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1、第一章第一章 函数函数l主要内容：主要内容：预备知识（集合、区间和领域、实数绝对值）预备知识（集合、区间和领域、实数绝对值）预备知识（集合、区间和领域、实数绝对值）预备知识（集合、区间和领域、实数绝对值）函数（函数概念、函数表示、分段函数、函函数（函数概念、函数表示、分段函数、函函数（函数概念、函数表示、分段函数、函函数（函数概念、函数表示、分段函数、函数性质）数性质）数性质）数性质）初等函数（反函数、复合函数、基本初等函初等函数（反函数、复合函数、基本初等函初等函数（反函数、复合函数、基本初等函初等函数（反函数、复合函数、基本初等函数、双曲函数和反双曲函数）数、双曲函数和反双曲函数）数、双曲
2、函数和反双曲函数）数、双曲函数和反双曲函数）极坐标系（概念、与直角坐标系的关系、常极坐标系（概念、与直角坐标系的关系、常极坐标系（概念、与直角坐标系的关系、常极坐标系（概念、与直角坐标系的关系、常见极坐标曲线）见极坐标曲线）见极坐标曲线）见极坐标曲线）第一章第一章 函数函数l主要内容：主要内容：预备知识（集合、区间和领域、实数绝对值）预备知识（集合、区间和领域、实数绝对值）预备知识（集合、区间和领域、实数绝对值）预备知识（集合、区间和领域、实数绝对值）函数（函数概念、函数表示、分段函数、函函数（函数概念、函数表示、分段函数、函函数（函数概念、函数表示、分段函数、函函数（函数概念、函数表示、分段
3、函数、函数性质）数性质）数性质）数性质）初等函数（反函数、复合函数、基本初等函初等函数（反函数、复合函数、基本初等函初等函数（反函数、复合函数、基本初等函初等函数（反函数、复合函数、基本初等函数、双曲函数和反双曲函数）数、双曲函数和反双曲函数）数、双曲函数和反双曲函数）数、双曲函数和反双曲函数）极坐标系（概念、与直角坐标系的关系、常极坐标系（概念、与直角坐标系的关系、常极坐标系（概念、与直角坐标系的关系、常极坐标系（概念、与直角坐标系的关系、常见极坐标曲线）见极坐标曲线）见极坐标曲线）见极坐标曲线）预备知识预备知识l集合：集合：具有具有某种特定性质的总体称为某种特定性质的总体称为集合，常用大，
4、常用大写字母写字母A, B, C, A, B, C, 表示；表示；组成这个集合的对象称为该集合的组成这个集合的对象称为该集合的元素元素，常，常用小写字母用小写字母a, b, c, a, b, c, 表示。表示。如果如果a a是集合是集合A A的元素的元素，则记，则记 ；否则记；否则记 。l集合：集合：只包含有限的元素的集合称为只包含有限的元素的集合称为有限集有限集；否则；否则称为称为无限集无限集。集合中不包含任何元素称为。集合中不包含任何元素称为空空集集，记为，记为 。如果集合如果集合A A中任何一个元素都是包含于集合中任何一个元素都是包含于集合B B中，称中，称A A是是B B的的子集子集，
5、即为，即为 。空集为任。空集为任何一个集合的子集。何一个集合的子集。集合的集合的交集，并集交集，并集。l集合描述：集合描述：列举法：列举法：描述法：描述法： 具有性质具有性质PP例：若集合例：若集合B B是方程是方程 的解集，则的解集，则B B可表示成：可表示成：l常见集合：常见集合：实数实数集集R R，自然数集，自然数集N N，正整数集，正整数集N N+ +，整数集，整数集Z Z，有理数集，有理数集Q Q。关系：关系：练习：练习：用列举法和描述法分别表示以下方程的用列举法和描述法分别表示以下方程的根构成的集合：根构成的集合：预备知识预备知识l区间和邻域：区间和邻域：开区间：开区间：闭区间：闭
6、区间：半开区间：半开区间：l区间和邻域：区间和邻域：以上几个区间称为有限区间，以上几个区间称为有限区间，b-ab-a称为这些区称为这些区间的长度。间的长度。无限区间：无限区间：领域领域:开区间 称为 的左 邻域开区间 称为 的右 邻域练习：练习：用区间表示下列范围：用区间表示下列范围：用区间表示下列领域用区间表示下列领域l实数的绝对值：实数的绝对值：几何意义：实数几何意义：实数x的绝对值表示数轴上的绝对值表示数轴上点点x到原地那的距离。到原地那的距离。l实数的绝对值性质：实数的绝对值性质： l关于实数的绝对值的四则运关于实数的绝对值的四则运算算练习：练习：求解下列不等式：求解下列不等式：函数函
