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1、第九章第九章结构动力学多自由度运动方程的建立9.19.1 自由度的选择自由度的选择9.2 9.2 动力平衡条件动力平衡条件9.3 9.3 轴向力的效应轴向力的效应第九章第九章 多自由度体系的运动方程多自由度体系的运动方程单自由度体系两种描述方法单一的坐标一个变形函数广义坐标影响近似分析的精度的因素影响近似分析的精度的因素 9.19.19.19.1 自由度的选择自由度的选择自由度的选择自由度的选择主要有：荷载的空间分布荷载的时间历程结构自身的动力特性刚度、质量及阻尼 9.19.1 自由度的选择自由度的选择离散体系自由度的描述方法离散体系自由度的描述方法自由度方向的位移幅值广义坐标表示的一组位移模
2、式的幅值采用第一种方法 9.19.1 自由度的选择自由度的选择自由度选择的原则自由度选择的原则假定结构的运动梁上一系列离散的位移所确定，原假定结构的运动梁上一系列离散的位移所确定，原则上，结构的这些点可以任意设置；但实际上，这些点则上，结构的这些点可以任意设置；但实际上，这些点的分布必须与主要的物理特性相适应，并且应该形成一的分布必须与主要的物理特性相适应，并且应该形成一条很好的挠曲线。所考虑的位移分量（自由度）数目取条很好的挠曲线。所考虑的位移分量（自由度）数目取决于分析者的判断；当然取较大的数目能更好地逼近真决于分析者的判断；当然取较大的数目能更好地逼近真实的动力行为，但是在许多情形中，只
3、用二、三个自由实的动力行为，但是在许多情形中，只用二、三个自由度就能获得极好的结果。每一个节点上可以取几个位移度就能获得极好的结果。每一个节点上可以取几个位移分量，例如可以取转角和纵向位移作为每一个点上的附分量，例如可以取转角和纵向位移作为每一个点上的附加自由度。加自由度。 9.19.1 自由度的选择自由度的选择图图9-19-1一般梁式结构的离散化一般梁式结构的离散化梁上每一个节点只取一个位移分量。然而，梁上每一个节点只取一个位移分量。然而，每一个节点上可以取几个位移分量，例如可每一个节点上可以取几个位移分量，例如可以取转角和纵向位移作为每一个点上的附加以取转角和纵向位移作为每一个点上的附加自
4、由度。自由度。每一个自由度其动力平衡条件可写为每一个自由度其动力平衡条件可写为当力向量用矩阵形式表示时也可写成当力向量用矩阵形式表示时也可写成（9-19-1）（9-29-2） 9.2 9.2 9.2 9.2 动力平衡条件动力平衡条件动力平衡条件动力平衡条件 9.2 9.2 动力平衡条件动力平衡条件每一抗力可以非常方便地用一组适当的影响系数来表示，例每一抗力可以非常方便地用一组适当的影响系数来表示，例如在自由度如在自由度1 1方向上产生的弹性力分量方向上产生的弹性力分量（9-3a9-3a） （9-3b9-3b） 写成一般形式为写成一般形式为（9-3c9-3c） 9.2 9.2 动力平衡条件动力平
5、衡条件刚度影响系数刚度影响系数由由j j自由度单位位移引起的对应于自由度单位位移引起的对应于i i自由度的力自由度的力用矩阵形式表示全部弹性力的关系为用矩阵形式表示全部弹性力的关系为或者或者（9-49-4） （9-59-5） （9-69-6） 9.2 9.2 动力平衡条件动力平衡条件若假定阻尼与速度有关，全部阻尼力为若假定阻尼与速度有关，全部阻尼力为或者或者阻尼影响系数阻尼影响系数由由j j自由度单位速度引起的对应于自由度单位速度引起的对应于i i坐标的力坐标的力（9-79-7） （9-99-9） （9-89-8） 9.2 9.2 动力平衡条件动力平衡条件惯性力可由质量系数表示为惯性力可由质量
6、系数表示为或者或者质量影响系数质量影响系数由由j j自由度单位加速度引起的对应于自由度单位加速度引起的对应于i i坐标的力坐标的力（9-109-10） （9-119-11） （9-129-12） 9.2 9.2 动力平衡条件动力平衡条件完整的动力平衡方程为完整的动力平衡方程为（9-139-13） 计入轴向力的动力平衡方程为计入轴向力的动力平衡方程为轴向荷载产生的产生的这些力可用影响系数表示为轴向荷载产生的产生的这些力可用影响系数表示为（9-149-14）（9-159-15） 9.3 9.3 9.3 9.3 轴向力的效应轴向力的效应轴向力的效应轴向力的效应或者或者（9-179-17） 9.3 9
7、.3 轴向力的效应轴向力的效应几何刚度影响系数几何刚度影响系数: :由由j j自由度单位位移和结构中由轴向力分量自由度单位位移和结构中由轴向力分量引起的对应于引起的对应于i i坐标的力坐标的力（9-169-16） 9.3 9.3 轴向力的效应轴向力的效应引入上式，结构的动力平衡方程（计及轴向力）为引入上式，结构的动力平衡方程（计及轴向力）为或者或者（9-189-18） （9-139-13） （9-199-19） （9-209-20） 第十章第十章结构动力学结构特性矩阵的计算10.110.1 弹性特性弹性特性10.2 10.2 质量特性质量特性10.3 10.3 阻尼特性阻尼特性10.4 10.
