。v连续型的指数分布与离散型的泊松分布之间有着密切的关系。如果在规定的时间间隔内某种产品受到外界的随机冲击