7、数一、一、 函数的概念函数的概念例例 圆圆的面积的面积 依赖于圆的半径依赖于圆的半径 ,关系为关系为例例 (人口模型人口模型)我国我国1982年底的人口为年底的人口为10.3亿，按亿，按年均年均2%增长，到增长，到2010年底，人口是多少？年底，人口是多少？这里这里 为为 年后的人口年后的人口, 是初始人口是初始人口, 则则是人口的自然增长率。是人口的自然增长率。例例例例 在真空中，物体在重力的作用下，从高度为h米处自由下落，下落的路程 S是下落时间t的函数：整个过程中始终保持不变的量称之为常量；可取不同的值的量称之为变量。因变量因变量自变量自变量数集数集D叫做这个函数的叫做这个函数的定义域定
8、义域函数中表示对应关系的记号函数中表示对应关系的记号函数中表示对应关系的记号函数中表示对应关系的记号f f也可改用其它字也可改用其它字也可改用其它字也可改用其它字母，例如母，例如母，例如母，例如: g, F: g, F等。等。等。等。一个函数是由它的定义域及其对应法则完全一个函数是由它的定义域及其对应法则完全一个函数是由它的定义域及其对应法则完全一个函数是由它的定义域及其对应法则完全确定的。如果两个函数确定的。如果两个函数确定的。如果两个函数确定的。如果两个函数 f f 和和和和 g g，它们有，它们有，它们有，它们有相同相同相同相同的定义域的定义域的定义域的定义域和和和和相同的对应法则相同的
9、对应法则相同的对应法则相同的对应法则，则两个函数是，则两个函数是，则两个函数是，则两个函数是同一个函数。同一个函数。同一个函数。同一个函数。规定规定规定规定：函数的定义域就是自变量所能取的使：函数的定义域就是自变量所能取的使：函数的定义域就是自变量所能取的使：函数的定义域就是自变量所能取的使表达式有意义的一切实数值。表达式有意义的一切实数值。表达式有意义的一切实数值。表达式有意义的一切实数值。如果自变量在定义域内任取一个数值如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值都只有一个，这种函时，对应的函数值都只有一个，这种函数叫做数叫做单值函数单值函数，否则叫做，否则叫做多值函数多值函数。练习：
10、练习：求下列函数的定义域：求下列函数的定义域：求函数在给定点的值：求函数在给定点的值：判断下列两函数是否相同，并给出说明判断下列两函数是否相同，并给出说明 (1)公式表示法：公式表示法：(2)表格表示法：对数表、三角函数表表格表示法：对数表、三角函数表(3)图形表示法：图形表示法：自变量用横坐标表示，自变量用横坐标表示，因变量用纵坐标表示。因变量用纵坐标表示。二、二、 函数函数的表示的表示三、三、 分段函数分段函数定义：当自变量在不同的范围内取值时，须用不同的表达式来表示，这样的函数称为分段函数。1-1xyo三、三、 函数的性质函数的性质(1)有界性(2)单调性(3)奇偶性(4)周期性(1)有
11、界性有界性(2). 图形特征图形特征(1). 界界不唯一，关键是有没有界不唯一，关键是有没有界求下列函数是否有界：求下列函数是否有界：求下列函数是否有界：求下列函数是否有界：(2)单调性单调性xyoxyo单调增加和单调减少的函数统称为单调函数。同一函数在同一函数在不同区间不同区间单调性未必相同单调性未必相同当x0时，y单调增加。讨论：y=x2的单调性。(3)奇偶性奇偶性对称区间：奇函数-关于坐标原点对称 偶函数-关于y轴对称图形特征：奇偶函数运算关系：奇偶函数运算关系：(3)周期性周期性若存在非零实数若存在非零实数 ，使得对任意实数，使得对任意实数 ，有，有则称函数则称函数 是周期函数，是周期