8、4 外荷载外荷载10.5 10.5 几何刚度几何刚度10.6 10.6 特性公式的选择特性公式的选择第十章第十章 结构特性矩阵的计算结构特性矩阵的计算柔度系数柔度系数在在j j坐标施加单位荷载引起对应坐标施加单位荷载引起对应 i i坐标的位移坐标的位移（10-110-1） 10.110.110.110.1 弹性特性弹性特性弹性特性弹性特性 10.110.1 弹性特性弹性特性图图10-110-1柔度影响系数的定义柔度影响系数的定义当任意荷载组合下某点当任意荷载组合下某点1 1产生的挠度为产生的挠度为 10.110.1 弹性特性弹性特性则全部位移可表示为则全部位移可表示为（10-310-3） 或者
9、或者（10-410-4） 或者或者（10-510-5） 10.110.1 弹性特性弹性特性刚度系数刚度系数表示一个自由度发生单位位移而其它自由度不动时在表示一个自由度发生单位位移而其它自由度不动时在结构中产生的力结构中产生的力. .图图10-210-2刚度影响系数的定义刚度影响系数的定义 10.110.1 弹性特性弹性特性结构的基本概念结构的基本概念应变能应变能应变能等于使体系变形所做的功应变能等于使体系变形所做的功, ,即即将将(10-4)(10-4)代入上式得代入上式得将式（将式（10-610-6）转置，并将式（）转置，并将式（9-69-6）代入，可得代入，可得注意注意（10-610-6）
10、 （10-710-7） （10-810-8） （10-910-9） 10.110.1 弹性特性弹性特性正定正定/ /半正定矩阵半正定矩阵正定正定/ /半正定矩阵半正定矩阵 10.110.1 弹性特性弹性特性刚度矩阵与柔度矩阵的关系刚度矩阵与柔度矩阵的关系左乘左乘刚度矩阵与柔度矩阵互逆刚度矩阵与柔度矩阵互逆 10.110.1 弹性特性弹性特性按相反的次序对结构施加两种荷载。第一种情况首先加按相反的次序对结构施加两种荷载。第一种情况首先加荷载荷载a a再加荷载再加荷载b b，第二种情况则以相反的次序施加荷载，第二种情况则以相反的次序施加荷载，两者所做的功分别如下：两者所做的功分别如下：荷载荷载a:
11、a:荷载荷载b:b:总和总和：（10-1110-11） 情况情况1 1 10.110.1 弹性特性弹性特性情况情况2:2:荷载荷载b:b:荷载荷载a:a:总和总和: :（10-1210-12） 10.110.1 弹性特性弹性特性BettiBetti定律定律（10-1310-13） 结构的变形与加荷次序无关，应变能也相等结构的变形与加荷次序无关，应变能也相等-唯一性、能量守恒唯一性、能量守恒图图10-310-3两组独立的荷载系与产生的变位两组独立的荷载系与产生的变位 10.110.1 弹性特性弹性特性显然显然（10-1410-14） （10-1510-15） 它说明了功的互等定理它说明了功的互等
12、定理假如对于这二组力和位移写出式（假如对于这二组力和位移写出式（10-410-4）代入上式。代入上式。即刚度矩阵也是对称的即刚度矩阵也是对称的。说明柔度矩阵必定是对称的，同样（说明柔度矩阵必定是对称的，同样（9-69-6）代入得代入得（10-1310-13） 10.110.1 弹性特性弹性特性有限单元刚度有限单元刚度图图10-410-4由于左端结点单位位移而产生的梁挠度由于左端结点单位位移而产生的梁挠度 10.110.1 弹性特性弹性特性如图所示变截面直梁段，单元的两个节点位于两端，通如图所示变截面直梁段，单元的两个节点位于两端，通过这两个节点可以把这类单元组合成结构，假如只考虑横向过这两个节
