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1、 圆锥曲线中的“定值”命题探析 姚绵绵【Summary】 圆锥曲线中的有关“定值”问题，是高考命题的一个热点，也是同学们学习中的一个难点。以下通过合情推理、类比推理从教材中一个例题出发，探索总结出几组“定值”的命题。【Key】 圆锥曲线 定值 探析G633.6 A 1992-7711（2018）07-062-010圆锥曲线中的几何量，有些与参数无关，这就构成了定值问题.它涵盖两类问题，一是动曲线经过定点问题；二是动曲线的某些几何量的斜率、长度、角度、距离、面积等为常数问题.圆锥曲线中的有关“定值”问题，是高考命题的一个热点，也是同学们学习中的一个难点。下面我从教材中一个例题出发，探索总结出几组
2、“定值”的命题。人教A版选修1-1 P35例6：已知点A、B的坐标分别是（-5，0），（5，0），直线AM、BM相交于点M，且它们的斜率之积是-49，求点M的轨迹方程。（x225+y21009=1）人教A版选修1-1 P48探究：已知A、B的坐标分别是（-5，0），（5，0），直线AM、BM相交于点M，且它们的斜率之积是49，求点M的轨迹方程。（x225-y21009=1）经过逆推可得：结论一、过椭圆x225+y21009=1上的点P（x0，y0）与椭圆的长轴（或短轴）两个顶点连线PA、PB，则直线AB的斜率之积恒等于-49.（若是双曲线x225-y21009=1，则定值是49）.经过合情推理
3、可得：结论二、过椭圆x2a2+y2b2=1（ab0）上的点P（x0，y0）与椭圆的长轴（或短轴）两个顶点连线PA、PB，则直线PA、PB的斜率之积恒等于-b2a2.（若是双曲线x2a2-y2b2=1（a，b0），则斜率之积恒等于b2a2）.经过合情推理可得命题一： 经过原点的直线l与椭圆x2a2+y2b2=1（ab0）相交于M、N两点，P是椭圆上的动点，直线PM、PN的斜率都存在，则kPMkPN为定值-b2a2.證明：设P（x0，y0），M（x1，y1），N（-x1，-y1），则kPMkPN=y0-y1x0-x1y0+y1x0+x1=y20-y21x20-x21（*），而点P、M均在椭圆x2a
4、2+y2b2=1上，故y20=b2（1-x20a2），y21=b2（1-x21a2），代入（*）便可得到kPMkPN=-b2a2.类比得：经过原点的直线l与椭圆x2a2-y2b2=1（a，b0）相交于M、N两点，P是双曲线上的动点，直线PM、PN的斜率都存在，则kPMkPN为定值b2a2.（证明略）命题二： 过椭圆x2a2+y2b2=1（ab0）上一点P（x0，y0）任意作两条斜率互为相反数的直线交椭圆于M、N两点，则直线MN的斜率为定值b2x0a2y0.证明：（略）类比得：1.过双曲线x2a2-y2b2=1（a，b0）上的点P（x0，y0）作两条倾斜角互补的弦PA、PB，则直线AB的斜率恒等
5、于-b2x0a2y0.（证明略）2.过抛物线y2=2px（p0）上的点P（x0，y0）作两条倾斜角互补的弦PA、PB，则直线AB的斜率恒等于-py0.证明：设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB.直线AB的斜率为kAB.由y21 = 2px1y20 = 2px0 y21 -y20 = 2p（x1 -x0 ），则则kPA=y1-y0x1-x0=2py1+y0（x1x0）。同理，得则kPB=2py2+y0（x2x0）.由PA、PB的倾斜角互补知kPA=-kPB，即2py1+y0=-2py2+y0即y1+y2=-2y0，故，则kAB=y2-y1x2-x1=2py1+y2（x1x2）将y1+
6、y2=-2y0（y00）代入上式得kAB=2py1+y2=-py0.则kAB=-py0为非零常数。命题三：设A、B、C是椭圆x2a2+y2b2=1（ab0）上的三个不同点，B、C关于x轴对称，直线AB、AC分别与x轴交于M、N两点，则OMON为定值a2.证明：（略）.类比得：1.MN是双曲线x2a2-y2b2=1（a0，b0）的弦，端点N关于x轴的对称点为N1，则直线MN与直线MN1在x轴上截距之积为定值a2.（证明略）MN12. MN是抛物线y2=2px（p0）的弦，端点N关于x轴的对称点为N1，则直线MN与直线在x轴上截距之和为零。 证明：设直线MN与x轴交于点P，直线MN1与x轴交于点Q，命题四：设A、B、C是椭圆x2a2+y2b2=1（ab0）上的三个不同点，B、C关于y轴对称，直线AB、AC分别与y轴交于M、N两点，则OMON为定值b2.证明：（略）类比得：设A、B、C是双曲线x2a2-y2b2=1（a，b0）上的三个不同点，B、C关于y轴对称，直线AB、AC分别与y轴交于M、N两点，则OMON为定值b2（证明略）圆锥曲线的定值定点问题还有很多，归纳整理出这些命题并加以灵活运用，就可以起到优化解题方法，节省解题时间，提高准确度，达到事半功倍的效果。 -全文完-