12、函数， 为其周期。为其周期。（通常说周期函数的周期是指其最小正（通常说周期函数的周期是指其最小正周期周期）.作业：作业：习题1.1:3，4习题1.2：2.(2,4)，4，5.(2,4)，6.(2,4,6)，7.(2,4,6)，8.(2)，10回顾回顾预备知识（集合、区间和领域、实数绝对值）预备知识（集合、区间和领域、实数绝对值）预备知识（集合、区间和领域、实数绝对值）预备知识（集合、区间和领域、实数绝对值）函数（函数概念、函数表示、分段函数、函函数（函数概念、函数表示、分段函数、函函数（函数概念、函数表示、分段函数、函函数（函数概念、函数表示、分段函数、函数性质）数性质）数性质）数性质）初等函
13、数（反函数、复合函数、基本初等函初等函数（反函数、复合函数、基本初等函初等函数（反函数、复合函数、基本初等函初等函数（反函数、复合函数、基本初等函数、双曲函数和反双曲函数）数、双曲函数和反双曲函数）数、双曲函数和反双曲函数）数、双曲函数和反双曲函数）极坐标系（概念、与直角坐标系的关系、常极坐标系（概念、与直角坐标系的关系、常极坐标系（概念、与直角坐标系的关系、常极坐标系（概念、与直角坐标系的关系、常见极坐标曲线）见极坐标曲线）见极坐标曲线）见极坐标曲线）初等函数初等函数一、反函数一、反函数-逆向思维逆向思维注意：注意：二、复合函数二、复合函数注意注意: :1.不是任何两个函数都可以复合成一个复
14、不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的合函数的;2.复合函数可以由两个以上的函数经过复复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成合构成.三、基本初等函数三、基本初等函数基本初等函数包括：l常量l幂函数l指数函数l对数函数l三角函数l反三角函数(1)常量常量(2)幂函数幂函数(3)指数函数指数函数(4)对数函数（指数函数的反函数）对数函数（指数函数的反函数）以无理数e=2.718281828459045为底的指数函数 和对数函数 称之为自然指数和自然对数，其中 自然对数一般记为 。比较下列各对数的大小求解下列方程正弦函数正弦函数(5)三角函数三角函数定义域？值域？周期性？奇偶性？单调性？余弦函
15、数余弦函数定义域？值域？周期性？奇偶性？单调性？正切函数正切函数定义域？值域？周期性？奇偶性？单调性？余切函数余切函数正割函数正割函数余割函数余割函数常用的三角函数公式：常用的三角函数公式：求解下列三角函数值(6)反三角函数反三角函数求解下列反三角函数值或者也可以采用书上方法，使用辅助直角三角形进行求解。四、初等函数四、初等函数由基本初等函数经过有限次的加减乘除和有限次的复合构成的函数称为初初等函数等函数。注意：符号函数、取整函数等分段函数都不是初等函数，称为非初等函数。五、双曲函数和反双曲函数（认识）五、双曲函数和反双曲函数（认识）(1)双曲函数双曲函数双曲正弦和双曲余弦双曲正切和双曲余切(
16、2)反双曲函数反双曲函数反双曲正弦反双曲余弦反双曲正切极坐标极坐标一、极坐标系一、极坐标系在平面内取一个定点O，叫做极点极点。从O点引一条射线Ox，叫做极轴极轴。再选定一个长度单位，通常取逆时针方向为正方向通常取逆时针方向为正方向。这样平面上任一点P的位置可以用有向线段OP的长度r以及从Ox到OP的角度来确定。有序对(r, )为点P的极坐标，r为点P的极径， 为点P的极角。极径为0的极点，其极角是任意的。xOP (r, )r若限制r=0,0=2时，平面上除极点O外其他每个点都有唯一的极坐标。若不限制，则每个点对应无数多组极坐标。如果(r,)是一个点的极坐标，那么(r,+2n)都可以作为它的极坐标，n为任意整数。若r0，表示原射线的反向射线上极径为|r|的点。练习：说出下图中各点的极坐标二、极坐标系与平面直角坐标系二、极坐标系与平面直角坐标系之间的转换关系之间的转换关系二、常见的几种极坐标曲线二、常见的几种极坐标曲线将下列极坐标方程和直角坐标方程相互转化极坐标方程转直角坐标方程：1.先使用转换公式消去，2.使用r2=x2+y2，消去r。直角坐标方程转极坐标方程：直接使用转换公式消去x,y