13、点可以把这类单元组合成结构，假如只考虑横向平面位移，每一个节点只有竖向位移和转角两个自由度。上平面位移，每一个节点只有竖向位移和转角两个自由度。上图表示单元左端发生每一种类型的一个单位位移而同时又将图表示单元左端发生每一种类型的一个单位位移而同时又将其它三个节点位移约束时，所产生的挠度曲线。这些位移函其它三个节点位移约束时，所产生的挠度曲线。这些位移函数可以是任意形状的，只要它们满足节点和内部连续的要求，数可以是任意形状的，只要它们满足节点和内部连续的要求，但是一般假定这些节点位移作用下等截面梁上所引起的变形但是一般假定这些节点位移作用下等截面梁上所引起的变形形状，它们是三次形状，它们是三次H
14、ermiteHermite多项式，表示为多项式，表示为 10.110.1 弹性特性弹性特性（10-16a10-16a） （10-16b10-16b） （10-16c10-16c） （10-16d10-16d） 位移发生在右端产生的相应形状函数为位移发生在右端产生的相应形状函数为 10.110.1 弹性特性弹性特性单元的挠曲形状能用它的节点位移表示为单元的挠曲形状能用它的节点位移表示为参照图参照图10-410-4，自由度的编号如下，自由度的编号如下（10-17a10-17a） （10-17b10-17b） 10.110.1 弹性特性弹性特性图图10-510-5结点产生真实转角和虚位移的梁结点产生
15、真实转角和虚位移的梁 10.110.1 弹性特性弹性特性由内力虚功产生的内力矩为由内力虚功产生的内力矩为（10-1810-18） 10.110.1 弹性特性弹性特性（10-1910-19） （10-2010-20） （10-2110-21） 令（令（10-1810-18）与（）与（10-1910-19）相等，该刚度系数表示成）相等，该刚度系数表示成因此内力功为因此内力功为所以，与梁弯曲相应的任一刚度系数为所以，与梁弯曲相应的任一刚度系数为 10.110.1 弹性特性弹性特性直接刚度法的概念直接刚度法的概念（10-2310-23） 当结构全部单元的刚度系数求出后，只要适当叠加各单当结构全部单元的
16、刚度系数求出后，只要适当叠加各单元的刚度系数就能得到整个结构的刚度，这叫做直接刚度法。元的刚度系数就能得到整个结构的刚度，这叫做直接刚度法。假如单元假如单元mm、n n和和p p都与结构的都与结构的i i节点相连，该节点的刚度系数节点相连，该节点的刚度系数是是 10.210.2 质量特性质量特性集中质量矩阵集中质量矩阵假定全部质量集中在某些需要计算平动的点上，将结构分假定全部质量集中在某些需要计算平动的点上，将结构分割成段，以节点作为连接点，每一段的质量在它的节点上各自割成段，以节点作为连接点，每一段的质量在它的节点上各自集聚成点质量，整个结构上任一节点集聚的总质量等于该节点集聚成点质量，整个结构上任一节点集聚的总质量等于该节点连接的各段分配给此节点的质量和。连接的各段分配给此节点的质量和。对于只须确定平移自由度的体系，集中质量矩阵具有对角对于只须确定平移自由度的体系，集中质量矩阵具有对角形式，其中对角线的项数等于自由度数。形式，其中对角线的项数等于自由度数。假如在任一节点处有几个平动自由度，则用同样的点质量与假如在任一节点处有几个平动自由度，则用同样的点质量与这个节点的每一自由度相对
